Ρητή προσέγγιση του ln2
Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6424
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15777
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ρητή προσέγγιση του ln2
Κάνω μία άχαρη λύση, πιο πολύ για επιβεβαίωση, εν αναμονή κομψού συλλογισμού.
Η δοθείσα ισοδυναμεί με την . Αρκεί η και άρα, πολλαπλασιάζοντας επί έχουμε ισοδύναμα
ή αλλιώς , οπότε αρκεί να δείξουμε ότι
.
Πολλαπλασιάζουμε επί οπότε ισοδύναμα , οπότε θέλουμε
.
Τώρα τα νούμερα είναι σχετικά μικρά και μπορούμε να κάνουμε τις πράξεις με το χέρι. Η ανισότητα γράφεται , που επιβεβαιώνει το αποδεικτέο.
Re: Ρητή προσέγγιση του ln2
Καλησπέρα.
Εν αναμονή συντομότερης λύσης:
.
Αν δοκιμάσουμε να δώσουμε τιμές στο και υπολογίσουμε τα αντίστοιχα αθροίσματα, δε θα βγάλουμε άκρη, γιατί , σύμφωνα με λογισμικό, η ελάχιστη τιμή του , ώστε να πάρουμε άθροισμα μεγαλύτερο του , είναι .
Θέτουμε και έχουμε από Cauchy Schwartz:
.
Επομένως, .
Επιλέγοντας , αρκεί να δείξουμε ότι:
,
που, ακόμη και στο χαρτί, μπορούμε να δείξουμε ότι ισχύει.
Εν αναμονή συντομότερης λύσης:
.
Αν δοκιμάσουμε να δώσουμε τιμές στο και υπολογίσουμε τα αντίστοιχα αθροίσματα, δε θα βγάλουμε άκρη, γιατί , σύμφωνα με λογισμικό, η ελάχιστη τιμή του , ώστε να πάρουμε άθροισμα μεγαλύτερο του , είναι .
Θέτουμε και έχουμε από Cauchy Schwartz:
.
Επομένως, .
Επιλέγοντας , αρκεί να δείξουμε ότι:
,
που, ακόμη και στο χαρτί, μπορούμε να δείξουμε ότι ισχύει.
Κώστας
Re: Ρητή προσέγγιση του ln2
Αλλιώς:
Σύμφωνα με τη Wikipedia , το γράφεται ως συνεχές κλάσμα ως:
, που είναι μεγαλύτερο από:
.
Σύμφωνα με τη Wikipedia , το γράφεται ως συνεχές κλάσμα ως:
, που είναι μεγαλύτερο από:
.
Κώστας
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ρητή προσέγγιση του ln2
Μιας και το αναφέρει ο τίτλος μας για την Pade approximation η οποία δίνει γενικά ρητές προσεγγίσεις συναρτήσεων
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ρητή προσέγγιση του ln2
Συνδυάζοντας τα αναπτύγματα MacLaurin των και παίρνουμε:
θετικοί όροι.
Θέτουμε και πετάμε τους θετικούς όρους. Έτσι, παίρνουμε μια προσέγγιση (με έλλειμα) του
Συγκεκριμένα, .
Εύκολα ελέγχουμε ότι αυτή η προσέγγιση είναι πολύ καλύτερη από αυτή που ζητείται.
θετικοί όροι.
Θέτουμε και πετάμε τους θετικούς όρους. Έτσι, παίρνουμε μια προσέγγιση (με έλλειμα) του
Συγκεκριμένα, .
Εύκολα ελέγχουμε ότι αυτή η προσέγγιση είναι πολύ καλύτερη από αυτή που ζητείται.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15777
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ρητή προσέγγιση του ln2
Θαυμάσια.Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑Τετ Δεκ 27, 2023 6:47 pmΣυνδυάζοντας τα αναπτύγματα MacLaurin των και παίρνουμε:
θετικοί όροι.
Θέτουμε και πετάμε τους θετικούς όρους. Έτσι, παίρνουμε μια προσέγγιση (με έλλειμα) του
Συγκεκριμένα, .
Εύκολα ελέγχουμε ότι αυτή η προσέγγιση είναι πολύ καλύτερη από αυτή που ζητείται.
Αν θέλουμε να την κάνουμε εντός ύλης αρχίζουμε από την άμεση για (υπάρχουν πολλές αποδείξεις. Μία είναι από το γεγονός ότι έχουμε άθροισμα γεωμετρικής προόδου , και λοιπά.)
Ολοκληρώνουμε τώρα από έως , και προκύπτει η ανισότητα του Λάμπρου.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες