Είμαι σωστός απέναντι στον λύτη ή όχι;

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Ratio
Δημοσιεύσεις: 103
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Είμαι σωστός απέναντι στον λύτη ή όχι;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #21 από Ratio » Δευ Σεπ 12, 2016 6:01 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δεν χρειάζεται κανένα επιπλέον στοιχείο.
Το βήμα που μένει είναι το δυσκολότερο.


Μία άλλη προσέγγιση για τους αρνητικούς χωρίς την ανάγκη πρόσθετης πληροφορίας

Στην αρχική σχέση θέτουμε όπου x\rightarrow -1
προκύπτει

f(y-1)=f(y)+f(-1)+2y(-1)\Leftrightarrow f(y-1)=f(y)+2-2y

\Leftrightarrow f(y-1)-f(y)=2+2(-y)

Αν y<0 \Leftrightarrow y-1<-1<0
και επιπλέον y-1<y
Έχουμε λοιπόν f(y-1)-f(y)=2+2(-y)>0
καθώς -y>0
Άραy-1<y \Leftrightarrow f(y-1)-f(y)>0 \Leftrightarrow f(y-1)>f(y)
οπότε η f(x) φθίνουσα


Υποθέτω ότι αυτό έχετε υπόψη


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1199
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Είμαι σωστός απέναντι στον λύτη ή όχι;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #22 από exdx » Δευ Σεπ 12, 2016 10:52 am

Ratio έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δεν χρειάζεται κανένα επιπλέον στοιχείο.
Το βήμα που μένει είναι το δυσκολότερο.


Μία άλλη προσέγγιση για τους αρνητικούς χωρίς την ανάγκη πρόσθετης πληροφορίας

Στην αρχική σχέση θέτουμε όπου x\rightarrow -1
προκύπτει

f(y-1)=f(y)+f(-1)+2y(-1)\Leftrightarrow f(y-1)=f(y)+2-2y

\Leftrightarrow f(y-1)-f(y)=2+2(-y)

Αν y<0 \Leftrightarrow y-1<-1<0
και επιπλέον y-1<y
Έχουμε λοιπόν f(y-1)-f(y)=2+2(-y)>0
καθώς -y>0
Άραy-1<y \Leftrightarrow f(y-1)-f(y)>0 \Leftrightarrow f(y-1)>f(y)
οπότε η f(x) φθίνουσα


Υποθέτω ότι αυτό έχετε υπόψη


Ωραία . Έτσι αποδείχθηκε το ζητούμενο για όλα τα \displaystyle{{x_1},{x_2}} που απέχουν μεταξύ τους κατά \displaystyle{1} . Μένουν τα υπόλοιπα


Kαλαθάκης Γιώργης
Ratio
Δημοσιεύσεις: 103
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Είμαι σωστός απέναντι στον λύτη ή όχι;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #23 από Ratio » Δευ Σεπ 12, 2016 12:54 pm

Αρχικά θα βρούμε το πρόσημο της f(x-y) για x,y \in \mathbb{R} με x<y<0 \Leftrightarrow x-y<0


Από την αρχική έχουμε ήδη για x\rightarrow -x
{\color{Red} }f(x)+f(-x)=2x^{2}\Leftrightarrow f(-x)=x^{2}-f(x) {\color{Red} }

Από την αρχική επίσης έχουμε
{\color{Blue} }f(x-y)=f(x)+f(-y)-2xy{\color{Blue} }
Επιλύουμε το σύστημα αντικαθιστώντας το f(-y)=2y^{2}-f(y) αλλά με αντίστοιχο για τα x


και προκύπτει: f(x-y)=2x(x-y)>0


άρα θεωρώ ότι λύθηκε το πρόσημο της f(x) για x< 0

Για τους τυχαίους a<b<0 θα έχουμε
f(a-b)=f(a)+f(-b)-2ab\Leftrightarrow f(a-b)=f(a)-f(b)+2b^{2}-2ab\Leftrightarrow f(a-b)-[f(a)-f(b)]=2a(a-b)

Έχουμε αποδείξει ότι f(a-b)>0 έστω k
διαπιστώνουμε ότι 2a(a-b)>0 έστω l>0
οπότε

έχουμε οδηγηθεί σε μία ακόμα σχέση και περιμένουμε την επιφοίτηση για τη συνέχεια


Ευχαριστώ πολύ Φωτεινή για την επισήμανση
τελευταία επεξεργασία από Ratio σε Τρί Σεπ 13, 2016 5:27 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1279
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Είμαι σωστός απέναντι στον λύτη ή όχι;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #24 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Σεπ 12, 2016 10:46 pm

Προφανώς υπάρχουν λάθη αλλά άντε να τα εντόπισης
.0=f(0)=f(1+(-1))=f(1)+f(-1)-2=0+f(-1)-2
Αρα f(-1)=2


Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3672
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Είμαι σωστός απέναντι στον λύτη ή όχι;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #25 από Φωτεινή » Δευ Σεπ 12, 2016 11:02 pm

Ratio έγραψε:Αρχικά θα βρούμε το πρόσημο της f(x-y) για x,y \in \mathbb{R} με x<y<0 \Leftrightarrow x-y<0


Από την αρχική έχουμε ήδη για x\rightarrow -x
{\color{Red} }f(x)+f(-x)=2x^{2}\Leftrightarrow f(-x)=x^{2}-f(x) {\color{Red} }

Από την αρχική επίσης έχουμε
f(x-y)=f(x)+f(-y)-2xy
Επιλύουμε το σύστημα αντικαθιστώντας το f(-y)=2y^{2}-f(y) αλλά με αντίστοιχο για τα x

και προκύπτει: \color{red} f(x-y)=2y(y-x)<0


Ratio δες πάλι τα κόκκινα
... και προκύπτει: f(x-y)=f(x)-f(y)+2y^2-2xy


Φωτεινή Καλδή
Ratio
Δημοσιεύσεις: 103
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Είμαι σωστός απέναντι στον λύτη ή όχι;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #26 από Ratio » Δευ Σεπ 12, 2016 11:26 pm

:wallbash:

θα δω τί μου διαφεύγει εκτός από το f(-1)=2 που το "(ξ)έχασα" στην πορεία .. Ευχαριστώ πολύ Φωτεινή


Ratio
Δημοσιεύσεις: 103
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Είμαι σωστός απέναντι στον λύτη ή όχι;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #27 από Ratio » Τρί Σεπ 13, 2016 6:39 am

Ratio έγραψε:Αρχικά θα βρούμε το πρόσημο της f(x-y) για x,y \in \mathbb{R} με x<y<0 \Leftrightarrow x-y<0


Από την αρχική έχουμε ήδη για x\rightarrow -x
{\color{Red} }f(x)+f(-x)=2x^{2}\Leftrightarrow f(-x)=x^{2}-f(x) {\color{Red} }

Από την αρχική επίσης έχουμε
{\color{Blue} }f(x-y)=f(x)+f(-y)-2xy{\color{Blue} }
Επιλύουμε το σύστημα αντικαθιστώντας το f(-y)=2y^{2}-f(y) αλλά με αντίστοιχο για τα x


και προκύπτει: f(x-y)=2x(x-y)>0


άρα θεωρώ ότι λύθηκε το πρόσημο της f(x) για x< 0

Για τους τυχαίους a<b<0 θα έχουμε
f(a-b)=f(a)+f(-b)-2ab\Leftrightarrow f(a-b)=f(a)-f(b)+2b^{2}-2ab\Leftrightarrow f(a-b)-[f(a)-f(b)]=2a(a-b)

Έχουμε αποδείξει ότι f(a-b)>0 έστω k
διαπιστώνουμε ότι 2a(a-b)>0 έστω l>0
οπότε

έχουμε οδηγηθεί σε μία ακόμα σχέση και περιμένουμε την επιφοίτηση για τη συνέχεια




Ευχαριστώ πολύ Φωτεινή για την επισήμανση


Ratio
Δημοσιεύσεις: 103
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Είμαι σωστός απέναντι στον λύτη ή όχι;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #28 από Ratio » Τρί Σεπ 13, 2016 9:58 am

Τελευταία προσπάθεια για τη μονοτονία στο (-\infty,0)

Στην προσπάθεια επίλυσης έχουν παραχθεί διαφόρες μορφές της συναρτησιακής σχέσης που δόθηκε
Τη θυμίζουμε
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy
Θέτοντας όπου y\rightarrow x
προκύπτει
f(2x)=2f(x)+2x^{2}
Για τους τυχαίους a<b<0 \Leftrightarrow -a>-b>0 \Leftrightarrow -2a>-2b>0\Leftrightarrow f(-2a)>f(-2b)

Ξέρουμε ότι f(a)+f(-a)=2a^{2}
άρα
θέτοντας όπου a\rightarrow 2a και b\rightarrow 2b
παίρνουμε f(-2a)+f(2a)=8a^{2}
και f(-2b)+f(2b)=8b^{2}
αντικαθιστώντας στην ανισότητα f(-2a)>f(-2b)\Leftrightarrow 8a^{2}-f(2a)> 8b^{2}-f(2b)\Leftrightarrow 8(a^{2}-b^{2})>f(2a)-f(2b)\Leftrightarrow 8(a-b)(a+b)>f(2a)-f(2b)\Leftrightarrow f(2a)-f(2b)<8(a-b)(a+b)

Θέτοντας όπου a\rightarrow \frac{a}{2}
και b\rightarrow \frac{b}{2}

προκύπτει f(a)-f(b)<2(a-b)(a+b)
όπου (a-b)(a+b)>0


Εδώ υποθέτουμε ότι f(a)-f(b)=k<0 και αφού το γινόμενο είναι θετικό οποιοσδήποτε αρνητικός είναι μικρότερος και παίρνουμε k=\frac{b}{2}
οπότε \frac{b}{2}< 2(a-b)(a+b\Leftrightarrow b<4(a-b)(a+b\Leftrightarrow b<4(a+b)(a-b)<0\Leftrightarrow [tex]4b^{2}+b-4a^{2}<0

άρα το τριώνυμο θα έπρεπε να διατηρεί σταθερό το πρόσημο του b^{2} με Δ<0 δεν ισχύει απολύτως τίποτα

Αν πάρω f(a)-f(b)=k>0 προκύπτει για τυχαίο k >0 π.χ k=-a
το 2a^{2}+a-2b^{2}>0
πού διατηρεί πρόσημο εκτός τών ριζών άρα πορκύπτουν a<b<0

Μια αλλη σκέψη είναι ο n διαμερισμός του διαστήματος (b-a)/2 όπου εκεί οι διαφοερετικές τιμές που προκύπτουν δίνουν και όσα αναφέρθηκαν στην αρχή για φραγή της διαφοράς
Μέχρι στιγμής δεν μπορώ να σκεφτώ κάτι άλλο ελπίζω κάποια στιγμή να βρούμε μια λύση


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1279
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Είμαι σωστός απέναντι στον λύτη ή όχι;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #29 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Σεπ 13, 2016 7:41 pm

Δίνω την λύση για το διάστημα(-\infty,0 ]
Εχουμε ότι f(-x)=2x^{2}-f(x)
Αρα f(x-y)=f(x)-f(y)+2y^{2}-2xy
Εστω 0\geqslant x> y τότε 2y^{2}-2xy\geq 0
Αν δείξουμε ότιf(x-y)< 0 τότε θα έχουμε τελειώσει.
Αυτο ειναι αδύνατο για τυχόντα x,y
Θα το δείξουμε γιά 0< x-y< \frac{1}{3}
Δηλαδή θα δείξουμε ότι για0< x< \frac{1}{3} ισχύει f(x)< 0
(να σημειώσω οτι για0< x< 1 ισχύει f(x)< 0 αλλά είναι δύσκολο να αποδειχθεί)
Μπορούμε να δούμε επαγωγικά οτι
f(na)=nf(a)+a^{2}n(n-1)
Θέτοντας για a το \frac{1}{n} παίρνουμε f(\frac{1}{n})=-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}
Εστω n\geq 3 και \frac{1}{n+1}< x< \frac{1}{n}
Εχουμε f(1+x)< f(1+\frac{1}{n})=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}
Αλλά f(1+x)=f(x)+2x
Αρα f(x)< \frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}-2x< \frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}-\frac{2}{n+1}=\frac{-n^{2}+2n+1}{n^{2}(n+1)}< 0
γιαn\geq 3
Αν x-y> \frac{1}{3} τότε παρεμβάλουμε μεταξύ τους σημεία που έχουν διαφορά μικρότερη από \frac{1}{3}.
Το ξέρω ότι θα ακούσω πολλά αλλά για όλα έχω μια απάντηση που θα δώσω αν ερωτηθώ.
Θα πρέπει να καταλάβουμε ότι εκτός από το αποτέλεσμα έχει μεγάλη σημασία η προσπάθεια.
Γιατί προσπαθώντας θα έρθει και το αποτέλεσμα.


Ratio
Δημοσιεύσεις: 103
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Είμαι σωστός απέναντι στον λύτη ή όχι;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #30 από Ratio » Τετ Σεπ 14, 2016 6:39 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δίνω την λύση για το διάστημα(-\infty,0 ]

Το ξέρω ότι θα ακούσω πολλά αλλά για όλα έχω μια απάντηση που θα δώσω αν ερωτηθώ.
Θα πρέπει να καταλάβουμε ότι εκτός από το αποτέλεσμα έχει μεγάλη σημασία η προσπάθεια.
Γιατί προσπαθώντας θα έρθει και το αποτέλεσμα.




Από εμένα δεν θα ακούσετε απολύτως τίποτα, γιατί ακριβώς στα ίδια συμπεράσματα έφτασα κι εγώ επιλέγοντας τη λύση με τους αρνητικούς και θετικούς K
Προτίμησα τη λύση του τριωνύμου όμως γιατί είναι πιο εύκολα αντιληπτή για μαθητές πού ίσως διαβάζουν την ανάρτηση

Το παράδειγμα που έχω είναι για x-y<\frac{1}{4}
όταν πήρα αρνητικό k<0 με k=\frac{a+b}{2}

Για την γενίκευση της απόδειξης ίσως να επιχειρήσουμε μία επαγωγική απόδειξη ;
ή ίσως να αποδείξουμε τη μονοτονία για την τυχαία διαμέριση \frac{b-a}{n-1} για την \frac{b-a}{n+1}
και να προσχωρήσουμε υποθέτοντας ότι η f(x) είναι αύξουσα όταν η διαμέριση γίνεται με \frac{b-a}{n}
οπότε θα καταλήξουμε αε άτοπο



Όσο για το διάστημα (0,1)
σκέφτομαι μία λύση μέσω των αντιστρόφων για τα διαστήματα των οποίων γνωρίζουμε τη μονοτονία

Δηλαδή
0<x< 1, 0<y<1 με \frac{1}{x}>1 και \frac{1}{y}>1 οπότε αρχίζουμε να εφαρμόζουμε στην f(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=.....



Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης