Άπειροι ρητοί αριθμοί.

#1

Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι ρητοί αριθμοί $\displaystyle{x \in Q}$ ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{\sqrt {x + 2009} }$ και $\displaystyle{\sqrt {x + 2010} }$ , να είναι συγχρόνως ρητοί.

#2

Σεραφείμ έγραψε:Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι ρητοί αριθμοί $\displaystyle{x \in Q}$ ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{\sqrt {x + 2009} }$ και $\displaystyle{\sqrt {x + 2010} }$ , να είναι συγχρόνως ρητοί.

Έστω $(\kappa, \lambda, \mu)$ μια Πυθαγόρεια τριάδα με $\kappa^2+\lambda^2=\mu^2$ .

Θέτουμε $\displaystyle{a=\frac{\kappa}{\lambda}}$ και $\displaystyle{b=\frac{\mu}{\lambda}}$ , οπότε είναι b^2=a^2+1

.

Τότε ο ρητός x=a^2-2009=b^2-2010

.

ικανοποιεί τη ζητούμενη συνθήκη.

Εφόσον υπάρχουν άπειρες Πυθαγόρειες τριάδες, η λύση ολοκληρώθηκε.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Μπράβο Αχιλλέα. Και η δική μου αντιμετώπιση ήταν μέσω Πυθαγόρειων τριάδων.

Και μέσω της απόδειξης του αδύνατου στην εικασία του Fermat, πλήν των τετριμένων περιπτώσεων, $\displaystyle{x = - 2009}$ και $\displaystyle{x = - 2010}$ , δεν υπάρχει άλλος ρητός ώστε οι αριθμοί

$\displaystyle{\sqrt[\big{n}]{{x + 2009}}}$ και $\displaystyle{\sqrt[\big{n}]{{x + 2010}}}$ να είναι συγχρόνως ρητοί για $\displaystyle{n \ge 3}$ .

#4

Σεραφείμ έγραψε:Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι ρητοί αριθμοί $\displaystyle{x \in Q}$ ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{\sqrt {x + 2009} }$ και $\displaystyle{\sqrt {x + 2010} }$ , να είναι συγχρόνως ρητοί.

Και άλλη μία λύση: ουσιαστικά είναι η ίδια με του Αχιλλέα αλλα είναι ντυμένη αλλιώς. Την γράφω γιατί έτσι την σκέφτηκα, πριν δω την παραπάνω.

Θέτουμε $x = \tan^2 \theta - 2009$ . Οπότε $\sqrt {x + 2009} = \tan \theta \,$ και $\sqrt {x + 2010} = \sqrt {\tan^2 \theta + 1} = 1/\cos \theta \,$ . Το θ το επιλέγουμε ώστε να είναι ργτές οι απαντήσεις. Π.χ. $\tan \theta = \frac {2t}{1-t^2}\,\,$ οπότε και $\cos \theta = \frac {1+t^2}{1-t^2}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#5

Σεραφείμ έγραψε:Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι ρητοί αριθμοί $\displaystyle{x \in Q}$ ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{\sqrt {x + 2009} }$ και $\displaystyle{\sqrt {x + 2010} }$ , να είναι συγχρόνως ρητοί.

Ας επανέλθω άάάάάλλη μια φορά, διώχνοντας τα περιττά. Η λύση παραμένη η ίδια, αλλά το δίδαγμα είναι ότι τα Μαθηματικά πρέπει να γράφονται "κατ΄οικονομίαν".

Θέτουμε $x = \frac {4t^2}{(1-t^2)^2} - 2009$ . Οπότε $\sqrt {x + 2009} = |\frac {2t}{1-t^2}|\,$ και $\sqrt {x + 2010} = \sqrt { \frac {4t^2}{(1-t^2)^2} + 1} = \sqrt{\frac {(1+t^2)^2}{(1-t^2)^2}}= |\frac {1+t^2}{1-t^2}|\,$ .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Άπειροι ρητοί αριθμοί.

Άπειροι ρητοί αριθμοί.

Re: Άπειροι ρητοί αριθμοί.

Re: Άπειροι ρητοί αριθμοί.

Re: Άπειροι ρητοί αριθμοί.

Re: Άπειροι ρητοί αριθμοί.

Μέλη σε σύνδεση