Μια ειδική συνάρτηση....

kostas_zervos · #1

Με αφορμή το http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=111&t=36453 ...

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x^2+1}+x$ και Μ τυχάιο σημείο της C_f

.

α)Να αποδειχτεί ότι η εφαπτόμενη της C_f

στο Μ σχηματίζει με τις ασύμπτωτές της τρίγωνο με σταθερό εμβαδόν.

β)Αν ο κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας $\displaystyle \rho=\sqrt[4]{5}$ τέμνει την διχοτόμο της αμβλείας γωνίας των ασυμπτώτων της στα Κ , Λ , τότε ισχύει ότι $MK-M\Lambda=$ σταθερό.

γ)Αν $\theta$ η αμβλεία γωνία των ασυμπτώτων της , τότε $\displaystyle\tan\frac{\theta}{2}=\phi$ (Χρυσή τομή).

#2

kostas_zervos έγραψε:Με αφορμή το http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=111&t=36453 ...

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x^2+1}+x$ και Μ τυχάιο σημείο της .

α)Να αποδειχτεί ότι η εφαπτόμενη της στο Μ σχηματίζει με τις ασύμπτωτές της τρίγωνο με σταθερό εμβαδόν.

β)Αν ο κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας $\displaystyle \rho=\sqrt[4]{5}$ τέμνει την διχοτόμο της αμβλείας γωνίας των ασυμπτώτων της στα Κ , Λ , τότε ισχύει ότι $MK-M\Lambda=$ σταθερό.

γ)Αν $\theta$ η αμβλεία γωνία των ασυμπτώτων της , τότε $\displaystyle\tan\frac{\theta}{2}=\phi$ (Χρυσή τομή).

: Ειδική συνάρτηση_αντίστροφο_1.png (17.2 KiB) Προβλήθηκε 466 φορές

1) Η συνάρτηση $f(x) = \sqrt {{x^2} + 1} + x$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ είναι θετικών τιμών κι αυτό γιατί κι αν ακόμα x < 0

θα έχουμε

και η σχέση $f(x) > 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} > - x > 0 \Leftrightarrow {x^2} + 1 > {( - x)^2} \Leftrightarrow 1 > 0$ που είναι αληθές.
$f'(x) = \displaystyle\frac{{f(x)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} > 0,x \in \mathbb{R}$ συνεπώς η

είναι γνήσια αύξουσα στο $\mathbb{R}$ , άρα και 1 - 1

, οπότε αντιστρέφεται . Η εξίσωση $y = f(x),y > 0 \Leftrightarrow x = \displaystyle\frac{{{y^2} - 1}}{{2y}} = {f^{ - 1}}(y)$
Θεωρώ λοιπόν την $T(x) = {f^{ - 1}}(x) = \displaystyle\frac{{{x^2} - 1}}{{2x}},x > 0$ και μελετώ το αντίστοιχο 1ο ερώτημα . η $T(x) = \displaystyle\frac{1}{2}(x - \frac{1}{x})\,\,\,,T'(x) = \displaystyle\frac{1}{2}(1 + \displaystyle\frac{1}{{{x^2}}})$ . Η εφαπτομένη στο τυχαίο σημείο M(a,T(a)),a > 0

έχει εξίσωση :
$\boxed{y - T(a) = T'(a)(x - a)}\,\,(1)$ Αν τώρα η εφαπτομένη αυτή τέμνει τον κατακόρυφο άξονα στο σημείο

και την ευθεία με εξίσωση x = 2y

στο σημείο

βρίσκουμε:
$A(2a,a)\,\,\kappa \alpha \iota \,B(0, - \displaystyle\frac{1}{a})$ συνεπώς $\boxed{(MAB) = \displaystyle\frac{1}{2}| - \displaystyle\frac{1}{a}||2a| = 1}$
Όμως όπως εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε για την ${C_f}$ οριζόντια ασύμπτωτη είναι η y = 0

στην περιοχή του $- \infty$ και πλάγια η y = 2x

στην περιοχή του $+ \infty$ .
Έτσι για την ${C_T}$ οι αντίστοιχες ευθείες είναι $x = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,x = 2y$ που όπως δείξαμε με την εφαπτομένη της ${C_T}$ στο τυχαίο της σημείο

ορίζουν τρίγωνο σταθερού εμβαδού ίσο με

τετραγωνική μονάδα .
Παρατηρήσεις :
Η ${C_f}$ και κατ’ επέκταση η ${C_T}$ είναι τμήματα υπερβολών ( που έχουν υποστεί στροφή ).
Οι ευθείες $x = 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x = 2y$ που είναι ασύμπτωτες της ${C_T}$ μπορούν να προκύψουν και από την αντίστοιχη μελέτη της $T(x) = \displaystyle\frac{1}{2}(x - \displaystyle\frac{1}{x})\,\,,x > 0$ ,αφού $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} T(x) = - \infty$ , ενώ $T(x) - \displaystyle\frac{1}{2}x = - \displaystyle\frac{1}{{2x}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (T(x) - \displaystyle\frac{1}{2}x) = 0$

: ειδική συνάρτηση.png (35.88 KiB) Προβλήθηκε 466 φορές

3) Τα $P(1,2)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,S( - \sqrt 5 ,0)$ είναι σημεία στις ασύμπτωτες : $y = 2x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,y = 0$ αντίστοιχα και αφού $OP = OS = \sqrt 5$ το μέσο

του

θα ανήκει στην διχοτόμο της γωνίας $\theta$ . όμως το $N(\displaystyle\frac{{ - \sqrt 5 + 1}}{2},1)$ . Αν

η προβολή του

στον οριζόντιο άξονα από το ορθογώνιο τρίγωνο ZON

έχουμε : $\boxed{\varepsilon \varphi \displaystyle\frac{\theta }{2} = \displaystyle\frac{{NZ}}{{OZ}} = \displaystyle\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} = \varphi }$
Εκκρεμότητα το 2ο ερώτημα.

Φιλικά Νίκος

Μια ειδική συνάρτηση....

Μια ειδική συνάρτηση....

Re: Μια ειδική συνάρτηση....

Μέλη σε σύνδεση