Περί των τυπικά μη-αποκρίσιμων προτάσεων του Princ. Mathem.

#1

......καλό.....

Να δειχθεί ότι $\sqrt[3]{3\sqrt{21}+8}-\sqrt[3]{3\sqrt{21}-8}=1$ .

#2

Έχουμε και λέμε:

Θέτουμε $a=3\sqrt{21}+8$ και $b=3\sqrt{21}-8$ οι οποίοι είναι και οι δύο θετικοί πραγματικοί.

Τότε $a-b=16 \ \ (1)$ και

$a+b=6\sqrt{21} \ \ (2)$

Από τις (1)

και

με ύψωση στο τετράγωνο και κατόπιν αφαίρεσης (μεταξύ τους) κατά μέλη παίρνουμε

$ab=125 \ \ (3)$

Επίσης $\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}=\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2+2\sqrt[3]{ab} \ \ (4)$

Έτσι λοιπόν από τη γνωστή ταυτότητα x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

για $x=\sqrt[3]{a}$ και $y=\sqrt[3]{b}$ παίρνουμε $\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}=\displaystyle\frac{a-b}{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}\stackrel{(4)}{=}\frac{a-b}{\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2+3\sqrt[3]{ab}}\stackrel{(1),(3)}{=}\frac{16}{\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2+3\sqrt[3]{125}}$ .

Αν λοιπόν θέσουμε $x=\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$ (που είναι και η ζητούμενη παράσταση), τότε η παραπάνω σχέση γράφεται

$x=\displaystyle\frac{16}{x^2+15} \Longleftrightarrow x^3+15x-16=0 \Longleftrightarrow (x-1)\left(x^2+x+16\right)=0$ και επειδή το x είναι εξ' ορισμού πραγματικός αριθμός, άρα x=1

.

Αλέξανδρος

mathfinder · #3

Στο συνημμένο μία λύση για την παράσταση .
Μόλις είδα ότι με πρόλαβε ο Αλέξανδρος , αλλά την επισυνάπτω αφού την πληκτρολόγησα .
Αθ. Μπεληγιάννης

#4

Ευχαριστώ και τους δυο σας! Η λύση του Θανάση ήταν αυτή που έδινε και στο πολύ όμορφο βιβλίο
Herman J.,Kucera R.,Simsa J. - Equations And Inequalities, Elementary Problems And Theorems In Algebra And Number Theory - Springer 2000 όπου και πέτυχα την άσκηση

#5

Γενικότερα ο $\displaystyle\sqrt[3]{a\sqrt{b}+c}-\sqrt[3]{a\sqrt{b}-c}$ είναι (αν έχω κάνει σωστές πράξεις) ρίζα της εξίσωσης

$\displaystyle x^3+3\sqrt[3]{a^2b-c^2}\ x-2c=0$ .

Αλέξανδρος

#6

Αναστάση, απορία:

Από που και ως που ο τίτλος του θέματος είναι
"Περί των τυπικά μη-αποκρίσιμων προτάσεων του Princ. Mathem" ;
Είναι κάτι που δεν βλέπω, μια και η άσκηση είναι μάλλον απλή; Η
Principia που μπαίνει; Με τρώει η περιέργεια!

Φιλικά,

Μιχάλης

#7

Ψάχνοντας μία άλλη άσκηση της ίδιας περιόδου έπεσα πάνω σε αυτή.

Γράφω λοιπόν μία λίγο διαφορετική προσέγγιση:

Θέτουμε $x=\sqrt[3]{3\sqrt{21}+8}-\sqrt[3]{3\sqrt{21}-8} \Leftrightarrow x+\left(-\sqrt[3]{3\sqrt{21}+8}\right)+\sqrt[3]{3\sqrt{21}-8}=0$ άρα από τις συνέπειες της ταυτότητας του Euler έχουμε:

$\displaystyle{x^3+\left(-\sqrt[3]{3\sqrt{21}+8}\right)^3+\left(\sqrt[3]{3\sqrt{21}-8}\right)^3=3x\left(-\sqrt[3]{3\sqrt{21}+8}\right)\sqrt[3]{3\sqrt{21}-8}\Leftrightarrow x^3-16=-15x \Leftrightarrow x^3+15x-16=0}$

Όμως η συνάρτηση f(x)=x^3+15x-16

είναι γνησίως αύξουσα συνεπώς η εξίσωση f(x)=0

έχει το πολύ μία λύση και αφού έχει το

είναι προφανής, άρα είναι και η μοναδική λύση.

Συνεπώς x=1

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Αλέξανδρος

Υ.Γ. Παρατηρώ ότι ο Αναστάσης ακόμα μας χρωστάει μία απάντηση!

S.E.Louridas · #8

Γεια χαρά,

${\left( {\root 3 \of {3\sqrt {21} + 8} } \right)^3} + {\left( { - \root 3 \of {3\sqrt {21} - 8} } \right)^3} + \left( { - 1} \right)^3 = 15 = 3\left( {\root 3 \of {3\sqrt {21} + 8} } \right)\left(- {\root 3 \of {3\sqrt {21} - 8} } \right)(-1),\;\;}$ με $\root 3 \of {3\sqrt {21} + 8} \ne - \root 3 \of {3\sqrt {21} - 8} .$
Αυτό οδηγεί αυτόματα στο ζητούμενο.

(*) Χρησιμοποιήθηκε ότι: $\left( {a,\,b,\,c \in {\Cal R}} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc} \right) \Rightarrow \left( {a + b + c = 0} \right) \vee \left( {a = b = c} \right).$

Περί των τυπικά μη-αποκρίσιμων προτάσεων του Princ. Mathem.

Περί των τυπικά μη-αποκρίσιμων προτάσεων του Princ. Mathem.

Re: Περί των τυπικά μη-αποκρίσιμων προτάσεων του Princ. Mathem.

Re: Περί των τυπικά μη-αποκρίσιμων προτάσεων του Princ. Mathem.

Re: Περί των τυπικά μη-αποκρίσιμων προτάσεων του Princ. Mathem.

Re: Περί των τυπικά μη-αποκρίσιμων προτάσεων του Princ. Mathem.

Re: Περί των τυπικά μη-αποκρίσιμων προτάσεων του Princ. Mathem.

Re: Περί των τυπικά μη-αποκρίσιμων προτάσεων του Princ. Mat

Re: Περί των τυπικά μη-αποκρίσιμων προτάσεων του Princ. Mat

Μέλη σε σύνδεση