Γνωστό λήμμα;

#1

Έπεσα σήμερα το πρωί σε ένα λήμμα, που ομολογώ ότι δεν το ήξερα. Επίσης το έβαλα στα "Γενικά", γιατί δεν ήξερα σε ποιο φάκελο να το κατατάξω. Λέει τα εξής:

Αν $\displaystyle{{0^0} < a + b = x + y < {180^0}}$ και $\displaystyle{\frac{{\sin a}}{{\sin b}} = \frac{{\sin x}}{{\sin y}}}$ , τότε a=x

και

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Νομίζω πως ανάγονται όλα στα δύο σχήματα του συνημμένου: η υπόθεση συνεπάγεται την ισότητα $\displaystyle\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|BZ|}{|AZ|}$ , κάτι που δεν μπορεί να ισχύει για $a\neq x$ , $b\neq y$ , λόγω της $\displaystyle\left(\frac{sin\gamma}{sin(\pi-\theta-\gamma)}\right)'=\frac{sin\theta}{sin^2(\theta+\gamma)}$ .

[Λίγο τηλεγραφικά τα παραπάνω ... ειδικά επειδή υποπτεύομαι πως υπάρχουν κομψότερες προσεγγίσεις

]

dement · #3

Αν

, τότε $\displaystyle \frac{\sin a}{\sin b} = \frac{\sin (s-b)}{\sin b} = \sin s \cot b - \cos s$ , οπότε μπορεί να θεωρηθεί και ως συνέπεια της μονοτονίας της συνεφαπτομένης στο διάστημα $(0, \pi)$ .

#4

Από την $\displaystyle{ \sin{a}\sin{y} = \sin{b}\sin{x}}$ παίρνουμε $\displaystyle{ \cos{(a-y)} - \cos{(a+y)} = \cos{(b-x)} - \cos{(b+x)}.}$ Επειδή όμως a-y = x-b

καταλήγουμε στην $\displaystyle{ \cos{a+y} = \cos{b+x}. }$

Από εδώ βγαίνει εύκολα το a+y = b+x

και άρα και το a=x,b=y

αρκεί όμως να ξέρουμε επιπλέον ότι $a,b,x,y > 0^{\circ}$ .

#5

Ακόμη μία προσέγγιση με την καλησπέρα μου στους αγαπητούς φίλους:

Αφού οι γωνίες a,b

και

είναι θετικές και έχουν άθροισμα μικρότερο των $180^{\circ}$ άρα υπάρχει τρίγωνο ABC

και

που έχει ως γωνίες τις $\angle{A}=a$ , $\angle{B}=b$ και $\angle{X}=x$ , $\angle{Y}=y$ αντίστοιχα. Μάλιστα λόγω της ισότητας a+b=x+y

προκύπτει $\angle{C}=\angle{Z}=\omega$ .

: Λήμμα με λόγο ημιτόνων.png (16.74 KiB) Προβλήθηκε 3258 φορές

Από τον νόμο των ημιτόνων στο ABC

έχουμε $\dfrac{\sin{a}}{\sin{b}}=\dfrac{BC}{CA}$ και $\dfrac{\sin{x}}{\sin{y}}=\dfrac{YZ}{ZX}$ .

Συνεπώς, από τη δοσμένη σχέση $\dfrac{\sin{a}}{\sin{b}}= \dfrac{\sin{x}}{\sin{y}}$ , παίρνουμε $\dfrac{BC}{CA}=\dfrac{YZ}{ZX}$ και αφού $\angle{C}=\angle{Z}=\omega$ , άρα τα τρίγωνα είναι όμοια οπότε το ζητούμενο έπεται...

Αλέξανδρος

#6

gbaloglou έγραψε:Νομίζω πως ανάγονται όλα στα δύο σχήματα του συνημμένου: η υπόθεση συνεπάγεται την ισότητα $\displaystyle\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|BZ|}{|AZ|}$ , κάτι που δεν μπορεί να ισχύει για $a\neq x$ , $b\neq y$ , λόγω της $\displaystyle\left(\frac{sin\gamma}{sin(\pi-\theta-\gamma)}\right)'=\frac{sin\theta}{sin^2(\theta+\gamma)}$ .

Χωρίς ... παραγώγους, η $\displaystyle\frac{|BC|}{|AC|}>\frac{|BZ|}{|AZ|}$ είναι άμεση από το Θεώρημα του Πτολεμαίου στο ACZB

. (Αναφέρομαι στο αρχικό μου σχήμα.)

[Για το αρχικό γνωστό (;) λήμμα οικονομικότερη/γεωμετρικότερη είναι βεβαίως η απόδειξη του Αλέξανδρου.]

#7

Καλημέρα!

Σας ευχαριστώ όλους για την ενασχόληση με το θέμα και τις υποδειγματικές απαντήσεις.
Η πηγή μου είναι εδώ. Όπως φαίνεται κάποιος το βρήκε κάπου ως άσκηση και το μετονόμασε σε λήμμα.

#8

Το χρησιμοποιούμε εκτεταμένα, με πολλές (εύκολες και δύσκολες) εφαρμογές στο βιβλίο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ.

Γνωστό λήμμα;

Γνωστό λήμμα;

Re: Γνωστό λήμμα;

Re: Γνωστό λήμμα;

Re: Γνωστό λήμμα;

Re: Γνωστό λήμμα;

Re: Γνωστό λήμμα;

Re: Γνωστό λήμμα;

Re: Γνωστό λήμμα;

Μέλη σε σύνδεση