Περιοδικό Μαθηματική Παιδεία #5 Άλυτες

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Περιοδικό Μαθηματική Παιδεία #5 Άλυτες

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από parmenides51 » Τετ Ιαν 30, 2013 8:10 pm

Η αρχική μου ιδέα όπως διατυπώθηκε εδώ
Το περιοδικό ''Μαθηματική Παιδεία'' κυκλοφόρησε σε 5 τεύχη. Οι προτεινόμενες του ασκήσεις των τεσσάρων πρώτων τευχών λύθηκαν στο 4ο και 5ο τεύχος του.
Οι προτεινόμενες ασκήσεις του 5ου και τελευταίου τεύχους παρέμειναν άλυτες. Σκέφτηκα πως θα ήταν ιδιαίτερα χρήσιμο να λυθούν και να συγκεντρωθούν οι λύσεις αυτών. Συνολικά έχει 3 άλυτες στην Α' Λυκείου (Α.47-49), 8 άλυτες στην Β' Λυκείου (Β.39-46) και 25 άλυτες στην Γ' Λυκείου (Γ.201 -225).
Ξεκινάω να τις προτείνω λίγες λίγες .


Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ
(λύθηκαν όλες)

Α.47. Σε τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} είναι \displaystyle{\widehat{B}=30^o} και \displaystyle{\widehat{\Gamma}=15^o}.
Αν \displaystyle{A\Delta} είναι ύψος και \displaystyle{AM} διάμεσος του, να δείξετε ότι \displaystyle{\widehat{\Delta AM}=45^o}.

Μ.Στεργίου εδώ


Α.48. Σε ένα τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} φέρνουμε το ύψος \displaystyle{A\Delta} και τη διάμεσο \displaystyle{BM} .
Αν \displaystyle{A\Delta=BM}, να δείξετε ότι \displaystyle{\widehat{MB\Gamma}=30^o}.

Μ.Στεργίου εδώ


Α.49. Στο εσωτερικό ενός τριγώνου \displaystyle{AB\Gamma} , παίρνουμε σημείο \displaystyle{P} έτσι ώστε \displaystyle{\widehat{PBA}=\widehat{P\Gamma {\color{red}A}}} .
Αν \displaystyle{P\Delta \perp AB,PE \perp A \Gamma } και \displaystyle{M} είναι το μέσο της \displaystyle{B\Gamma}, να αποδειχθεί ότι \displaystyle{M\Delta = ME}.

Μ.Στεργίου εδώ

Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ
(λύθηκαν όλες)

Β.39. Σε ένα τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} είναι \displaystyle{\widehat{B}=60^o} .
Στο εξωτερικό του τριγώνου κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle{AB\Delta}.
Η \displaystyle{\Delta \Gamma} τέμνει την \displaystyle{AB} στο \displaystyle{Z}.
Αν \displaystyle{BE} είναι η διχοτόμος από το \displaystyle{B} , να αποδειχθεί ότι:
i) \displaystyle{EZ//B\Gamma}
ii) οι \displaystyle{\Gamma\Delta , BE} και η διάμεσος του τριγώνου \displaystyle{AB\Gamma} από το \displaystyle{A}, διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Μ.Στεργίου εδώ


Β.40. Μπορεί το \displaystyle{1230} να γραφεί σαν άθροισμα \displaystyle{10} διαδοχικών περιττών;

Δ.Γεωργακίλας εδώ


B.41. Εαν \displaystyle{\alpha-1,\beta-1,\gamma-1} είναι ακέραιοι, πολλαπλάσια του \displaystyle{4},
να δείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{\alpha x^2+\beta x+\gamma=0} είναι αδύνατη στο \displaystyle{\mathbb{Z}}.

Δ.Γεωργακίλας εδώ


B.42. Έχει ακέραιες λύσεις η εξίσωση \displaystyle{22x^3+2002x^2+1999x+40=0} ;

Δ.Γεωργακίλας εδώ


B.43. Για ποιες τιμές του \displaystyle{\lambda} ο αριθμός \displaystyle{\frac{7\lambda+3}{11}} είναι ακέραιος;

Δ.Γεωργακίλας εδώ


B.44. Να δείξετε ότι:
i) \displaystyle{25 / (6^{\nu+1}-5\nu-6)}
ii) \displaystyle{25 / (19\cdot 6^{\nu}-20\nu-19)}
iii) \displaystyle{25 / (13\cdot 6^{\nu}-15\nu-13)}

Δ.Γεωργακίλας εδώ


B.45. i) Να δείξετε ότι, για \displaystyle{\alpha,\beta,\gamma \in\mathbb{Z}} , \displaystyle{4/ (\alpha^2-\beta^2)(\beta^2-\gamma ^2)(\gamma ^2-\alpha^2)}.
ii) Εαν \displaystyle{\alpha,\beta,\gamma} είναι όλοι άρτιοι ή όλοι περιττοί τότε \displaystyle{64/(\alpha^2-\beta^2)(\beta^2-\gamma ^2)(\gamma ^2-\alpha^2)}.

Δ.Γεωργακίλας εδώ


B.46. Δίνεται τρίγωνο με ακέραιες πλευρές, του οποίου οι δυο μικρότερες απ' αυτές δεν είναι πολλαπλάσια του \displaystyle{3}.
Να δείξετε ότι το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο.

Δ.Γεωργακίλας εδώ

Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ
(υπάρχουν άλυτες ακόμα)

Γ.201. Για τους \displaystyle{\nu x \nu} πίνακες \displaystyle{A,B,\Gamma} ισχύει : \displaystyle{(A-\Gamma)  (B-\Gamma)=A-B}.
Αποδείξτε ότι: \displaystyle{AB+B\Gamma +\Gamma A=BA+\Gamma B+A \Gamma}.

Λ.Θαραλλίδης (από Florin Enescu) εδώ


Γ.202. Έστω ο \displaystyle{\kappa x \kappa} πίνακας \displaystyle{A} με \displaystyle{\alpha_{\nu}A^{\nu}+\alpha_{\nu-1}\cdot A^{\nu-1}+...+\alpha_1\cdot A+{\color{red}\alpha_0}\mathbb{I}=\mathbb{O}}, όπου \displaystyle{\alpha_0,\alpha_1,...,\alpha_{\nu}\in\mathbb{R}}.
Να βρεθεί για ποιες τιμές του \displaystyle{x\in\mathbb{R}} ο πίνακας \displaystyle{A-x\mathbb{I}} αντιστρέφεται και να βρεθεί ο αντίστροφος του.

Ν.Λιάπης εδώ


Γ.203. Θεωρούμε το σύστημα \displaystyle{(\Sigma): \left\{\begin{matrix}
x_{\nu}+x_1=\alpha_1 \\ 
x_1+x_2=\alpha_2 \\ 
...............\\ 
x_{\nu-1}+x_{\nu}=\alpha_{\nu}
\end{matrix}\right} \,\, \nu \in \mathbb{N}^*, \alpha_i \in \mathbb{R}}

α) Να αποδειχθεί ότι : για \displaystyle{\nu} άρτιο, το \displaystyle{(\Sigma)} είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις.
β) Για \displaystyle{\nu} περιττό , να λυθεί το \displaystyle{(\Sigma)}.

Ν.Λιάπης εδώ (άλυτη)


Γ.204. Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f(z)=\frac{z-i}{z+i}\,\, , \,\,\ z\in \mathbb{C}-\{-i\}}.

α) Αν \displaystyle{|z|=1}, δείξτε ότι η εικόνα του \displaystyle{f(z)} κινείται στον άξονα \displaystyle{y'y}.
β) Αν \displaystyle{Arg[f(z)]=\frac{7\pi}{4}}, να βρείτε την γραμμή στην οποία κινείται η εικόνα του \displaystyle{z}.

Ν.Κατσάς εδώ


Γ.205. Δίνονται τα διανύσματα \displaystyle{\overrightarrow{\alpha}, \overrightarrow{\beta}, \overrightarrow{\gamma}\ne \overrightarrow{0}} και τα συνευθειακά σημεία \displaystyle{A,B,\Gamma} τέτοια ώστε

\displaystyle{\left(\left|\overrightarrow{\alpha}\right|-\left|\overrightarrow{\beta}\right|\right)\cdot\overrightarrow{OA}+\left(\left|\overrightarrow{\beta}\right|-\left|\overrightarrow{\gamma}\right|\right)\cdot\overrightarrow{OB}+{\color{red}\left|\overrightarrow{\beta}\right|}\cdot\overrightarrow{O\Gamma}=\overrightarrow{0} } ,

όπου \displaystyle{O} τυχαίο σημείο εκτός της ευθείας των \displaystyle{A,B,\Gamma}.

Να δείξετε ότι : \displaystyle{ \left|\overrightarrow{\alpha}\right|^2+\left|\overrightarrow{\beta}\right|^2\ge \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{\gamma}\right|^2}

Σ.Τριανταφυλλίδης εδώ


Γ.206. Έστω \displaystyle{AB} η χορδή της παραβολής \displaystyle{(c):y^2=2px} που διέρχεται από την εστία της \displaystyle{E}.
α) Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες της \displaystyle{(c)} στα \displaystyle{A,B} τέμνονται κάθετα.
β) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\left|\overrightarrow{AB}\right|} σε σχέση με τα \displaystyle{y_1,y_2} αν \displaystyle{A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)}.
γ) Να δείξετε ότι : \displaystyle{\sigma \upsilon \nu ^2\omega=\frac{9|p|}{9|p|+8\left|\overrightarrow{AB}\right|}} όπου \displaystyle{\omega=\left(\widehat{OA,OB}\right)}
δ) Να δείξετε ότι : \displaystyle{E^2=\frac{1}{8}p^2\cdot |p| \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|} όπου \displaystyle{E} το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{OAB}.

Σ.Τριανταφυλλίδης εδώ


Γ.207. Αν για τα διανύσματα \displaystyle{\overrightarrow{\alpha}, \overrightarrow{\beta}, \overrightarrow{\gamma}} του επιπέδου γνωρίζουμε ότι:
\displaystyle{\overrightarrow{\alpha}+\left(\overrightarrow{\alpha}\overrightarrow{\beta}\right)\overrightarrow{\gamma}=\overrightarrow{\beta}}
\displaystyle{\overrightarrow{\beta}+\left(\overrightarrow{\beta}\overrightarrow{\gamma}\right)\overrightarrow{\alpha}=\overrightarrow{\gamma}}
\displaystyle{\left|\overrightarrow{\gamma}\right|=1} ,
αποδείξτε ότι : \displaystyle{\overrightarrow{\alpha}+ \overrightarrow{\gamma}=2 \overrightarrow{\beta}}.

Λ.Θαραλλίδης εδώ


Γ.208. Έστω το σύνολο \displaystyle{\Omega =\{z\in \mathbb{C} : z^{2000}=1\}}.
Επιλέγουμε δυο διαφορετικά στοιχεία από το \displaystyle{\Omega}.
Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων:
\displaystyle{A=\{} οι αριθμοί είναι πραγματικοί \displaystyle{ \}}
\displaystyle{B=\{} οι αριθμοί είναι συζυγείς \displaystyle{ \}}
\displaystyle{\Gamma=\{} οι αριθμοί είναι αντίστροφοι \displaystyle{ \}}
\displaystyle{\Delta=\{} οι εικόνες των αριθμών βρίσκονται στο τρίτο τεταρτημόριο \displaystyle{ \}}

Ν.Κατσάς εδώ (άλυτη)


Γ.209. Οι ευθείες \displaystyle{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4} συντρέχουν στο σημείο \displaystyle{O}.
Επιλέγουμε στην \displaystyle{\varepsilon_1} διαφορετικό του \displaystyle{O}, σημείο \displaystyle{O'} και φέρνουμε από το \displaystyle{O'}
τις ευθείες \displaystyle{\zeta_1,\zeta_2,\zeta_3,\zeta_4,...,\zeta_i \ne \varepsilon_i} για \displaystyle{i=1,2,3,4}.
α) Πόσα τρίγωνα περιέχονται στο σχήμα;
β) Πόσα τετράπλευρα περιέχονται στο σχήμα;

Λ.Θαρραλίδης εδώ (άλυτη)


Γ.210. Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο \displaystyle{\Omega=\{1,2,3,...,\nu\}} ενός πειράματος τύχης,

ο οποίος αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα με \displaystyle{\nu \in \mathbb{N}} και \displaystyle{I=\frac{\pi}{\nu}},

όπου \displaystyle{I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)dx}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)dx}}

με \displaystyle{f,g} συναρτήσεις συνεχείς στο \displaystyle{\mathbb{R}} και τέτοιες ώστε \displaystyle{f(x)=\sigma \upsilon \nu ^2 x-g(x) \, ,\, x\in \mathbb{R}}.

Έστω \displaystyle{A \subseteq \Omega, \kappa \in  \Omega} το ενδεχόμενο \displaystyle{\lim_{x\to - \infty}\frac{-2x^{\kappa}+x^2+1998}{3x^2+x+1}=+\infty}.

Να υπολογιστεί η πιθανότητα \displaystyle{P(A)}.

Σ.Τσεκουράς εδώ


Γ.211. Να βρεθεί η \displaystyle{f} αν ισχύει ότι \displaystyle{f(x)>0\, \, , \,\, f'(x)\cdot f(1-x)=1 } για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}} και \displaystyle{f(0)=\frac{1}{\sqrt{e}}}.

Α.Συγκελάκης εδώ


Γ.212. Έστω συνάρτηση \displaystyle{f}, ορισμένη και δυο φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle{[\alpha,\beta]} με \displaystyle{f(\alpha)=f(\beta)=0}.
Αν υπάρχει \displaystyle{\gamma \in (\alpha,\beta)} με \displaystyle{f(\gamma)<0} να δειχθεί ότι υπάρχει \displaystyle{\xi \in(\alpha,\beta)} έτσι ώστε \displaystyle{f''(\xi)>0}.

Χ.Μηλαροκώστας εδώ


Γ.213. Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f}}, δυο φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle{\mathbb{R}} για την οποία ισχύουν:
i) Η \displaystyle{f } παρουσιάζει στο \displaystyle{x_o=2} τοπικό ακρότατο.
ii) Η \displaystyle{f'} στρέφει τα κοίλα κάτω στο \displaystyle{[1,4]}.
Να αποδείξετε ότι:
α) \displaystyle{f'(4)+2f'(1)<0}
β) \displaystyle{2f''(2)-f'(4)\ge 0}
γ) Αν \displaystyle{ f'(4)> 0} τότε υπάρχει \displaystyle{x_o\in [1,2]} τέτοιο ώστε να ισχύει
\displaystyle{f'(x_o)\cdot e^{x_o}-f'(x_o+2)\cdot \ln x_o=f'(x_o)\ln x_o-f'(x_o+2)\cdot e^{x_o}}

Σ.Τριανταφυλλίδης εδώ


Γ.214. Για την συνεχή στο \displaystyle{\mathbb{R}} συνάρτηση \displaystyle{f} ισχύει \displaystyle{\int_{0}^{1}{f(t)dt}=\int_{1}^{2}{f(t)dt}}.
Αποδείξτε ότι:
α) Η \displaystyle{f } δεν είναι 1-1.
β) Υπάρχει \displaystyle{\xi >0} τέτοιο ώστε \displaystyle{f(\xi)=\int_{ {\color{red}0}}^{1}{f(\xi t)dt}}

Λ.Θαρραλίδης εδώ


Γ.215. Να λυθεί η συναρτησιακή εξίσωση: \displaystyle{f(x)+f(-x)=1998 } για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}.

Σ.Μπαλτατζής εδώ


Γ.216. Δίνεται η φραγμένη συνάρτηση \displaystyle{f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}}.

Αν για κάθε \displaystyle{x,y \in \mathbb{R}} ισχύει \displaystyle{\left(\frac{1}{\sqrt x}+\frac{1}{\sqrt y}\right)f(xy)=\frac{1}{x}f(x)+\frac{1}{y}f(y)}

αποδείξτε ότι \displaystyle{\lim_{x\to 0^+}f(x)=0}

Κ.Παπακώστας εδώ


Γ.217. Να εξετάσετε εαν υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}} για την οποία ισχύουν συγχρόνως

\displaystyle{f(f(x))f'(x)=f(x) \, , \,\, f(x)\ne 0} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}} και \displaystyle{f'(1)=1}.

Ο.Μοσχίδης εδώ


Γ.218. Δίνεται συνάρτηση \displaystyle{f} γνησίως αύξουσα και κοίλη στο διάστημα \displaystyle{[\alpha,\beta]} με \displaystyle{f(\alpha)\ge 0}.

Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό \displaystyle{ \xi \in \left(\alpha,\frac{\alpha+\beta}{2}\right)} τέτοιο ώστε \displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}{f(x)dx}=(\beta-\alpha)f(\xi)}.

Γ.Μαυρίδης εδώ


Γ.219. Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=x+\sqrt{x^2+1}}

α) Να μελετηθεί η \displaystyle{f} ως προς την μονοτονία.

β) Αν \displaystyle{(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1}, να δειχτεί ότι \displaystyle{x+y=0}.

γ) Να υπολογιστεί το \displaystyle{\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx}}

Π.Μυταρέλλης εδώ


Γ.220. Για τις διάφορες τιμές του \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}} να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης \displaystyle{2x(e^x-1)+(1-\lambda)e^x+\lambda=0} στο \displaystyle{\mathbb{R}}.

Ε. Μήτσιου εδώ


Γ.221. Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=-x-2\ln(e^{-x}+1) \,\, , \,\, x \in\mathbb{R}}

A. α) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

β) Να δείξετε ότι είναι άρτια και να τη μελετήσετε ως προς τις ασύμπτωτες.

Β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της \displaystyle{f'(x)} και να δείξετε ότι η γωνίας κλίσεως \displaystyle{\varphi} της εφαπτομένης στην \displaystyle{C_f} παίρνει τις τιμές \displaystyle{\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)}.

Ε.Μήτσιου εδώ


Γ.222. Αν το άθροισμα \displaystyle{\nu} διανυσμάτων έχει μέτρο \displaystyle{\kappa\ge 3} με \displaystyle{\kappa\in \mathbb{R}} να αποδείξετε οτι υπάρχουν μερικά από αυτά (μπορεί και ένα) που το μέτρο του αθροίσματός τους είναι μεγαλύτερο ή ίσο του \displaystyle{1}.

Π.Γουτχίδης εδώ (άλυτη)


Γ.223.Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\left|\mathbb{I}+A B (adjA)\right|=\left|\mathbb{I}+(adjA)BA\right|} , όπου \displaystyle{A,B,\mathbb{I}} πίνακες \displaystyle{\nu \,x \, \nu}.

Δ.Γεωργακίλας εδώ


Γ.224. Να λυθεί στο \displaystyle{\mathbb{C}} το σύστημα \displaystyle{\left\{\begin{matrix}
z^7+w^3=0\\ 
z^{14}\cdot (\overline{w})^4=1
\end{matrix}\right.}}

Σ.Τσομίδης εδώ


Γ.225. Έστω ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς \displaystyle{xOy}.
Θεωρούμε το σημείο \displaystyle{A(1,0)} και το ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο το \displaystyle{O}.
Να βρεθεί η \displaystyle{B\Gamma} και αν \displaystyle{O'} το σημείο τομής της με τον \displaystyle{x'x},
να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή το \displaystyle{O'} και εστία το \displaystyle{A}.

Π.Κουρσουμπάς εδώ


Υ.Γ. Προτάθηκαν όλες :)


Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης