Θεωρία Συνόλων-Σ-Λ
Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης
Θεωρία Συνόλων-Σ-Λ
Με αφορμή μία συζήτηση που έγινε στο facebook.
Να χαρακτηρίσετε Σωστή ή Λάθος την παρακάτω πρόταση:
Να χαρακτηρίσετε Σωστή ή Λάθος την παρακάτω πρόταση:
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Θεωρία Συνόλων-Σ-Λ
Σωστή.silouan έγραψε: Να χαρακτηρίσετε Σωστή ή Λάθος την παρακάτω πρόταση:
Κάπως αναλυτικά γιατί υποθέτω ότι κάπου έχει προκύψει θέμα:
α) Το αριστερό σύνολο είναι μονοσύνολο. Το μοναδικό του στοιχείο είναι το . Το
τελευταίο είναι και αυτό μονοσύνολο. Το μοναδικό του στοιχείο είναι κάποιο σύνολο (ακριβέστερα,
μοναδικό του στοιχείο είναι το κενό σύνολο).
β) Το δεξί σύνολο είναι δισύνολο. Έχει ως στοιχείο i) το κενό σύνολο και ii) το μονοσύνολο .
Ας παρατηρήσουμε ότι τα i) και ii) είναι διαφορετικά (το μεν κενό σύνολο δεν έχει στοιχεία ενώ το άλλο έχει ακριβώς ένα
στοιχείο).
Παρατηρούμε ότι το ii) είναι (το μοναδικό) στοιχείο του αριστερού συνόλου, οπότε σίγουρα . Δεδομένου όμως ότι (αφού το ένα είναι μονοσύνολο και το άλλο δισύνολο), έχουμε ότι ο εγκλεισμός είναι γνήσιος.
Re: Θεωρία Συνόλων-Σ-Λ
Αυτή ήταν και η δική μου αρχική προσέγγιση όταν είδα την ερώτηση, αλλά ύστερα προέκυψε το παρακάτω:
https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number
Το αριστερό μέλος και το δεξί είναι δύο διαφορετικές παραστάσεις του αριθμού 2, κατά von Neumann και τα Zermelo.
Οπότε κατ' αυτή την έννοια, είναι ίσα.
https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number
Το αριστερό μέλος και το δεξί είναι δύο διαφορετικές παραστάσεις του αριθμού 2, κατά von Neumann και τα Zermelo.
Οπότε κατ' αυτή την έννοια, είναι ίσα.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Θεωρία Συνόλων-Σ-Λ
Απλά θα ήθελα να βάλω στη κουβέντα ένα ακόμα ερώτημα για τον μαγευτικό κόσμο των "συμβολιστικών μαθηματικών", όπως προέκυψε από τη τοποθέτηση του Μιχάλη Λάμπρου:
Ο πληθικός αριθμός του συνόλου είναι ίδιος με τον πληθικό αριθμό του συνόλου ;
Διότι αν οι πληθικοί τους αριθμοί δεν είναι ίσοι, τότε η σωστή προφανής απάντηση στο πρόβλημα είναι «ΣΩΣΤΟ» καθότι δύο ίσα σύνολα που είναι υποσύνολα ενός "φυσικού συνόλου" θα έχουν και τον ίδιο πληθικό αριθμό.
Κοιτώντας λοιπόν την Wikipedia έχουμε κατά Zermelo: και κατά Newman χωρίς αυτό να σημαίνει ότι Επομένως: Μήπως αντί για το σύμβολο της ισότητας αριθμού με σύνολο στην Wikipedia θα έπρεπε να τοποθετηθεί το σύμβολο της αντιστοίχισης αριθμού με σύνολο;
Ο πληθικός αριθμός του συνόλου είναι ίδιος με τον πληθικό αριθμό του συνόλου ;
Διότι αν οι πληθικοί τους αριθμοί δεν είναι ίσοι, τότε η σωστή προφανής απάντηση στο πρόβλημα είναι «ΣΩΣΤΟ» καθότι δύο ίσα σύνολα που είναι υποσύνολα ενός "φυσικού συνόλου" θα έχουν και τον ίδιο πληθικό αριθμό.
Κοιτώντας λοιπόν την Wikipedia έχουμε κατά Zermelo: και κατά Newman χωρίς αυτό να σημαίνει ότι Επομένως: Μήπως αντί για το σύμβολο της ισότητας αριθμού με σύνολο στην Wikipedia θα έπρεπε να τοποθετηθεί το σύμβολο της αντιστοίχισης αριθμού με σύνολο;
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Θεωρία Συνόλων-Σ-Λ
Γεια σας!
Το παραπάνω παράδειγμα απασχόλησε έντονα τις φιλοσοφικές σχολές των μαθηματικών. Η ύπαρξη διαφορετικών κατασκευών υποστηρίζει την πλατωνική άποψη ότι τα μαθηματικά αντικείμενα υπάρχουν πέρα από τις διάφορες γλωσσολογικές, συμβολικές ή εννοιολογικές αναπαραστάσεις τους. Άλλοι επίσης υποστηρίζουν ότι ερωτήσεις ποιος είναι ο αριθμός και αν το είναι μέλος του , δεν χρειάζονται καμία απάντηση, αφού ένας φυσικός αριθμός είναι μια θέση στη δομή των φυσικών αριθμών και η θέση δεν ταυτίζεται με το πρόσωπο…
Από μαθηματικής πλευράς , η αξιωματική θεωρία συνόλων Zermelo–Fraenkel (ZF) παρείχε μία βάση για να αποφευχθούν τα γνωστά παράδοξα και ακόμα χρησίμευσε ως μια λογική βάση για τα υπάρχοντα μαθηματικά. Μέχρι στιγμής δεν έχει προκύψει κάποιο παράδοξο εντός της θεωρίας αυτής, εν τούτοις η συνέπεια της δεν έχει αποδειχθεί. Στην ZF οι φυσικοί αριθμοί ορίζονται αναδρομικά με την κατασκευή του John von Neumann, δηλαδή . Εδώ κάθε φυσικός (εκτός του ) ορίζεται ως σύνολο με ακριβώς στοιχεία.
Από την άλλη η κατασκευή του Zermelo ορίζει κάθε φυσικό (εκτός του ) ως μονοσύνολο,δηλαδή .
Άρα στην ZF η απάντηση είναι σωστή αφού . Αλλιώς με την πλατωνική άποψη Zermelo von Neumann είναι λάθος !
Το παραπάνω παράδειγμα απασχόλησε έντονα τις φιλοσοφικές σχολές των μαθηματικών. Η ύπαρξη διαφορετικών κατασκευών υποστηρίζει την πλατωνική άποψη ότι τα μαθηματικά αντικείμενα υπάρχουν πέρα από τις διάφορες γλωσσολογικές, συμβολικές ή εννοιολογικές αναπαραστάσεις τους. Άλλοι επίσης υποστηρίζουν ότι ερωτήσεις ποιος είναι ο αριθμός και αν το είναι μέλος του , δεν χρειάζονται καμία απάντηση, αφού ένας φυσικός αριθμός είναι μια θέση στη δομή των φυσικών αριθμών και η θέση δεν ταυτίζεται με το πρόσωπο…
Από μαθηματικής πλευράς , η αξιωματική θεωρία συνόλων Zermelo–Fraenkel (ZF) παρείχε μία βάση για να αποφευχθούν τα γνωστά παράδοξα και ακόμα χρησίμευσε ως μια λογική βάση για τα υπάρχοντα μαθηματικά. Μέχρι στιγμής δεν έχει προκύψει κάποιο παράδοξο εντός της θεωρίας αυτής, εν τούτοις η συνέπεια της δεν έχει αποδειχθεί. Στην ZF οι φυσικοί αριθμοί ορίζονται αναδρομικά με την κατασκευή του John von Neumann, δηλαδή . Εδώ κάθε φυσικός (εκτός του ) ορίζεται ως σύνολο με ακριβώς στοιχεία.
Από την άλλη η κατασκευή του Zermelo ορίζει κάθε φυσικό (εκτός του ) ως μονοσύνολο,δηλαδή .
Άρα στην ZF η απάντηση είναι σωστή αφού . Αλλιώς με την πλατωνική άποψη Zermelo von Neumann είναι λάθος !
Although this may seem a paradox, all exact science is dominated by the idea of approximation. Bertrand Russell
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Θεωρία Συνόλων-Σ-Λ
Προσωπικά δεν έχω να προσθέσω τίποτα.
Ο Μιχάλης Λάμπρου το ανέλυσε μία χαρά.
Στον παρακάτω σύνδεσμο βρίσκεται το βιβλίο του ειδικού Γιάννη Μοσχοβάκη
http://www.math.ucla.edu/~ynm/lectures/g.pdf
Διαβάζοντας τις δύο πρώτες σελίδες ο καθένας διαμορφώνει προσωπική άποψη.
Ο Μιχάλης Λάμπρου το ανέλυσε μία χαρά.
Στον παρακάτω σύνδεσμο βρίσκεται το βιβλίο του ειδικού Γιάννη Μοσχοβάκη
http://www.math.ucla.edu/~ynm/lectures/g.pdf
Διαβάζοντας τις δύο πρώτες σελίδες ο καθένας διαμορφώνει προσωπική άποψη.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Θεωρία Συνόλων-Σ-Λ
Σιλουανέ, νομίζω ότι το συμπέρασμα που βγαίνει για τις δύο κατασκευές του , τιςsilouan έγραψε:Αυτή ήταν και η δική μου αρχική προσέγγιση όταν είδα την ερώτηση, αλλά ύστερα προέκυψε το παρακάτω:
https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number
Το αριστερό μέλος και το δεξί είναι δύο διαφορετικές παραστάσεις του αριθμού 2, κατά von Neumann και τα Zermelo.
Οπότε κατ' αυτή την έννοια, είναι ίσα.
κατά Zermelo: και
κατά von Neumann ,
είναι ότι τα δύο αυτά είναι ισόμορφα μεταξύ τους και ότι τα δύο είναι αντίστοιχα (όχι ίσα) στοιχεία του εν λόγω ισομορφισμού.
Ας το δούμε με ένα άλλο παράδειγμα.
Όλοι θα συμφωνήσουμε ότι όπως επίσης ότι
(στην κάθε περίπτωση το δεξί σύνολο είναι διατεταγμένα ζεύγη αλλά όχι το αριστερό)
Να όμως που θα μπορούσα να κάνω τις εξής δύο νέες κατασκευές του . Την
κατά Μιχάλη1: και
κατά Μιχάλη2:
Αν θεωρήσουμε ότι τα δύο είναι ίσα (αντί αντίστοιχα σε κάποιον ισομορφισμό) και μάλιστα ίσα με τα των ορισμών Zermelo και von Neumann, θα πρέπει να δεχθούμε ότι
όπως επίσης ότι
Να όμως που παραπάνω (με τα μπλέ γράμματα) συμφωνήσαμε ότι δεν είναι ίσα.
Re: Θεωρία Συνόλων-Σ-Λ
Η συζήτηση είναι εδώ: https://web.facebook.com/groups/1190609 ... 675531950/
Η άποψη περί της ισότητας δεν ήταν δική μου, εκφράστηκε στο σύνδεσμο από τον κ. Δημήτρη Γαβαλά. Έβαλα την ερώτηση εδώ, διότι ως μη ειδικός στο θέμα μου γεννήθηκε η απορία μήπως πρόκειται για κάποιο παράδοξο. Τελικά, that's not the case που λένε και οι Γάλλοι.
Ευχαριστώ για την ωραία εξήγηση και τη συμμετοχή όλων. Στην πραγματικότητα η λάθος λέξη που χρησιμοποιήθηκε ήταν το "ίσα", όπου ήταν και το λάθος στον συλλογισμό.
Το σωστό είναι ακριβώς αυτό που γράψατε περί της αντιστοιχίας τους μέσω του ισομορφισμού.
Η άποψη περί της ισότητας δεν ήταν δική μου, εκφράστηκε στο σύνδεσμο από τον κ. Δημήτρη Γαβαλά. Έβαλα την ερώτηση εδώ, διότι ως μη ειδικός στο θέμα μου γεννήθηκε η απορία μήπως πρόκειται για κάποιο παράδοξο. Τελικά, that's not the case που λένε και οι Γάλλοι.
Ευχαριστώ για την ωραία εξήγηση και τη συμμετοχή όλων. Στην πραγματικότητα η λάθος λέξη που χρησιμοποιήθηκε ήταν το "ίσα", όπου ήταν και το λάθος στον συλλογισμό.
Το σωστό είναι ακριβώς αυτό που γράψατε περί της αντιστοιχίας τους μέσω του ισομορφισμού.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες