Αναζήτηση καμπύλης

KARKAR · #1

: Αναζήτηση καμπύλης.png (10.68 KiB) Προβλήθηκε 484 φορές

Το σημείο

κινείται στον οριζόντιο άξονα και είναι συνδεδεμένο με το κέντρο του κύκλου x^2+(y-2)^2=4

.

Το

τέμνει τον κύκλο στο

και αναζητώ το γεωμετρικό τόπο του μέσου

του τμήματος

.

Η καμπύλη "θυμίζει" συνάρτηση της μορφής $\displaystyle y=\frac{x^2}{x^2+k}$ , ακριβέστερα $\displaystyle y=\frac{x^2}{mx^2+k} ,m,k>0$ , αλλά θέλει ψάξιμο ...

#2

KARKAR έγραψε:
Αναζήτηση καμπύλης.png
Το σημείο κινείται στον οριζόντιο άξονα και είναι συνδεδεμένο με το κέντρο του κύκλου .

Το τέμνει τον κύκλο στο και αναζητώ το γεωμετρικό τόπο του μέσου του τμήματος .

Η καμπύλη "θυμίζει" συνάρτηση της μορφής $\displaystyle y=\frac{x^2}{x^2+k}$ , ακριβέστερα $\displaystyle y=\frac{x^2}{mx^2+k} ,m,k>0$ , αλλά θέλει ψάξιμο ...

Ονομάζουμε

την προβολή του

στον άξονα των

και

την προβολή του

στον άξονα των

. Θέτουμε

.

Αν

το γενικό σημείο του τόπου, τότε με χρήση των KT=KO=2

έχουμε

α) Από το Πυθαγόρειο στο KPM

ότι

β) Από την ομοιότητα των $MQS, \, KOS$ ότι $\displaystyle{ MS: MQ=KS:KO}$ , άρα $\displaystyle{\frac {a}{y}=\frac {2a+2}{2}}$ .

Η τελευταία δίνει $\displaystyle{a=y/(1-y)}$ που με αντικατάσταση στην πρώτη δίνει (αν έκανα σωστά τις πράξεις) $\displaystyle{x^2= \frac {(2y-y^2)(4-4y+y^2)}{(1-y)^2}}$ .

Ας σημειώσω ότι έχει οριζόντια ασύμπτωτη την y =1

.

Φιλικά,

Μιχάλης

Αναζήτηση καμπύλης

Αναζήτηση καμπύλης

Re: Αναζήτηση καμπύλης

Μέλη σε σύνδεση