Μαθηματική ορθότητα

#1

Με αφορμή την κουβέντα εδώ: viewtopic.php?f=95&t=55393

Παρακαλώ χαρακτηρίστε ως προς τη μαθηματική ορθότητα τις ακόλουθες δύο ασκήσεις.

1) Δίνεται η συνάρτηση

με

. Να βρείτε τη μονοτονία της

.

2) Δίνεται η συνάρτηση

με

. Να αποδείξετε ότι είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty,-1]$ , γνησίως αύξουσα στο $[1,+\infty)$ και δεν είναι μονότονη στο [-1,1]

.

Η γνώμη μου στο κρυμμένο κείμενο.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Καλησπέρα Λευτέρη!

1) Έστω $x_1,x_2\in\mathbb R$
● Αν x_1<x_2<0

, τότε

, δηλαδή

, άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{( - \infty ,0]}$

● Αν 0<x_1<x_2

, τότε

, δηλαδή

, άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[0, + \infty )}$

Προφανώς η άσκηση είναι μαθηματικά ορθή.

2) Από την προηγούμενη άσκηση προκύπτει ότι η συνάρτηση αλλάζει μονοτονία εκατέρωθεν του μηδενός, οπότε αποδεικνύονται οι ζητούμενες προτάσεις.

Η γνώμη μου είναι ότι, εφόσον στην ουσία πρόκειται για την ίδια άσκηση, θα έπρεπε στην άσκηση-2 να ζητείται να αποδειχθεί αυτό ακριβώς που βρήκαμε στην άσκηση-1. Θα έλεγα λοιπόν ότι η άσκηση-2 μπορεί να είναι μαθηματικά ορθή, αλλά θα την χαρακτήριζα αντιδεοντολογική.

Ιστοσελίδα · #3

Με την εμπειρία σας προφανώς βλέπετε κάτι περισσότερο Λευτέρη και Γιώργο...
Δεν καταλαβαίνω ποιο είναι το «πρόβλημα» με τη δεύτερη άσκηση !

#4

Καλημέρα και καλή σχολική χρονιά σε όλους τους εκλεκτούς μας συναδέλφους !

ΕΠειδή το θέμα τα αγγίξαμε λίγο χθες τηλεφωνικά με το Χρήστο, θα έλεγα χάριν της παρέας , το εξής :

Α. Και οι δύο ασκήσεις, όπως τις έθεσε ο Λευτέρης , είναι σωστές. Προφανώς , στο μαθητή, θα δοθεί η πρώτη μορφή, λίγο καλύτερα όμως διατυπωμένη : '' Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας ....''.

Όπως είναι τώρα, ακόμα και η απάντηση '' δεν είναι μονότονη '', είναι δεκτή.Καταλαβαίνω όμως ο Λευτέρης τη δίνει για την εύρεση των διαστημάτων μονοτονίας και όχι για να εξεταστεί αν η συνάρτηση είναι ή όχι μονότονη .

Αλλά και η μορφή (2) έχει τις δυσκολίες της, αφού οι ανισότητες με μη ''ομόσημους '' αριθμούς έχουν ιδιαιτερότητες. Αφού λοιπόν η άσκηση είναι σκόπιμα διατυπωμένη έτσι, ο μαθητής έχει συγκεκριμένη δουλειά να κάνει και ας δώσει όποια αιτιολόγηση μπορεί.

Β. Όπως μου ανέφερε ο Χρήστος, το ερώτημα είναι τι θα κάναμε αν με τη διατύπωση 1) ο μαθητής απαντούσε όπως είναι η διατύπωση 2).

Η απάντηση θεωρώ ότι είναι ελλειπής, διότι εμείς ζητάμε τα διαστήματα μονοτονίας και στο ερώτημα αυτό ο μαθητής δεν απαντάει, παρά μερικώς. Ο μαθητής υποχρεούται σύμφωνα με την εκφώνηση να δώσει τα διαστήματα , στα οποία η συνάρτηση είναι γν.μονότονη και μόνο αυτά .Όχι διαστήματα, στα οποία δεν είναι μονότονη.

Επομένως μια απάντηση της μορφής : '' Δεν είναι μονότονη ούτε στο $(-\infty ,1]$ ούτε στο $[-1,+\infty)$ δεν είναι ορθή '', αφού είναι μεν μαθηματικώς ορθή, δεν απαντάει όμως στο συγκεκριμένο ερώτημα.

Αν η ερώτηση ήταν '' Να βρεθούν διαστήματα , στα οποία η συνάρτηση είναι γν.μονότονη ή δεν είναι γνησίως μονότονη '', τότε η απάντηση θα ήταν επαρκής.

Δεν έχω να προσθέσω τίποτα άλλο για την ώρα , οι μαθητές ήρθαν , το κουδούνι χτυπάει, ο Αγιασμός αρχίζει, πόσους θα επισκεφτεί το Άγιο

Πνεύμα τελικά , ας μην το σκεφτόμαστε

!

Καλή δύναμη !!!

#5

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Β. Όπως μου ανέφερε ο Χρήστος, το ερώτημα είναι τι θα κάναμε αν με τη διατύπωση 1) ο μαθητής απαντούσε όπως είναι η διατύπωση 2).

Για την ακρίβεια είπα απευθυνόμενος στον Μπάμπη (και στον Λευτέρη). Εσείς λέτε στο μαθητή για την f(x)=x^2.

Παιδί μου η συνάρτηση αυτή είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{( - \infty ,0]}$ και γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[0, + \infty ).}$ .

Ο μαθητής, όντας πιο παιχνιδιάρης, απαντά:

Όχι κύριε η $\displaystyle{f(x) = {x^2}}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{( - \infty , - 1]}$ , γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[1, + \infty )}$ και δεν είναι
γνησίως μονότονη στο $\displaystyle{[ - 1,1]}$ .

Τότε τι θα του λέγατε;

#6

chris_gatos έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Β. Όπως μου ανέφερε ο Χρήστος, το ερώτημα είναι τι θα κάναμε αν με τη διατύπωση 1) ο μαθητής απαντούσε όπως είναι η διατύπωση 2).

Για την ακρίβεια είπα απευθυνόμενος στον Μπάμπη (και στον Λευτέρη). Εσείς λέτε στο μαθητή για την
Παιδί μου η συνάρτηση αυτή είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{( - \infty ,0]}$ και γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[0, + \infty ).}$ .

Ο μαθητής, όντας πιο παιχνιδιάρης, απαντά:

Όχι κύριε η $\displaystyle{f(x) = {x^2}}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{( - \infty , - 1]}$ , γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[1, + \infty )}$ και δεν είναι
γνησίως μονότονη στο $\displaystyle{[ - 1,1]}$ .

Τότε τι θα του λέγατε;

Χρήστο, εσύ και ο Λευτέρης, όλο με τέτοια υπέροχα διερευνητικά ερωτήματα μας αφυπνίζετε !!!

Να είστε καλά, διότι μόνο τέτοια ερωτήματα μας οδηγούνε σε πιο βαθειά γνώση των μαθηματικών και της διδασκαλίας !

Σας χαιρετώ !

#7

chris_gatos έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Β. Όπως μου ανέφερε ο Χρήστος, το ερώτημα είναι τι θα κάναμε αν με τη διατύπωση 1) ο μαθητής απαντούσε όπως είναι η διατύπωση 2).

Για την ακρίβεια είπα απευθυνόμενος στον Μπάμπη (και στον Λευτέρη). Εσείς λέτε στο μαθητή για την
Παιδί μου η συνάρτηση αυτή είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{( - \infty ,0]}$ και γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[0, + \infty ).}$ .

Ο μαθητής, όντας πιο παιχνιδιάρης, απαντά:

Όχι κύριε η $\displaystyle{f(x) = {x^2}}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{( - \infty , - 1]}$ , γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[1, + \infty )}$ και δεν είναι
γνησίως μονότονη στο $\displaystyle{[ - 1,1]}$ .

Τότε τι θα του λέγατε;

Αυτό που λέει ο μαθητής δεν είναι λάθος, αλλά δεν είναι και πλήρης απάντηση. Τι μπορούμε λοιπόν να του πούμε;

Πράγματι παιδί μου, η $\displaystyle{f(x) = {x^2}}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{( - \infty , - 1]}$ , γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[1, + \infty )}$ και δεν είναι γνησίως μονότονη στο $\displaystyle{[ - 1,1]}$ . Βρες τώρα τα διαστήματα μονοτονίας της στο [-1, 1]

και θα δεις ότι μετά θα συμφωνήσεις μαζί μου.

#8

Καλησπέρα Γιώργο!

george visvikis έγραψε: Αυτό που λέει ο μαθητής δεν είναι λάθος, αλλά δεν είναι και πλήρης απάντηση. Τι μπορούμε λοιπόν να του πούμε;

Πράγματι παιδί μου, η $\displaystyle{f(x) = {x^2}}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{( - \infty , - 1]}$ , γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[1, + \infty )}$ και δεν είναι γνησίως μονότονη στο $\displaystyle{[ - 1,1]}$ . Βρες τώρα τα διαστήματα μονοτονίας της στο και θα δεις ότι μετά θα συμφωνήσεις μαζί μου.

Μαθητής: " Μου αρέσει να διαφωνώ κύριε. Είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left[ { - 1, - \frac{1}{2}} \right]}$ , γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left[ {\frac{1}{2},1} \right]}$ και τίποτα στο $\displaystyle{( - \frac{1}{2},\frac{1}{2})}$ . "

Υ.Γ: Δεν παίζω με τα νεύρα σας. Απλά θέλω να δείξω την υποχρέωση που έχουμε να ζητούμε από τα παιδιά αυτά που τους μαθαίνουμε.
Και αυτό έχει να κάνει με την αρχική μου δημοσίευση που παραπέμπει και ο Λευτέρης. Καλό σας βράδυ!

#9

chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα Γιώργο!

george visvikis έγραψε: Αυτό που λέει ο μαθητής δεν είναι λάθος, αλλά δεν είναι και πλήρης απάντηση. Τι μπορούμε λοιπόν να του πούμε;

Πράγματι παιδί μου, η $\displaystyle{f(x) = {x^2}}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{( - \infty , - 1]}$ , γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[1, + \infty )}$ και δεν είναι γνησίως μονότονη στο $\displaystyle{[ - 1,1]}$ . Βρες τώρα τα διαστήματα μονοτονίας της στο και θα δεις ότι μετά θα συμφωνήσεις μαζί μου.
Μαθητής: " Μου αρέσει να διαφωνώ κύριε. Είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left[ { - 1, - \frac{1}{2}} \right]}$ , γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left[ {\frac{1}{2},1} \right]}$ και τίποτα στο $\displaystyle{( - \frac{1}{2},\frac{1}{2})}$ . "

Υ.Γ: Δεν παίζω με τα νεύρα σας. Απλά θέλω να δείξω την υποχρέωση που έχουμε να ζητούμε από τα παιδιά αυτά που τους μαθαίνουμε.
Και αυτό έχει να κάνει με την αρχική μου δημοσίευση που παραπέμπει και ο Λευτέρης. Καλό σας βράδυ!

Καλημέρα Χρήστο!

Σ' αυτή την περίπτωση δεν μπορούμε να του πούμε τίποτα, γιατί θα εφευρίσκει συνεχώς νέα διαστήματα για να πει αυτό που θέλει. Το μόνο που μπορούμε να κάνουμε είναι να αλλάξουμε την ερώτηση, δηλαδή να του καθορίσουμε εμείς τα διαστήματα μονοτονίας.

Να εξετάσεις παιδί μου, την μονοτονία της συνάρτησης $\displaystyle{f(x) = {x^2}}$ σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle{( - \infty , 0]}$ και $\displaystyle{[0, + \infty )}.$

#10

Καλησπέρα.

Ότι έχω πει με τον Χρήστο γράφω και εδώ.

Προφανώς ο παιχνιδιάρης μαθητής απαντά σωστά. Δεν είναι η απάντηση που θέλουμε να ακούσουμε, αλλά είναι σωστή. Ας διατυπώναμε μια ερώτηση που να επιδέχεται την απάντηση που ζητάμε...

#11

Το ερώτημα προς το μαθητή είναι σαφές : '' Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία .....''

Κάθε απάντηση που δεν δίνει τα δύο γνωστά διαστήματα μονοτονίας, όσο κι αν από μαθηματική σκοπιά είναι ορθή, ως απάντηση στο συγκεκριμένο ερώτημα είναι λάθος.

Ακόμα κι αν ο μαθητής δώσει τρία ή τέσσερα ή άπειρα διαστήματα μονοτονίας , ακόμα και χωρίς κοινά εσωτερικά σημεία, στα οποία η συνάρτηση είναι γν. μονότονη,η απάντησηή του είναι λανθασμένη, για τον απλούστατο λόγο ότι δεν απαντά στην συγκεκριμένη ερώτηση , η οποία έχει μονοσήμαντη απάντηση, όχι γιατί έτσι το θέλουμε εμείς, αλλά γιατί έτσι το θέλει ο ορισμός '' διαστήματα μονοτονίας συνάρτησης ''.

Αν στην έννοια '' διαστήματα μονοτονίας '' ή ''μελέτη μονοτονίας '' δώσουμε διαφορετικό περιεχόμενο, τότε μπορεί να υπάρχουν χιλιάδες σωστές απαντήσεις.

Όπως συνήθως συμβαίνει στα μαθηματικά, όταν οι μαθηματικοί διαφωνούν σε κάτι απλό, είναι γιατί δεν

έχουν συμφωνήσει πρώτα σε κάτι πιο απλό : : στον ορισμό.

Μια ερώτηση π.χ. που επιδέχεται πολλές σωστές απαντήσεις είναι η εξής :

'' Να βρείτε διαστήματα , στα οποία η συνάρτηση είναι μονότονη '' .

Η ερώτηση που ίσως αναζητά ο Λευτέρης είναι : '' Η συνάρτηση f(x)=x^2

έχει δύο διαστήματα μονοτονίας.Ποια είναι αυτά ; ''

Αλλά και εδώ πρέπει πρώτα να συμφωνήσουμε(και με το μαθητή) στο τι λέμε διαστήματα μονοτονίας. Γιατί αν και εδώ ο καθένας καταλαβαίνει ό,τι θέλει, τότε στην ερώτηση :

'' Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η f(x)=e^x

,

η απάντηση : ''Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα $(-\infty,0],[0,+\infty)$ πρέπει να εκληφθεί ως ορθή, όχι μόνο ως μαθηματική πρόταση, αλλά και ως απάντηση στο συγκεκριμένο ερώτημα.

Θα δεχόμασταν όμως κάτι τέτοιο στις Πανελλήνιες κι αν όχι γιατί; ΕΠειδή έτσι μας αρέσει ή γιατί έχουμε δώσει σιωπηρά άλλο νόημα(ορισμό) στον όρο ''μελέτη μονοτονίας '', που για να λέμε και του στραβού το δίκιο, πουθενά δεν έχει δοθεί με σαφήνεια ;

Αυτά γέννησε η πρώτη προσπάθεια προσέγγισης του θέματος, ελπίζω κάτι να είπα και μακάρι να κάνω λάθος.

Μπ

***

Έχω την εντύπωση ότι κανονικά με τον όρο '' εύρεση διαστημάτων μονοτονίας ή μελέτη μονοτονίας ή εύρεση μονοτονίας '' πρέπει να εννοούμε την εύρεση των ελάχιστων υποδιαστημάτων του πεδίου ορισμού, χωρίς κοινά εσωτερικά σημεία(όχι υποχρεωτικά διαδοχικά ξένων), στα οποία η συνάρτηση είναι (γν)μονότονη.

Ίσως ο τελείως πρόχειρος αυτός ορισμός που αυθαίρετα έχω στο μυαλό μου -ίσως να είναι και τελείως αδόκιμος - να είναι γενικότερα αυθαίρετος,

οπότε κάποια στιγμή η σύγχιση και ''σύγκρουση'' στην κοινότητα να είναι αναπόφευκτη.

*** Πέφτοντας για ύπνο, το ξανασκεφτόμουν :
Κι αν τα διαστήματα μονοτονίας είναι άπειρα, όπως στη συνάρτηση πχ του ημιτόνου, τι νόημα έχει η λέξη '' ελάχιστο πλήθος υποδιαστημάτων '' που ανέφερα παραπάνω ; Επομένως ο όρος '' διαστήματα μονοτονίας '' θέλει καλύτερο ορισμό.

#12

Καλημέρα σε όλους!

Όταν λέμε "Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση...", ή "Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης...", ξέρουμε πολύ καλά τι ζητάμε, αλλά και οι μαθητές το γνωρίζουν επίσης πολύ καλά. Υπάρχουν εκατοντάδες ασκήσεις στα εκάστοτε σχολικά βιβλία, ακόμα περισσότερες στα διάφορα βοηθήματα και έχουν μπει πολλές τέτοιες ασκήσεις σε πανελλήνιες εξετάσεις, με αυτή ακριβώς την εκφώνηση και ποτέ δεν υπήρξε παρανόηση (ούτε από μαθητή ούτε από βαθμολογητή) ως προς το τι ζητούσε η άσκηση. Γιατί λοιπόν ν' αλλάξει κάτι τώρα;

Έγραψα σε προηγούμενή μου ανάρτηση, ότι αυτό που λέει ο μαθητής είναι σωστό και εξακολουθώ να το υποστηρίζω. Η διαφορά εδώ είναι, ότι ο μαθητής απαντά σε μία δική του υποθετική ερώτηση και η απάντηση που δίνει, ως προς την μαθηματική της ορθότητα, είναι πράγματι σωστή. Με το ίδιο σκεπτικό, ένας άλλος παιχνιδιάρης μαθητής θα μπορούσε να πει: "Η συνάρτηση f(x)=x^2

δεν είναι γνησίως μονότονη". Και αυτό σωστό είναι, αλλά απαντά στην ερώτηση "Είναι μονότονη η συνάρτηση...;"

Η ερώτησή μας όμως εδώ, είναι άλλη. Η εκφώνηση, "Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση...", επιδέχεται μόνο μία σωστή απάντηση! Και νομίζω ότι αυτή είναι, να βρούμε όλα τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη (ή ενδεχομένως σταθερή) και όχι τα διαστήματα στα οποία δεν είναι μονότονη. Και αυτό το γνωρίζουν πολύ καλά οι μαθητές. Δεν νομίζω λοιπόν ότι χρειαζόμαστε καλύτερο ορισμό. Μπορεί μέσα στην τάξη κάποιος να εκφράσει τις αντιρρήσεις του ή να έχει τις απορίες του (και πολύ καλά κάνει, αφού είναι ένας από τους ρόλους της διδασκαλίας και αυτός), αλλά οι καθηγητές δίνουν τις κατάλληλες επεξηγήσεις και όταν έρθει η περίοδος των εξετάσεων οι μαθητές (όσοι από αυτούς ενδιαφέρονται) ξέρουν πολύ καλά τι τους ζητείται να βρουν.

#13

george visvikis έγραψε:Καλημέρα σε όλους!

....................

Η ερώτησή μας όμως εδώ, είναι άλλη. Η εκφώνηση, "Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση...", επιδέχεται μόνο μία σωστή απάντηση! Και νομίζω ότι αυτή είναι, να βρούμε όλα τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη (ή ενδεχομένως σταθερή) και όχι τα διαστήματα στα οποία δεν είναι μονότονη. Και αυτό το γνωρίζουν πολύ καλά οι μαθητές. ..........................

Γιώργο, εσύ είσαι πολύ έμπειρος μαθηματικός και ξέρεις ότι ακριβώς με το ίδιο πνεύμα απάντησα και εγώ και συμφωνώ απόλυτα μαζί σου.Αν όμως διαφωνούσαμε και πηγαίναμε στο ....Νομικό Συμβούλιο του Κράτους, τότε δίκαιο θα είχε ο ...Λευτέρης.

Πουθενά δεν έχει ειπωθεί ρητά αυτό , στο οποίο συμφωνούμε εσύ κι εγώ. Είναι μια σιωπηρή συμφωνία μεταξύ των καθηγητών των μαθηματικών. Δεν λέω να γραφεί κάποιος ορισμός επίσημα στα σχολικά βιβλία, αλλά με κάποιον τρόπο εμείς πρέπει όλοι να συμφωνούμε στο τι εννοούμε τελικά με την έκφραση'' εύρεση διαστημάτων μονοτονίας '', ώστε να αποφεύγονται αιρετικές απαντήσεις, όπως αυτή του εικονικού μαθητή. Το ότι μέχρι τώρα συμφωνούμε, είναι γιατί το ένστικτό μας μάς οδηγεί εκεί που είναι η σωστή ερμηνεία του ερωτήματος και όχι μια πιο σαφής γραπτή αναφορά κάπου αλλού.

Καλή χρονιά και καλές εμπνεύσεις σε κάθε τι που ασχολείσαι !!!

Στέλιος Μαρίνης · #14

Αφού σας χαιρετίσω όλες και όλους, να πω ότι κατά τη γνώμη μου η ερώτηση:"Να βρείτε τη μονοτονία" δεν είναι συντακτικά σωστή, άρα ούτε και από πλευράς μαθηματικών. Βρίσκω κάτι αν υπάρχει και μπορώ να απαντήσω ότι δεν υπάρχει. Καλό είναι να μην προσθέτουμε στις δυσκολίες των Μαθηματικών έστω και την παραμικρή ασάφεια, ούτε να βασιζόμαστε στο άρρητο συμβόλαιο:"Ας μαντέψω τι θέλει ο καθηγητής να απαντήσω" . Κλασικό παράδειγμα τέτοιων ασκήσεων είναι όταν ζητάμε να γραφτεί μια συνάρτηση ως σύνθεση δύο άλλων. Ε, λοιπόν, σε κάθε τέτοια συνάρτηση που δίνεται μια απάντηση μπορεί να είναι: οι ζητούμενες είναι η g(x)=f(x)+1

και η

Μαθηματική ορθότητα

Μαθηματική ορθότητα

Re: Μαθηματική ορθότητα

Re: Μαθηματική ορθότητα

Re:

Re: Re:

Re: Re:

Re: Re:

Re: Re:

Re: Μαθηματική ορθότητα

Re: Μαθηματική ορθότητα

Re: Μαθηματική ορθότητα

Re: Μαθηματική ορθότητα

Re: Μαθηματική ορθότητα

Μέλη σε σύνδεση