Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1432
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Κυρ Φεβ 11, 2018 2:44 pm

Ο πίνακας των τριγωνομετρικών αριθμών του σχολικού βιβλίου έχει στο τέλος την εντυπωσιακή τιμή \tan 89^o=57,2900...
Η αριθμομηχανή μου λέει πως \tan 89^o=57,289961...

Να αποδειχθεί ότι \tan 89^o>57


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7644
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Φεβ 12, 2018 12:02 pm

Ας γράψουμε x = \sin(1^{\circ}) = \cos(89^{\circ}). Τότε

\displaystyle  \tan(89^{\circ}) > 57 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} > 57 \Leftrightarrow \frac{1-x^2}{x^2} > 57^2 \Leftrightarrow x^2 < \frac{1}{1+57^2}

Μόνο που \displaystyle x = \sin(1^{\circ}) = \sin(\tfrac{\pi}{180}) < \tfrac{\pi}{180}

Αρκεί λοιπόν να δειχθεί ότι \displaystyle  \pi < \frac{180}{\sqrt{1+57^2}}

Χρησιμοποιώντας την γνωστή ανισότητα \pi < \frac{22}{7}, αρκεί να δειχθεί ότι 11\sqrt{1+57^2} < 630.

Επειδή \sqrt{x^2+1} < x + \frac{1}{2x} για x>0, (άμεσο υψώνοντας στο τετράγωνο), τότε

\displaystyle  11\sqrt{1+57^2} < 11\left(57 + \frac{1}{114}\right) = 627 + \frac{11}{114} < 630

Οπότε το ζητούμενο αποδείχθηκε.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Φεβ 12, 2018 4:12 pm

Διαφορετικά.

Επειδή \tan 89=\dfrac{1}{\tan 1}

αρκεί να δείξουμε ότι \dfrac{1}{57}> \tan 1= \tan \frac{\pi }{180}

Ισοδύναμα \arctan \frac{1}{57}> \frac{\pi }{180}

Είναι εύκολο να δειχθεί με λογισμό ότι

\arctan x> x-\frac{x^{3}}{3},x> 0

Ετσι είναι \arctan \frac{1}{57}> \frac{1}{57}-\frac{1}{3.57^{3}}=\frac{3.57^{2}-1}{3^{4}.19^{3}}

Επειδή είναι \frac{22}{7}> \pi

αρκεί να δειχθεί ότι \frac{3.57^{2}-1}{3^{4}.19^{3}}> \frac{11}{70.3^{2}}

η ισοδύναμα 70.(3.57^{2}-1)> 11.3^{2}.19^{3}

δηλαδή 682220> 679041

που φυσικά ισχύει.

Σημείωση.

Αν f(x)=\arctan x-x+\frac{x^{3}}{3} τότε f(0)=0 και

f'(x)=\frac{x^{4}}{1+x^{2}}> 0


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9382
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Φεβ 12, 2018 8:44 pm

Σχόλιο : Είναι γνωστό ότι x\in(0,\dfrac{\pi}{2}) , ισχύει x<tanx .

Επομένως : \dfrac{\pi}{180}<\tan\dfrac{\pi}{180}=\tan1^0 , ή :

\dfrac{1}{\tan1^0}=\tan89^0<\dfrac{180}{\pi} . Αλλά είναι : \dfrac{180}{\pi}\simeq \boxed{57.29578} .

Το τελευταίο θεωρείται γνωστό , διότι είναι το ισοδύναμο του 1  rad , σε μοίρες .

Έτσι έχουμε αφενός και ένα άριστο άνω φράγμα της \tan 89^0 , αφ' ετέρου μια ακόμη

επιβεβαίωση του πόσο "κοντά" είναι το x με την \tan x , για πολύ

μικρά x αφού : \tan 89^0\simeq \boxed{57.28996}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9382
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Φεβ 13, 2018 7:38 am

Ας ασχοληθούμε και με το εξής συγκλονιστικό : Είναι : \tan(89.5^0)\simeq 2\tan(89^0)


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Φεβ 13, 2018 10:13 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Φεβ 13, 2018 7:38 am
Ας ασχοληθούμε και με το εξής συγκλονιστικό : Είναι : \tan(89.5^0)\simeq 2\tan(89^0)
Δεν είναι τόσο συγκλονιστικό.

Για x\simeq 0

είναι \tan x\simeq x(μετρημένα σε rad)

Αλλά \tan 89,5=\dfrac{1}{\tan 0,5},\tan 89=\dfrac{1}{\tan 1}

και 1=\frac{\pi }{180}rad

δηλαδή αρκετά κοντά στο 0

Να σημειώσω ότι για π,χ
0\leq x\leq 0,2

είναι
x+\frac{x^{3}}{3}\leq \tan x\leq x+\frac{x^{3}}{3}+x^{5}
(η δεξιά ανισότητα βελτιώνεται ως προς τον συντελεστή του x^{5})


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9944
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Για την εφαπτομένη των 89 μοιρών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Φεβ 14, 2018 1:08 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Φεβ 13, 2018 7:38 am
Ας ασχοληθούμε και με το εξής συγκλονιστικό : Είναι : \tan(89.5^0)\simeq 2\tan(89^0)
Η ουσία είναι αυτό που λέει ο Σταύρος. Αν θέλουμε να δούμε ερμηνεία του φαινομένου
αλλιώς, δηλαδή να δείξουμε ότι για μικρά \theta είναι \tan 2\theta \approx 2 \tan \theta,
έχουμε

\displaystyle{ \tan 2\theta = \frac {2\tan \theta}{1-\tan ^2\theta}= 2(\tan \theta)( 1+ \tan ^2\theta + \tan ^4\theta+...)=}

\displaystyle{  =2\tan \theta  + 2\tan ^3\theta + 2\tan ^5\theta+...\approx  2\tan \theta}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης