ΜΠΟΡΕΙ ΚΑΠΟΙΟΣ ΝΑ ΛΥΣΕΙ ΑΥΤΗ ΤΗΝ ΑΣΚΗΣΗ??????????

tsifdrama · #1

Ένα τμήμα που παρακολουθεί μία Θεματική Ενότητα του ΕΑΠ αποτελείται από 25 φοιτητές: 10 φοιτητές είναι από την Αθήνα, εκ των οποίων 3 άνδρες και 7 γυναίκες, και 15 είναι από την υπόλοιπη χώρα, εκ των οποίων 7 άνδρες και 8 γυναίκες. Οι φοιτητές πρόκειται να υποβληθούν σε μία προφορική εξέταση, χωριστά ο καθένας. Για το λόγο αυτό κατατάσσονται σε τυχαία σειρά, με τρόπο που εξασφαλίζει ότι όλες οι «μεταθέσεις» τους είναι το ίδιο πιθανές.
(α) Ποια είναι η πιθανότητα οι δύο φοιτητές που τοποθετούνται πρώτοι στη σειρά να είναι από την Αθήνα;
(β) Ποια είναι η πιθανότητα τουλάχιστον ένας από τους δύο φοιτητές που τοποθετούνται πρώτοι στη σειρά να είναι από την Αθήνα;
(γ) Έστω ότι οι δύο φοιτητές που τοποθετούνται πρώτοι στη σειρά είναι γυναίκες. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι και οι δύο από την Αθήνα;
(δ) Έστω ότι η κατάταξη των φοιτητών στη σειρά γίνεται με διαφορετική τυχαία διαδικασία: πρώτα επιλέγεται ο τόπος κατοικίας, με ίση πιθανότητα να επιλεγεί η Αθήνα ή η υπόλοιπη χώρα, στη συνέχεια τοποθετούνται σε τυχαία σειρά όλοι οι φοιτητές από τον επιλεγμένο τόπο και κατόπιν έπονται στη σειρά όλοι οι υπόλοιποι φοιτητές. Έστω ότι οι δύο φοιτητές που τοποθετούνται πρώτοι στη σειρά είναι γυναίκες. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι από την Αθήνα;

#2

α) Δειγματικός χώρος $\displaystyle{\Omega }$ : όλες οι διατεταγμένες 25-άδες. $\displaystyle{N\left( \Omega \right) = 25!}$ , ενδεχόμενο $\displaystyle{{\rm X}}$ : οι δυο πρώτες θέσεις Αθηναίοι, $\displaystyle{{\rm N}\left( {\rm X} \right) = 10 \cdot 9 \cdot 23!}$ , οπότε $\displaystyle{P\left( X \right) = \frac{{10 \cdot 9}}{{24 \cdot 25}} = \frac{3}{{20}}}$ .

β) Δειγματικός χώρος $\displaystyle{\Omega }$ : όλες οι διατεταγμένες 25-άδες. $\displaystyle{N\left( \Omega \right) = 25!}$ , ενδεχόμενο $\displaystyle{{\rm X}}$ : στις δυο πρώτες θέσεις τουλάχιστον ένας Αθηναίος, $\displaystyle{X'}$ : στις δυο πρώτες θέσεις κανένας Αθηναίος $\displaystyle{{\rm N}\left( {{\rm X}'} \right) = 15 \cdot 14 \cdot 23!}$ και τελικά $\displaystyle{P\left( X \right) = 1 - \frac{{15 \cdot 14}}{{24 \cdot 25}} = \frac{{13}}{{20}}}$ .

γ) Δειγματικός χώρος $\displaystyle{\Omega }$ : όλες οι διατεταγμένες 25-άδες, με τις δύο πρώτες θέσεις γυναίκες, $\displaystyle{N\left( \Omega \right) = 15 \cdot 14 \cdot 23!}$ , ενδεχόμενο $\displaystyle{{\rm X}}$ : στις δυο πρώτες θέσεις Αθηναίες γυναίκες, $\displaystyle{{\rm N}\left( {\rm X} \right) = 7 \cdot 6 \cdot 23!}$ και τελικά $\displaystyle{P\left( X \right) = \frac{{7 \cdot 6}}{{15 \cdot 14}} = \frac{1}{5}}$ .

δ) Υπάρχουν $\displaystyle{7 \cdot 6 \cdot 8!}$ τρόποι να διατάξουμε τους Αθηναίους με γυναίκες στις δύο πρώτες θέσεις και $\displaystyle{10!}$ συνολικοί τόποι διάταξης, αντίστοιχα υπάρχουν $\displaystyle{8 \cdot 7 \cdot 13!}$ τρόποι να διατάξουμε τους υπόλοιπους με γυναίκες στις δύο πρώτες θέσεις και $\displaystyle{15!}$ συνολικοί τόποι διάταξης. Άρα υπάρχουν $\displaystyle{\left( {7 \cdot 6 \cdot 8!} \right) \cdot 15! + \left( {8 \cdot 7 \cdot 13!} \right) \cdot 10!}$ τρόποι να έχουμε δύο γυναίκες πρώτες, όμως ίδιας καταγωγής. Τότε αν $\displaystyle{P\left( {WA/W} \right)}$ είναι η πιθανότητα να έχουμε δύο Αθηναίες στις 2 πρώτες με δεδομένο δύο γυναικών σ’ αυτές τις θέσεις, θα ισχύει $\displaystyle{P\left( {WA/W} \right) = \frac{{P\left( {WA} \right)}}{{P\left( W \right)}} = \frac{{\left( {7 \cdot 6 \cdot 8!} \right) \cdot 15!}}{{\left( {7 \cdot 6 \cdot 8!} \right) \cdot 15! + \left( {8 \cdot 7 \cdot 13!} \right) \cdot 10!}} = \frac{7}{{11}}}$ .

ΜΠΟΡΕΙ ΚΑΠΟΙΟΣ ΝΑ ΛΥΣΕΙ ΑΥΤΗ ΤΗΝ ΑΣΚΗΣΗ??????????

ΜΠΟΡΕΙ ΚΑΠΟΙΟΣ ΝΑ ΛΥΣΕΙ ΑΥΤΗ ΤΗΝ ΑΣΚΗΣΗ??????????

Re: ΜΠΟΡΕΙ ΚΑΠΟΙΟΣ ΝΑ ΛΥΣΕΙ ΑΥΤΗ ΤΗΝ ΑΣΚΗΣΗ??????????

Μέλη σε σύνδεση