Υπολογισμός πλευράς τριγώνου.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 49 (2).png (9.06 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές

Το μπλε τρίγωνο του σχήματος είναι ισόπλευρο πλευράς $\alpha$ .
Αν $\angle DAE=150^{0}$ , να υπολογιστεί η πλευρά $\alpha$ συναρτήσει του $\kappa$ ( D, B, C, E συνευθειακά).

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 13, 2023 8:19 pm
49 (2).png

Το μπλε τρίγωνο του σχήματος είναι ισόπλευρο πλευράς $\alpha$ .
Αν $\angle DAE=150^{0}$ , να υπολογιστεί η πλευρά $\alpha$ συναρτήσει του $\kappa$ ( D, B, C, E συνευθειακά).

Έστω

το μέσο του

: Υπολογισμός πλευράς ισοπλεύρου τριγώνου_Ανάλυση.png (17.26 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές

$\left\{ \begin{gathered} u = \tan \theta = \frac{{AM}}{{DM}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2k + a}} \hfill \\ v = \tan \omega = \frac{{AM}}{{EM}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{4k + a}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και $\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{u + v}}{{1 - uv}}$ , οπότε προκύπτει : $2\sqrt 3 \left( {a + 2k} \right)\left( {2a - k} \right) = 0 \Rightarrow \boxed{a = \frac{k}{2}}$

Θα ψάξω αργότερα για αμιγώς γεωμετρική λύση .

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 13, 2023 8:19 pm
49 (2).png

Το μπλε τρίγωνο του σχήματος είναι ισόπλευρο πλευράς $\alpha$ .
Αν $\angle DAE=150^{0}$ , να υπολογιστεί η πλευρά $\alpha$ συναρτήσει του $\kappa$ ( D, B, C, E συνευθειακά).

Φέρνω το ύψος

και θέτω

Με Π.Θ στα τρίγωνα ADM, AEM

βρίσκω

$\displaystyle AD = a\sqrt {{t^2} + t + 1} ,AE = a\sqrt {4{t^2} + 2t + 1}$

: Υπολογισμός ισοπλεύρου.png (10.27 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές

$\displaystyle \frac{1}{2}(3k + a)\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = (ADE) = \frac{1}{2}AD \cdot AE\sin 150^\circ,$ όπου μετά την αντικατάσταση

και τις πράξεις, καταλήγω στην εξίσωση: $\displaystyle 4{t^4} + 6{t^3} - 20{t^2} - 15t - 2 = 0 \Leftrightarrow (t - 2)(4{t^3} + 14{t^2} + 8t + 1) = 0$

κι επειδή η δεύτερη παρένθεση δεν έχει θετικές ρίζες, θα είναι $\displaystyle t = 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{a=\frac{k}{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 13, 2023 8:19 pm
49 (2).png

Το μπλε τρίγωνο του σχήματος είναι ισόπλευρο πλευράς $\alpha$ .
Αν $\angle DAE=150^{0}$ , να υπολογιστεί η πλευρά $\alpha$ συναρτήσει του $\kappa$ ( D, B, C, E συνευθειακά).

Με $BZ=a\Rightarrow \angle AZC=30^0$ κι επειδή $\angle D+E=30^0 \Rightarrow \angle DAZ= \angle E$ και η

εφάπτεται του κύκλου (A,Z,E)

Άρα

.

Με $BZ=a \sqrt{3}$ ο ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο ADZ

εύκολα δίνει AD^2=k^2+ak+a^2

Έτσι $3k^2-2ak-a^2= k^2+ak+a^2 \Leftrightarrow 2a^2+3ak-2k^2=0$ με δεκτή ρίζα $\alpha = \dfrac{k}{2}$

: υπολογισμός πλευράς τριγώνου.png (32.7 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές

Υπολογισμός πλευράς τριγώνου.

Υπολογισμός πλευράς τριγώνου.

Re: Υπολογισμός πλευράς τριγώνου.

Re: Υπολογισμός πλευράς τριγώνου.

Re: Υπολογισμός πλευράς τριγώνου.

Μέλη σε σύνδεση