ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

#1

Με αφορμή τις συζητήσεις σχετικά με τη χρησιμότητα ή όχι των ερωτήσεων "κλειστού τύπου", τελευταίο απομεινάρι της "μεταρρύθμισης Αρσένη", ανοίγω εδώ ένα σχετικό θέμα.

Ξεκινώ με ένα κείμενο του αείμνηστου Θ. Ν. Καζαντζή στο βιβλίο του "Τεστ πολλαπλής επιλογής για την Α΄ Λυκείου", του 1998, Εκδόσεις Χάρης Βαφειάδης, Μαθηματική Βιβλιοθήκη.

: 31-05-2012 Sosot Lathos a.jpg (186.9 KiB) Προβλήθηκε 1958 φορές

Επίσης, (ξανα)δίνω σε σύνδεσμο το κείμενο του Θ.Ν.Κ. από την Μαθηματική Παιδεία 2 (1996) σχετικά τε τα tests πολλαπλής επιλογής. ΕΔΩ

Ακολουθεί δείγμα ερωτήσεων από το βιβλίο του Θ.Ν.Κ.

#2

Μερικές ερωτήσεις (με βάση την τότε ύλη της Α΄ Λυκείου)

: 31-05-2012 Sostο Lathos.jpg (177.87 KiB) Προβλήθηκε 1952 φορές

Αν υπάρχει ενδιαφέρον και δοθούν απαντήσεις, αιτιολογήσεις και σχόλια, θα αναρτήσω και τη συνέχεια.

S.E.Louridas · #3

Ναι έχει τεράστιο ενδιαφέρον Γιώργο.
Και αυτό επειδή το εκάστοτε Μαθηματικό είτε Διδακτικό τοπίο θα πρέπει να ξεκαθαρίζει για όλους μας.
Τό mathematica είναι μοναδική ευκαιρία πρός την κατεύθυνση αυτή, ας το εκμεταλευτούμε.
Φανταστείτε οι Μαθητές, που τυχαίνει να μας παρακολουθούν εδώ, να γίνονται μάρτυρες αντιθέσεων και μέχρι εκεί. Πώς αυτοί θα πειστούν για την Μαθηματική Αλήθεια, την δύναμη της απλότητας της Μαθηματικής σκέψης, γιά την ομορφιά τελικά των ίδιων των Μαθηματικών;
Στο πνεύμα των όσων είχε γράψει εδώ στο mathematica ο Γιώργος Μπαλόγλου και που συμφωνώ απόλυτα μαζί του:
Ή κάνουμε κάτι και το κάνουμε Καλά ή δεν το κάνουμε καθόλου.

Και για να ξεκινήσω επί του πρακτέου π.χ. για την ερώτηση (4) θα απαντούσα ΛΑΘΟΣ και αυτό διότι η συνεπαγωγή
$\left( {a = - 2,\;b = - 3,\;c = \frac{1} {2} \in {\Cal R}} \right)\left( {abc = 3 > 1} \right) \Rightarrow \left( { - 2 > 1} \right) \vee \left( { - 3 > 1} \right) \vee \left( {\frac{1} {2} > 1} \right)$
είναι ψευδής πρόταση. Κάνω άραγε λάθος και πώς θα μπορούσαμε να το δούμε αλλιώς;

(*) Συγχωρήστε μου την ενσυνείδητη υπερβολή συμβολισμών ως προς την παρουσίαση (όχι δεν θα το έδινα ποτέ έτσι σε μαθητές οποιασδήποτε τάξης).
Για τούτο και χάριν του διαλόγου μας ας ασχοληθούμε κατ’ αρχάς οι Καθηγητές και οι φοιτητές των θετικών επιστημών μόνο και επί της ουσίας off δηλαδή των συμβολισμών.

#4

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Αν υπάρχει ενδιαφέρον και δοθούν απαντήσεις, αιτιολογήσεις και σχόλια, θα αναρτήσω και τη συνέχεια.

S.E.Louridas έγραψε:Ναι έχει τεράστιο ενδιαφέρον Γιώργο.

Δεν θα έλεγα ότι το βλέπω ... το τεράστιο ενδιαφέρον

Τέλος πάντων, αναρτώ το δεύτερο μέρος και αν ξεχαστεί ξανά σε 5-6 μέρες θα αναρτήσω και το τρίτο.

Κατόπιν, αν κανείς ...

δεν ασχοληθεί θα δώσω εγώ τις απαντήσεις μου...

Νομίζω πάντως ότι είναι ΩΡΑΙΑ ΘΕΜΑΤΑ που αξίζει να ασχοληθούμε.

Μάλλον απλά ξεπεράστηκαν και ξεχάστηκαν με την μεγάλη ταχύτητα που ανανεώνονται οι συζητήσεις μας.

: 06-06-2012 Sosot Lathos b.jpg (107.24 KiB) Προβλήθηκε 1781 φορές

S.E.Louridas · #5

Προσωπικά Γιώργο επιμένω να θεωρώ την παρέμβαση σου αυτή, που είναι άνοιγμα γνωριμίας με το συγκεκριμένο στυλ θεματολογίας, σημαντικότατη.
Ο ίδιος ο Θόδωρος Καζαντζής βέβαια έκφρασε την άποψη: … Συνίσταται πάντως, να χρησιμοποιούνται αυτά τα tests, περισσότερο για διδακτικούς και πολύ λιγότερο για σκοπούς βαθμολόγησης, με την οποία με βάση την διδακτική μου αντίληψη συμφωνώ.
Όμως ως Μαθηματικό το στύλ αυτό της θεματοδοσίας με ενδιαφέρει πολλαπλά.
Μήπως τελικά στις μέρες μας αυτή η φράση του Θ. Καζαντζή έγινε η αφορμή, ώστε η σκοπιμότητα να υπερισχύσει της αναγκαιότητας και ο διάλογος αυτός να μην θεωρείται γενικά για την πρώτη γραμμή;...είδωμεν...

#6

Γιώργο και Σωτήρη, ασφαλώς και το θέμα το παρακολουθούμε αρκετοί με μεγάλο ενδιαφέρον. Είναι θέμα που όλους μας απασχολεί και κατά καιρούς έχουμε αρκετοί εκφράσει απόψεις. Από αυτά που έχει παραθέσει ο Γιώργος από το βιβλίο του Καζαντζή, βλέπουμε ότι είναι δυνατόν να φτιαχτούν προσεγμένες ερωτήσεις του τύπου Σ - Λ, χωρίς να μας προβληματίζει το τι θα πρέπει να απαντήσουμε. Πιστεύω προσωπικά ότι και οι (προσεγμένες) ερωτήσεις αυτού του τύπου, έχουν την δική τους αξία στην αξιολόγιση.
Κοιτώντας μία προς μία τις ερωτήσεις, δεν πρόσεξα κάτι το διφορούμενο.
Για παράδειγμα, στην ερώτηση $\displaystyle{7}$ , βλέπουμε ότι δεν γράφει απλώς να αναφέρουμε αν είναι σωστό ή λάθος το

$\displaystyle{a^{a^a}=(a^a)^a}$ (όπου η απάντηση όπως εγώ την αντιλαμβάνομαι θα ήταν : μερικές φορές είναι σωστό και τις περισσότερες φορές είναι λάθος) αλλά βάζει και τον απαραίτητο ποσοδείκτη:

Για κάθε $\displaystyle{a>0}$ είναι σωστό ή λάθος το $\displaystyle{a^{a^a}=(a^a)^a}$ , οπότε δεν χωράει καμία αμφιβολία ότι είναι λάθος.

Ιδιαίτερα μου άρεσαν οι ερωτήσεις $\displaystyle{4 , 5 , 8 , 12 , 13 , 19 , 20}$

Περιμένουμε και τις άλλες ερωτήσεις που έχεις να μας δώσεις Γιώργο.

#7

Ας το "ζωηρέψουμε"...

Από (Θ.Ν.Κ)

1. Αν $\displaystyle \left| {x - \alpha } \right| < \varepsilon$ για κάθε $\displaystyle \varepsilon > 0$ τι συμπεραίνετε για τις δυνατές τιμές του

;

$\displaystyle {\rm A}.\;\;\alpha - \varepsilon < x < \alpha + \varepsilon$

$\displaystyle {\rm B}.\;x = \alpha$

$\displaystyle \Gamma .\;x = \alpha \pm \varepsilon ,\;$ για κάθε $\displaystyle \varepsilon > 0$

2. Για ποια $\displaystyle x \in IR$ ισχύει $\displaystyle \left| {x - \varepsilon } \right| < \varepsilon$ για κάθε $\displaystyle \varepsilon > 0$ ;

$\displaystyle {\rm A}.\;\;0 < x < 2\varepsilon \;$

$\displaystyle {\rm B}.\;\;x = \varepsilon ,$ για κάθε $\displaystyle \varepsilon > 0$

$\displaystyle \Gamma .$ για κανένα

$\displaystyle \Delta .\;x = 0$

Οι απαντήσεις ας συνοδεύονται από αιτιολόγηση.

freyia · #8

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Ας το "ζωηρέψουμε"...

Από (Θ.Ν.Κ)

1. Αν $\displaystyle \left| {x - \alpha } \right| < \varepsilon$ για κάθε $\displaystyle \varepsilon > 0$ τι συμπεραίνετε για τις δυνατές τιμές του ;

$\displaystyle {\rm A}.\;\;\alpha - \varepsilon < x < \alpha + \varepsilon$

$\displaystyle {\rm B}.\;x = \alpha$

$\displaystyle \Gamma .\;x = \alpha \pm \varepsilon ,\;$ για κάθε $\displaystyle \varepsilon > 0$

2. Για ποια $\displaystyle x \in IR$ ισχύει $\displaystyle \left| {x - \varepsilon } \right| < \varepsilon$ για κάθε $\displaystyle \varepsilon > 0$ ;

$\displaystyle {\rm A}.\;\;0 < x < 2\varepsilon \;$

$\displaystyle {\rm B}.\;\;x = \varepsilon ,$ για κάθε $\displaystyle \varepsilon > 0$

$\displaystyle \Gamma .$ για κανένα

$\displaystyle \Delta .\;x = 0$

Οι απαντήσεις ας συνοδεύονται από αιτιολόγηση.

1. $-\epsilon <x-a< \epsilon \Leftrightarrow a-\epsilon<x<a+\epsilon$ . Σωστό το

2. $-\epsilon <x-\epsilon <\epsilon \Leftrightarrow 0<x<2.\epsilon$ . Σωστό το

#9

freyia έγραψε:
Γιώργος Ρίζος έγραψε:Ας το "ζωηρέψουμε"...

Από (Θ.Ν.Κ)

1. Αν $\displaystyle \left| {x - \alpha } \right| < \varepsilon$ για κάθε $\displaystyle \varepsilon > 0$ τι συμπεραίνετε για τις δυνατές τιμές του ;

$\displaystyle {\rm A}.\;\;\alpha - \varepsilon < x < \alpha + \varepsilon$

$\displaystyle {\rm B}.\;x = \alpha$

$\displaystyle \Gamma .\;x = \alpha \pm \varepsilon ,\;$ για κάθε $\displaystyle \varepsilon > 0$

2. Για ποια $\displaystyle x \in IR$ ισχύει $\displaystyle \left| {x - \varepsilon } \right| < \varepsilon$ για κάθε $\displaystyle \varepsilon > 0$ ;

$\displaystyle {\rm A}.\;\;0 < x < 2\varepsilon \;$

$\displaystyle {\rm B}.\;\;x = \varepsilon ,$ για κάθε $\displaystyle \varepsilon > 0$

$\displaystyle \Gamma .$ για κανένα

$\displaystyle \Delta .\;x = 0$

Οι απαντήσεις ας συνοδεύονται από αιτιολόγηση.

1. $-\epsilon <x-a< \epsilon \Leftrightarrow a-\epsilon<x<a+\epsilon$ . Σωστό το

2. $-\epsilon <x-\epsilon <\epsilon \Leftrightarrow 0<x<2.\epsilon$ . Σωστό το

Στο 1) σωστό είναι το Β και όχι το Α, καθώς δίνεται ότι $\displaystyle{|x-a|<\epsilon }$ για κάθε $\displaystyle{\epsilon >0}$ .

Για να δούμε γιατί ισχύει αυτό, ας υποθέσουμε ότι $\displaystyle{x\ne a}$ , οπότε $\displaystyle{|x-a|>0}$ και ας θέσουμε $\displaystyle{\epsilon \to \frac{|x-a|}{2}.}$ Λαμβάνουμε τότε $\displaystyle{|x-a|<0,}$ άτοπο.

S.E.Louridas · #10

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Ας το "ζωηρέψουμε"...

Από (Θ.Ν.Κ)

1. Αν $\displaystyle \left| {x - \alpha } \right| < \varepsilon$ για κάθε $\displaystyle \varepsilon > 0$ τι συμπεραίνετε για τις δυνατές τιμές του ;

$\displaystyle {\rm A}.\;\;\alpha - \varepsilon < x < \alpha + \varepsilon$

$\displaystyle {\rm B}.\;x = \alpha$

$\displaystyle \Gamma .\;x = \alpha \pm \varepsilon ,\;$ για κάθε $\displaystyle \varepsilon > 0$
Οι απαντήσεις ας συνοδεύονται από αιτιολόγηση.

Ας μου επιτραπεί να βάλω ένα ερώτημα:
Όταν λέμε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού

ισχύει
$\left| {x - a} \right| < \varepsilon ,\;\;\forall \varepsilon > 0$ , μήπως εννοούμε:
Θεωρούμε σε ισχύ ότι για τον τυχόντα θετικό αριθμό $\varepsilon$ υπάρχει
$x_0 \in {\Cal R},\;\left| {x_0 - a} \right| < \varepsilon$ και ζητάμε να προσδιορίσουμε που μεταβάλλεται το

;

Ιστοσελίδα · #11

Η απάντηση για του κλειστού τύπου ερωτήσεις είναι κατά την οπτική μου απλή : ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ή ΚΑΘΟΛΟΥ!!! Η αιτιολόγηση μπορεί να είναι και δια της απαγωγής σε άτοπο, η οποία θα έχει αιτιολογηθεί όμως ...

S.E.Louridas · #12

S.E.Louridas έγραψε:
Γιώργος Ρίζος έγραψε:Ας το "ζωηρέψουμε"...

Από (Θ.Ν.Κ)

1. Αν $\displaystyle \left| {x - \alpha } \right| < \varepsilon$ για κάθε $\displaystyle \varepsilon > 0$ τι συμπεραίνετε για τις δυνατές τιμές του ;

$\displaystyle {\rm A}.\;\;\alpha - \varepsilon < x < \alpha + \varepsilon$

$\displaystyle {\rm B}.\;x = \alpha$

$\displaystyle \Gamma .\;x = \alpha \pm \varepsilon ,\;$ για κάθε $\displaystyle \varepsilon > 0$
Οι απαντήσεις ας συνοδεύονται από αιτιολόγηση.

Θεωρώ λοιπόν ότι η σωστή απάντηση στην:

► Εάν υπάρχει πραγματικός αριθμός

τέτοιος που $\left| {x - a} \right| < \varepsilon ,$ για κάθε θετικό αριθμό $\varepsilon$ ...
είναι x=a

,
δηλαδή η

, που θεωρώ οτι τελικά αφορά και το θέμα μας, αφού "έπεται" το: "για κάθε θετικό αριθμό $\varepsilon$ "
και βέβαια η αιτιολόγηση είναι η του Θάνου (matha).

Ενώ η σωστή απάντηση στην:
► Εάν για κάθε θετικό αριθμό $\varepsilon$ υπάρχει πραγματικός αριθμός

, τέτοιος ώστε $\left| {x - a} \right| < \varepsilon$ ...,
είναι η

(Freyia).

Tελικά οι λεπτομέρειες έχουν την σημασία τους σε κάποια από τα θέματα αυτά,...προχωράμε.

edit: Tοποθέτηση αποσιωπητικών

perpant · #13

Ας συνεισφέρω και εγώ με το νούμερο 20

Έστω ότι $\displaystyle{\alpha > 0}$ .

Τότε η ανίσωση $\displaystyle{\alpha x > \beta }$ έχει λύσεις $\displaystyle{x > \frac{\beta }{\alpha }}$ . Άτοπο αφού η εξίσωση δεν έχει ουδεμία λύση.

Ομοίως έχει λύσεις αν $\displaystyle{\alpha < 0}$ . Οπότε πρέπει $\displaystyle{\alpha = 0}$ .

Για $\displaystyle{\alpha = 0}$ έχουμε λοιπόν $\displaystyle{0x > \beta }$ .

Έστω τώρα ότι $\displaystyle{\beta < 0}$ . Τότε η ανίσωση $\displaystyle{0x > \beta }$ επαληθεύεται για κάθε πραγματικό αριθμό, αφού το μηδέν είναι μεγαλύτερο από κάθε αρνητικό. Άτοπο αφού η εξίσωση δεν έχει ουδεμία λύση.

Συνεπώς $\displaystyle{\beta \ge 0}$ .

Οπότε η απάντηση είναι Σωστό.

#14

Ξεκινάω και εγώ με την (1) από τις Σ - Λ

(Οι απαντήσεις σε αυτού του τύπου ερωτήσεις, χρειάζονται ΜΕΓΑΛΗ ΠΡΟΣΟΧΗ, γιατί είναι εύκολο να την πατήσουμε, αν τις υποτιμήσουμε. Εγώ τουλάχιστον, το έχω πάθει αρκετές φορές)

ΕΡΩΤΗΣΗ 1. Η εξίσωση $\displaystyle{ax^2 + bx +c =0}$ , με $\displaystyle{a , b , c \epsilon R}$ , και $\displaystyle{ac<0}$ , έχει δύο ρίζες $\displaystyle{p_1 , p_2}$ , πραγματικές και ετερόσημες.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Αρχικά, αφού είναι $\displaystyle{ac<0}$ , σίγουρα θα είναι $\displaystyle{a}$ διάφορο του μηδενός. Επίσης η διακρίνουσα είναι :

$\displaystyle{\Delta = b^2 -4ac >0}$ , αφού $\displaystyle{ac<0}$ . Άρα σίγουρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

Τέλος, αφού το γινόμενο των ριζών αυτών είναι $\displaystyle{\frac{c}{a} <0}$ , έπεται ότι οι ρίζες είναι ετερόσημες.

ΑΡΑ η απάντησν στην ερώτηση , είναι ΣΩΣΤΟ.

S.E.Louridas · #15

Ας προταθεί και το εξής θέμα:

Να χαρακτηριστεί ο συλλογισμός:

« $\left| x \right| < y$ ισοδυναμεί $- y < x < y,\quad x,y \in {\Cal R}$ »,

χρησιμοποιώντας έναν από τους χαρακτηρισμούς ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ,
αιτιολογώντας την απάντηση σας.

#16

ΕΡΩΤΗΣΗ 2 (του τύπου Σ-Λ)
Η εξίσωση $\displaystyle{ax^2+bx+c=0}$ , έχει δύο ρίζες $\displaystyle{p_1 , p_2}$ , με $\displaystyle{p_1 . p_2= \frac{c}{a} >0}$ , και $\displaystyle{p_1 +p_2 = -\frac{b}{a}>0}$ . Tότε οι ρίζες είναι θετικές.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

Από τις υποθέσεις, δεν έπεται ότι οι ρίζες είναι πραγματικές. Στην περίπτωση λοιπόν που είναι μιγαδικές, δεν μπορούμε να μιλήσουμε για θετικές. Άρα θεωρώ την απάντηση ότι είναι το : ΛΑΘΟΣ.

Για παράδειγμα, η εξίσωση $\displaystyle{2x^2-3x+5=0}$ , ικανοποιεί όλες τις απαιτήσεις της ερώτησης, όμως δεν έχει ρίζες θετικές.

Εδώ βλέπουμε ότι και ο κ. Καζαντζής δεν έχει βάλλει την λέξη ΄"πάντα", διότι η συγκεκριμένη εξίσωση υπάρχει περίπτωση να έχει και ρίζες θετικές, αν αυτές είναι πραγματικές.

Πιθανόν το βιβλίο του να απευθυνόταν σε μαθητές Α Λυκείου, που δεν έχουν διδαχθεί μιγαδικούς αριθμούς, οπότε να εννοούσε ότι οι ρίζες $\displaystyle{p_1}$ και p_2

είναι πραγματικές. Στην περίπτωση αυτή, η απάντηση θα είναι "ΣΩΣΤΟ".

Επίσης είναι πιθανόν να εννοούσε τις ρίζες πραγματικές, αφού ζητάει να απαντήσουμε αν είναι θετικές, οπότε αποκλείεται να είναι μιγαδικές.

Όπως και να έχει πάντως, μια πλήρως δικαιολογημένη απάντηση, θα πρέπει να θεωρηθεί σωστή.
Νομίζω ότι εδώ φαίνεται καθαρά η αξία της δικαιολόγησης για την απάντηση που θα δώσουμε.
ΑΡΑ: Ερωτήσεις του τύπου Σ _ Λ, χωρίς την δικαιολόγηση, μποροιύν να οδηγήσουν σε σύγχιση.

#17

S.E.Louridas έγραψε:Ας προταθεί και το εξής θέμα:

Να χαρακτηριστεί ο συλλογισμός:

« $\left| x \right| < y$ ισοδυναμεί $- y < x < y,\quad x,y \in {\Cal R}$ »,

χρησιμοποιώντας έναν από τους χαρακτηρισμούς ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ,
αιτιολογώντας την απάντηση σας.

Πολύ ωραία ερώτηση!! Με μια γρήγορη ματιά, φαίνεται να θέλει την απάντηση: ΛΑΘΟΣ.
Ας δούμε 'ομως τι λέει η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ:

Ας ονομάσουμε $\displaystyle{p}$ : $\left | x\right|<y$ και $\displaystyle{q}$ : -y<x<y

Ας δούμε την αλήθεια της συνεπαγωγής $\displaystyle{p\Rightarrow q}$
Aν $\displaystyle{p}$ αληθής, τότε και η $\displaystyle{p\Rightarrow q}$ είναι αληθής ως γνωστόν.
Αν $\displaystyle{p}$ ψευδής, τότε και η $\displaystyle{q}$ είναι ψευδής. Συνεπώς η συνεπαγωγή
$\displaystyle{p\Rightarrow q}$ , είναι αληθής ,( αφού είναι αληθές το ότι : Ψευδές συνεπάγεται Ψευδές)

Αντίστροφα τώρα:
Αν $\displaystyle{q}$ αληθής, τότε , ως γνωστόν η $\displaystyle{q\Rightarrow p}$ είναι αληθής.
Αν $\displaystyle{q}$ ψευδής, τότε και η $\displaystyle{p}$ είναι ψευδής. Άρα η συνεπαγωγή $\displaystyle{q\Rightarrow p}$ είναι αληθής.

Από τα παραπάνω, βγαίνει το συμπέρασμα ότι η ισοδυναμία $p\Leftrightarrow q$ είναι πάντα ΑΛΗΘΗΣ'

Συνεπώς η απάντηση στο ερώτημα είναι: "ΣΩΣΤΟ!!"

perpant · #18

Το νούμερο 18

Ερώτηση:
Είναι δυνατόν ένας αριθμός $\displaystyle{\rho }$ να είναι ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{A\left( x \right) = 0}$ χωρίς να είναι ρίζα και της εξίσωσης $\displaystyle{A\left( x \right)B\left( x \right) = 0}$ ;

Απάντηση:
Η απάντηση είναι Σωστό.
Για παράδειγμα: Η εξίσωση $\displaystyle{x - 1 = 0}$ έχει ρίζα τον αριθμό $\displaystyle{\rho = 1}$ , ο οποίος δεν είναι ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{\left( {x - 1} \right)\frac{{x - 2}}{{x^2 - 1}} = 0}$

S.E.Louridas · #19

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
S.E.Louridas έγραψε:Ας προταθεί και το εξής θέμα:

Να χαρακτηριστεί ο συλλογισμός:

« $\left| x \right| < y$ ισοδυναμεί $- y < x < y,\quad x,y \in {\Cal R}$ »,

χρησιμοποιώντας έναν από τους χαρακτηρισμούς ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ,
αιτιολογώντας την απάντηση σας.
Πολύ ωραία ερώτηση!! Με μια γρήγορη ματιά, φαίνεται να θέλει την απάντηση: ΛΑΘΟΣ.
Ας δούμε 'ομως τι λέει η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ:

Ας ονομάσουμε $\displaystyle{p}$ : $\left | x\right|<y$ και $\displaystyle{q}$ :
Ας δούμε την αλήθεια της συνεπαγωγής $\displaystyle{p\Rightarrow q}$
Aν $\displaystyle{p}$ αληθής, τότε και η $\displaystyle{p\Rightarrow q}$ είναι αληθής ως γνωστόν.
Αν $\displaystyle{p}$ ψευδής, τότε και η $\displaystyle{q}$ είναι ψευδής. Συνεπώς η συνεπαγωγή
$\displaystyle{p\Rightarrow q}$ , είναι αληθής ,( αφού είναι αληθές το ότι : Ψευδές συνεπάγεται Ψευδές)

Αντίστροφα τώρα:
Αν $\displaystyle{q}$ αληθής, τότε , ως γνωστόν η $\displaystyle{q\Rightarrow p}$ είναι αληθής.
Αν $\displaystyle{q}$ ψευδής, τότε και η $\displaystyle{p}$ είναι ψευδής. Άρα η συνεπαγωγή $\displaystyle{q\Rightarrow p}$ είναι αληθής.

Από τα παραπάνω, βγαίνει το συμπέρασμα ότι η ισοδυναμία $p\Leftrightarrow q$ είναι πάντα ΑΛΗΘΗΣ'

Συνεπώς η απάντηση στο ερώτημα είναι: "ΣΩΣΤΟ!!"

Ναι Δημήτρη, όπως πολύ σωστά είπες η απάντηση είναι "ΣΩΣΤΟ" .
Προσωπικά στους Μαθητές θα προσπαθούσα να το διδάξω ως εξής:

Αν η ισοδυναμία είναι ΣΩΣΤΗ. Η απόδειξη υπάρχει και στο σχολικό βιβλίο αν δεν κάνω λάθος.
Αν $y \leqslant 0,$ η σχέση $\left| x \right| < y$ δεν ισχύει δηλαδή είναι Ψευδής αφού η απόλυτη τιμή είναι μη αρνητικός αριθμός. Επίσης η σχέση
$0 \leqslant - y < x < y \leqslant 0$ , προφανώς είναι Ψευδής.
Άρα η ισοδυναμία είναι ΣΩΣΤΗ και στην περίπτωση αυτή, αφού δύο ψευδείς προτάσεις είναι ισοδύναμες.
Τελικά η ισοδυναμία « $\left| x \right| < y$ ισοδυναμεί $- y < x < y,\;\;x,y \in {\Cal R}$ »
είναι σε κάθε περίπτωση ΣΩΣΤΗ.

(*) Σημασία έχει σε τέτοιες περιπτώσεις ότι για την Αλήθεια μίας ισοδυναμίας δεν θα πρέπει να αποφασίζουμε με βάση την αλήθεια της κάθε μίας από τις προτάσεις μεμονωμένα. Θα πρέπει να μας ενδιαφέρει τι γίνεται με την αλήθεια του "πακέτου" ας πούμε $p\Leftrightarrow q$ , με βάση τις τιμές αλήθειας των προτάσεων που την "συνθέτουν".

#20

Συνεχίζουμε με την Ερώτηση 3 (του τύπου Σ - Λ): Είναι δυνατόν δύο τρίγωνα να έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και μία γωνία ίση, χωρίς να είναι ίσα

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Είναι ΣΩΣΤΟ

Πράγματι, μπορούμε να κατασκευάσουμε δύο τέτοια τρίγωνα χωρίς να είναι απαραίτητα και ίσα.

Θεωρούμε λοιπόν τρίγωνο ABC

με την γωνία

να μην είναι ορθή. Με κέντρο το

και ακτίνα

, γράφουμε κύκλο ο οποίος τέμνει την ευθεία

στο σημείο

. Τότε τα τρίγωνα ABC

, και

, είναι αυτά που θέλουμε.

ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

Μέλη σε σύνδεση