Όριο πηλίκου ολοκληρωμάτων

#1

Έστω $f:[a,b]\to(0,+\infty)$ συνεχής.

Ας βρεθεί, αν υπάρχει το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\frac{\int_{a}^{b}f^{n+1}(x)\,dx}{\int_{a}^{b}f^{n}(x)\,dx}}$ .

(Οι εκθέτες συμβολίζουν δύναμη)

#2

Αν η

είναι σταθερή, δηλαδή f(x)=c

για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {a,b} \right]}$ , τότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{\int\limits_a^b {{f^{n + 1}}\left( x \right) \cdot dx} }}{{\int\limits_a^b {{f^n}\left( x \right) \cdot dx} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{c^{n + 1}} \cdot \left( {b - a} \right)}}{{{c^n} \cdot \left( {b - a} \right)}} = c}$
Αν η f(x)

δεν είναι σταθερή, επειδή είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα θα έχει θέση μεγίστου. Έστω $\displaystyle{{f_{\max }} = M}$

Τότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\int\limits_a^b {{f^{n + 1}}\left( x \right) \cdot dx} }}{{\int\limits_a^b {{f^n}\left( x \right) \cdot dx} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{M^{n + 1}} \cdot \int\limits_a^b {{{\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{M}} \right)}^{n + 1}} \cdot dx} }}{{{M^n} \cdot \int\limits_a^b {{{\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{M}} \right)}^n} \cdot dx} }} = M \cdot \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\int\limits_a^b {{g^{n + 1}}\left( x \right) \cdot dx} }}{{\int\limits_a^b {{g^n}\left( x \right) \cdot dx} }}}$ , όπου $\displaystyle{g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{M}}$ , με $\displaystyle{0 \le g\left( x \right) \le 1}$ .

Έστω

το μέτρο του συνόλου $\displaystyle{X \subseteq \left[ {a,b} \right]}$ στο οποίο έχουμε $\displaystyle{g\left( x \right) = 1}$ . Aν $\displaystyle{L > 0:\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int\limits_a^b {{g^{n + 1}}\left( x \right) \cdot dx} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int\limits_a^b {{g^n}\left( x \right) \cdot dx} = L}$ , οπότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\int\limits_a^b {{f^{n + 1}}\left( x \right) \cdot dx} }}{{\int\limits_a^b {{f^n}\left( x \right) \cdot dx} }} = M}$

Αν L=0

τότε επειδή η g(x)

είναι συνεχής, οι θέσεις $\displaystyle{{x_i}}$ στις οποίες έχουμε $\displaystyle{g\left( {{x_i}} \right) = 1}$ , θα είναι μεμονωμένα σημεία. (Όχι πυκνό σύνολο στο $\displaystyle{\left[ {a,b} \right]}$ διότι λόγω συνέχειας θα προέκυπτε σταθερή συνάρτηση).

Έστω $\displaystyle{{D_i}:}$ «μικρή» περιοχή του $\displaystyle{{x_i}}$ . Τότε $\displaystyle{\int\limits_{{D_i}} {{g^{n + 1}}\left( x \right) \cdot dx} \ge \int\limits_{{D_i}} {{g^n}\left( x \right) \cdot \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) \cdot dx} }$ , οπότε αθροίζοντας (υπολογίζοντας και το $\displaystyle{\left[ {a,b} \right] - \bigcup\limits_i {{D_i}} }$ ), προκύπτει $\displaystyle{\int\limits_a^b {{g^{n + 1}}\left( x \right) \cdot dx} \ge \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) \cdot \int\limits_a^b {{g^n}\left( x \right) \cdot dx} }$ , για αρκούντως μεγάλα

, δηλαδή $\displaystyle{\left( {1 - \frac{1}{n}} \right) \le \frac{{\int\limits_a^b {{g^{n + 1}}\left( x \right) \cdot dx} }}{{\int\limits_a^b {{g^n}\left( x \right) \cdot dx} }}}$ .

Επίσης $\displaystyle{\int\limits_a^b {{g^{n + 1}}\left( x \right) \cdot dx} \le \int\limits_a^b {{g^n}\left( x \right) \cdot dx} \Rightarrow \frac{{\int\limits_a^b {{g^{n + 1}}\left( x \right) \cdot dx} }}{{\int\limits_a^b {{g^n}\left( x \right) \cdot dx} }} \le 1}$ και τελικά (σε όλες τις περιπτώσεις):
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\int\limits_a^b {{f^{n + 1}}\left( x \right) \cdot dx} }}{{\int\limits_a^b {{f^n}\left( x \right) \cdot dx} }} =M= \max \left( {f\left( x \right)} \right)}$ στο $\displaystyle{\left[ {a,b} \right]}$ .

#3

Σεραφείμ πολύ όμορφα!

Μια ακόμα λύση, πολύ όμορφη κατά τη γνώμη μου, που εντόπισα στο Problems and theorems in analysis I των Polya - Szergo

$\displaystyle{I_{n}^{2}:=\left(\int_{a}^{b}f^{n}(x)\,dx\right)^{2}=\left(\int_{a}^{b}f^{\frac{n-1}{2}}(x)f^{\frac{n+1}{2}}(x)\,dx\right)^2\stackrel{C.S.}{\leq}I_{n-1}I_{n+1}\Rightarrow}$

$\displaystyle{\frac{I_{n}}{I_{n-1}}\leq\frac{I_{n+1}}{I_{n}}}$ άρα η $\displaystyle{I_{n+1}/I_{n}}$ είναι αύξουσα και συνεπώς έχει όριο στο $\displaystyle{\mathbb{R}\cup\{+\infty\}}$ .

Άρα $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\frac{I_{n+1}}{I_{n}}\stackrel{\boxed{*}}{=}\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{I_{n}}\stackrel{\boxed{**}}{=}\max_{x\in[a,b]}f(x)=M}$ .

$\displaystyle{\boxed{*}}$ γνωστή άσκηση

$\displaystyle{\boxed{**}}$ έχει ξανασυζητηθεί εδώ στο 24).

Όριο πηλίκου ολοκληρωμάτων

Όριο πηλίκου ολοκληρωμάτων

Re: Όριο πηλίκου ολοκληρωμάτων

Re: Όριο πηλίκου ολοκληρωμάτων

Μέλη σε σύνδεση