Ανισότητα

#1

Έστω $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3\in\(0,+\infty)$ με $x_i\geq y_i$ για i=1,2,3.

Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\sqrt[3]{(x_1+x_2+x_3)^3-(y_1+y_2+y_3)^3}\geq\sqrt[3]{x_1^3-y_1^3}+\sqrt[3]{x_2^3-y_2^3}+\sqrt[3]{x_3^3-y_3^3}}$

#2

Επαναφορά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: Τρί Αύγ 01, 2017 6:08 pm Έστω $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3\in\(0,+\infty)$ με $x_i\geq y_i$ για Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\sqrt[3]{(x_1+x_2+x_3)^3-(y_1+y_2+y_3)^3}\geq\sqrt[3]{x_1^3-y_1^3}+\sqrt[3]{x_2^3-y_2^3}+\sqrt[3]{x_3^3-y_3^3}}$

Είναι σαφές ότι αρκεί να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\sqrt[3]{(x_1+x_2)^3-(y_1+y_2)^3}\geq\sqrt[3]{x_1^3-y_1^3}+\sqrt[3]{x_2^3-y_2^3}}$

Επίσης ότι ισχύει για οποιοδήποτε πλήθος από $(x_{i},y_{i})$ .
(επαγωγική απόδειξη).

Η ανισότητα είναι γνωστή και γενικότερα ισχύει για p>1

αντί του

.

Δίνω την παραπομπή.
Beckenbach-Bellman Inequalities σελ38 theorem 19.
http://www.isinj.com/mt-usamo/Inequalit ... 201961.pdf

Ισως επειδή εδώ έχουμε ειδική περίπτωση να υπάρχει ευκολότερη λύση.
Το αφήνω προς το παρόν

#4

Όπως εξηγεί ο Σταύρος είναι αρκετό να αποδείξουμε το παρακάτω:

Λήμμα Αν $a,b,c,d\in (0,+\infty)$ με $a\geq b$ και $c\geq d$ τότε $\displaystyle{\sqrt[3]{(a+c)^3-(b+d)^3}\geq\sqrt[3]{a^3-b^3}+\sqrt[3]{c^3-d^3}}$

Αν a=b

τότε απλουστεύεται η απόδειξη. Για τη συνέχεια υποθέτουμε ότι a>b.

Μελετάμε τη συνάρτηση $f(x)=\sqrt[3]{(a+x)^3-(b+d)^3}-\sqrt[3]{a^3-b^3}-\sqrt[3]{x^3-d^3}$ στο $[d,+\infty).$
Είναι $f'(x)=\left (\dfrac{a+x}{\sqrt[3]{(a+x)^3-(b+d)^3}} \right )^2-\left (\dfrac{x}{\sqrt[3]{x^3-d^3}} \right )^2$
Εύκολα βρίσκουμε ότι
$f'(x)<0\Leftrightarrow x\in(d,\dfrac{ad}{b})$
$f'(x)>0\Leftrightarrow x\in(\dfrac{ad}{b},+\infty)$
Επομένως η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο $x=\dfrac{ad}{b}.$
Όμως $f\left ( \dfrac{ad}{b} \right )=0,$ άρα και $f(c)\geq 0.$

Η ιδέα είναι παρμένη από άρθρο του $\rm Marcel$ $\rm Chirit\breve{a}$ στο $\rm {Gazeta \ Matematic\breve{a}},$ τεύχος 1, 2007.

#5

Νομίζω μπορούμε και λίγο πιο άμεσα. Αλλάζω λίγο το συμβολισμό για δική μου ευκολία πληκτρολόγησης.
Από Minkowski
$\displaystyle \begin{aligned} &\left( {\sqrt[3]{{x^3 }} + \sqrt[3]{{y^3 }} + \sqrt[3]{{z^3 }}} \right)^3 + \left( {\sqrt[3]{{a^3 - x^3 }} + \sqrt[3]{{b^3 - y^3 }} + \sqrt[3]{{c^3 - z^3 }}} \right)^3\\ \leqslant & \left( {\sqrt[3]{{a^3 }} + \sqrt[3]{{b^3 }} + \sqrt[3]{{c^3 }}} \right)^3 ,\end{aligned}$
οπότε
$\displaystyle (a + b + c)^3 - (x + y + z)^3 \geqslant \left( {\sqrt[3]{{a^3 - x^3 }} + \sqrt[3]{{b^3 - y^3 }} + \sqrt[3]{{c^3 - z^3 }}} \right)^3 .$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Οκτ 08, 2017 11:56 pm

Δίνω την παραπομπή.
Beckenbach-Bellman Inequalities σελ38 theorem 19.
http://www.isinj.com/mt-usamo/Inequalit ... 201961.pdf

Ισως επειδή εδώ έχουμε ειδική περίπτωση να υπάρχει ευκολότερη λύση.
Το αφήνω προς το παρόν

Οντως η λύση του Σιλουανού είναι η απλούστερη δυνατή.(κατά την γνώμη μου)

Να σημειώσω ότι στην παραπομπή υπάρχουν τυπογραφικά.
Θα δώσω την απόδειξη αργότερα γιατί η μέθοδος έχει ενδιαφέρον.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση