Μέγιστο εμβαδόν!

#1

Τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ έχει γωνία $\displaystyle{\angle A=60^o.}$ Στο εσωτερικό του υπάρχει σημείο $\displaystyle{P,}$ ώστε $\displaystyle{PA=2,PB=3,PC=4.}$ Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του εμβαδού του τριγώνου $\displaystyle{ABC.}$

: maxarea.png (8.33 KiB) Προβλήθηκε 3245 φορές

Ratio · #2

$(ABC)=\frac{1}{2}(AB)(AC)sin60^{0}$
όπου στο $\bigtriangleup ΑΡΒ$ , $(AB)^2=(AP)^2+(BP)^2-2(AP)(BP)cos\widehat{APB}=13-12cos\widehat{APB}$

και στο $\bigtriangleup (APC)$ , $(AC)^2=(AP)^2+(PC)^2-2(AP)(PC)cos\widehat{APC}=20-16cos\widehat{APC}$

Επομένως $\bigtriangleup (ABC)=\frac{1}{2}\sqrt{13-12cos\widehat{APB}}\sqrt{20-16cos\widehat{APC}}sin60^{0}=\frac{\sqrt{3}}{4}\sqrt{13-12cos\widehat{APB}}\cdot \sqrt{20-16cos\widehat{APC}}$

Με κατασκευαστικό κανόνα για τις $\widehat{APB}, \widehat{APC}$ αντίστοιχα, θα έχουμε

$-1\leq \coswidehat{APB}\leq 1\Leftrightarrow\\ 12\geq -12cos\widehat{APB\geq -12}\Leftrightarrow \\13+12\geq 13-12cos\widehat{APB}\geq 13-12\Leftrightarrow \\1\leq 13-12cos\widehat{APB}\leq 25\\\\\Leftrightarrow 1\leq \sqrt{13-12cos\widehat{APB}}\leq 5$

και
$-1\leq cos(\widehat{APC})\leq 1\Leftrightarrow \\ 1\geq -cos(\widehat{APC})\geq -1\Leftrightarrow \\ -16\leq -16cos\widehat{APC}\leq 16\Leftrightarrow\\ 20-16\leq 20-16cos\widehat{APC}\leq 20+16\Leftrightarrow \\ 4\leq 20-16cos\widehat{APC}\leq 36 \Leftrightarrow \\\\ 2\leq \sqrt{20-16cos\widehat{APC}}\leq 6$

Άρα για το εμβαδόν $\varepsilon$ του $\bigtriangleup (ABC)$ θα ισχύει

$1\leq (AB)\leq 5 \\ 2\leq (AC)\leq 6 \Leftrightarrow 2\leq (AB)(AC)\leq 30\Leftrightarrow\\ 2\cdot \frac{1}{2}\cdot sin 60^{0}\leq \frac{1}{2}(AB)(AC)sin60^{0}\leq \frac{1}{2}\cdot 30\cdot sin 60^{0}\Leftrightarrow \\\frac{\sqrt{3}}{2}\leq \bigtriangleup (ABC)\leq \frac{15\sqrt{3}}{2}$

#3

Ratio έγραψε:
Με κατασκευαστικό κανόνα για τις $\widehat{APB}, \widehat{APC}$ αντίστοιχα, θα έχουμε...

Από τον τρόπο "χτισίματος" φαίνεται ότι δεν γίνεται να ισχύει η ισότητα στην τελευταία ανισότητα, επομένως δεν είναι αυτό το ζητούμενο μέγιστο.

Ratio · #4

matha έγραψε:
Ratio έγραψε:
Με κατασκευαστικό κανόνα για τις $\widehat{APB}, \widehat{APC}$ αντίστοιχα, θα έχουμε...

Από τον τρόπο "χτισίματος" φαίνεται ότι δεν γίνεται να ισχύει η ισότητα στην τελευταία ανισότητα, επομένως δεν είναι αυτό το ζητούμενο μέγιστο.

Μια προσέγγιση για να ξεκινήσει η άσκηση είναι .. αναζητείται το μέγιστο

KARKAR · #5

: Μέγιστο με εξηντάρα.png (35.23 KiB) Προβλήθηκε 3036 φορές

Ακολουθώντας αρχικά τη φιλοσοφία αυτής της λύσης σε αυτό , βρίσκουμε ότι

το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου , χωρίς τον περιορισμό της 60-

άρας γωνίας ,

βρίσκεται από τη συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{1}{2}(x+2)(\sqrt{9-x^2}+\sqrt{16-x^2})$

και είναι $E_{max}\simeq11.415$ , για x=1.97541

.

Για να επιτύχουμε και το $\hat{A}=60^0$ , γράφουμε τόξο , από τα σημεία του οποίου να φαίνεται η

με αυτή τη γωνία και αναζητούμε εκείνη τη θέση της

, ώστε αυτό το τόξο να διέρχεται από το

.

Πώς θα γίνει αυτό ; ..... Πάντως με λογισμικό βρίσκουμε $E_{max}\simeq11.11$

Μέγιστο εμβαδόν!

Μέγιστο εμβαδόν!

Re: Μέγιστο εμβαδόν!

Re: Μέγιστο εμβαδόν!

Re: Μέγιστο εμβαδόν!

Re: Μέγιστο εμβαδόν!

Μέλη σε σύνδεση