Καθολική ιδιότητα συναρτήσεων

#1

Αν $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι μία συνάρτηση, να αποδειχθεί ότι $\inf \{|f(x)-f(y)|/x,y \in \mathbb{R}, x\neq y\}=0$

Ilias_Zad · #2

Έστω ότι υπάρχει m>0

ώστε $|f(x)-f(y)| \geq m$ για κάθε x,y

με

διάφορο του

.
Tότε δεν υπάρχει f(x)

,με

διάφορο του x_0

, στο

.
Oπότε μπορεί να οριστεί

απο το

στο

που θα στέλνει το x_0

σε ένα ρητό του διαστήματος (f(x_0)-m,f(x_0)+m)

με 1-1 τρόπο δίνοντας μας έτσι το

αριθμήσιμο. Άτοπο.

#3

Ηλία η ιδέα της 1-1 απεικόνισης του $\mathbb{R}$ σε ένα το πολύ αριθμήσιμο σύνολο είναι σωστή, αλλά νομίζω πως χρειάζεται μια πιο αναλυτική αντιμετώπιση:
Αν $inf \{|f(x)-f(y)|/x,y \in \mathbb{R}, x\neq y\}=k>0$ , τότε έστω $m \in (0,k)$ .
Προφανώς θα έχουμε $|f(x)-f(y)|>m, \forall x \neq y$ , άρα η συνάρτηση είναι 1-1. Επιπλέον έχουμε $\mathbb{R}=\displaystyle\bigcup_{n\in \mathbb{Z}}[nm,m(n+1))$ και κάθε ένα από τα διαστήματα

, περιέχει το πολύ ένα f(x)

, άρα το σύνολο $f(\mathbb{R})$ είναι το πολύ αριθμήσιμο, άτοπο.
Φιλικά

Ilias_Zad · #4

Καλη σας μέρα.
Πιο αναλυτικά στην λύση μου κάνω τα εξής:
Σε κάθε διάστημα (f(x_0)-m,f(x_0)+m)

επιλέγουμε ένα ρητό(πχ τον $\frac{n[f(x_0)-m]+1}{n}$ για κατάλληλο μεγάλο

).
Αυτός ο ρητός χαρακτηρίζει μονοσήμανατα το x_0

.
Πράγματι αν υπήρχαν x_1,x_2

με τιμές μέσα στο (f(x_0)-m,f(x_0)+m)

θα έπρεπε

και

άρα

.
Οπότε η

απο το

στο

που όρισα παραπάνω είναι 1-1 και άρα
το

θα έπρεπε σύμφωνα με τις υποθέσεις που έχουμε κάνει να είναι αριθμήσιμο.

Tώρα όμως και εγώ στην λύση σας θεωρώ ,αν δεν έχετε αντίρηση, ότι υπάρχει ένα κενό.
Αρχικά λογικά από τυπογραφικό εννοείται τα διαστήματα να είναι τα [nm,(n+1)m)

πιστεύω.
Επίσης πιστεύω πως απαιτείται ο ορισμός μια απεικόνισης όπως η παραπάνω για να καταλήξετε σε άτοπο.
Αυτό γιατί το ότι το f(R)

είναι αριθμήσιμο δεν μας δίνει κάτι αδύνατο. ( πχ μια σταθερή συνάρτηση)

#5

Ilias_Zad έγραψε:...Tώρα όμως και εγώ στην λύση σας θεωρώ ,αν δεν έχετε αντίρηση, ότι υπάρχει ένα κενό.
Αρχικά λογικά από τυπογραφικό εννοείται τα διαστήματα να είναι τα πιστεύω.
Επίσης πιστεύω πως απαιτείται ο ορισμός μια απεικόνισης όπως η παραπάνω για να καταλήξετε σε άτοπο.
Αυτό γιατί το ότι το είναι αριθμήσιμο δεν μας δίνει κάτι αδύνατο. ( πχ μια σταθερή συνάρτηση)

Ηλία σε ευχαριστώ για την επισήμανση του τυπογραφικού λάθους, το οποίο και θα διορθώσω αμέσως. Όσον αφορά όμως το δεύτερο θα μου επιτρέψεις να έχω αντίρρηση, γιατί δουλεύοντας με απαγωγή σε άτοπο στο συμπέρασμα που θέλουμε να πάρουμε, προκύπτει ότι η

είναι 1-1 (πως να είναι σταθερή;), άρα το $f(\mathbb{R})$ έχει την ισχύ του συνεχούς, κατά συνέπεια δεν είναι το πολύ αριθμήσιμο.
Φιλικά

Ilias_Zad · #6

s.kap έγραψε:
Ilias_Zad έγραψε:...Tώρα όμως και εγώ στην λύση σας θεωρώ ,αν δεν έχετε αντίρηση, ότι υπάρχει ένα κενό.
Αρχικά λογικά από τυπογραφικό εννοείται τα διαστήματα να είναι τα πιστεύω.
Επίσης πιστεύω πως απαιτείται ο ορισμός μια απεικόνισης όπως η παραπάνω για να καταλήξετε σε άτοπο.
Αυτό γιατί το ότι το είναι αριθμήσιμο δεν μας δίνει κάτι αδύνατο. ( πχ μια σταθερή συνάρτηση)
Ηλία σε ευχαριστώ για την επισήμανση του τυπογραφικού λάθους, το οποίο και θα διορθώσω αμέσως. Όσον αφορά όμως το δεύτερο θα μου επιτρέψεις να έχω αντίρρηση, γιατί δουλεύοντας με απαγωγή σε άτοπο στο συμπέρασμα που θέλουμε να πάρουμε, προκύπτει ότι η είναι 1-1 (πως να είναι σταθερή;), άρα το $f(\mathbb{R})$ έχει την ισχύ του συνεχούς, κατά συνέπεια δεν είναι το πολύ αριθμήσιμο.
Φιλικά

Έχετε απόλυτο δίκιο.
Δεν είχα δει ότι είχατε πει πως είναι 1-1!! Με συγχωρείτε.

Καθολική ιδιότητα συναρτήσεων

Καθολική ιδιότητα συναρτήσεων

Re: Καθολική ιδιότητα συναρτήσεων

Re: Καθολική ιδιότητα συναρτήσεων

Re: Καθολική ιδιότητα συναρτήσεων

Re: Καθολική ιδιότητα συναρτήσεων

Re: Καθολική ιδιότητα συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση