Σύγκριση ταχυτήτων

#1

Σε ένα ορισμένο χρονικό διάστημα,ένα αυτοκίνητο Α διανύει διπλάσια απόσταση από ένα άλλο αυτοκίνητο Β.
Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον μία χρονική στιγμή κατά την οποία το αυτοκίνητο Α έχει διπλάσια ταχύτητα από
το αυτοκίνητο Β.

kwstas12345 · #2

Καλημέρα. Έστω ότι η αρχή των μετρήσεων γίνεται την χρονική στιγμή $\displaystyle t_{1}$ , και την στιγμή που τελειώνουν οι μετρήσεις μας $\displaystyle t_{2}$ . Ως γνωστόν είναι $\displaystyle u\left(t \right)=\frac{ds}{dt}\Rightarrow s\left(t \right)=\int u\left(t \right)+c$ , συγκεκεριμένα εδώ έχουμε $\displaystyle s_{1}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}{u_{1}\left(t \right)}dt,s_{2}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}{u_{2}\left(t \right)}dt$ . Όμως $\displaystyle s_{1}=2s_{2}\Leftrightarrow \int_{t_{1}}^{t_{2}}{u_{1}\left(t \right)}dt=2\int_{t_{1}}^{t_{2}}{u_{2}\left(t \right)}dt\Leftrightarrow \int_{t_{1}}^{t_{2}}{\left(u_{1}\left(t \right)-2u_{2}\left(t \right) \right)}dt=0$ . Εύκολα τώρα με εφαρμογή ΘΜΤΟΛ για την συνάρτηση $\displaystyle F\left(t \right)=\int_{t_{1}}^{t}\left(u_{1}\left(t \right)-2u_{2}\left(t \right) \right)dt$ στο $\displaystyle \left[t_{1},t_{2} \right]$ , προκύπτει ότι $\displaystyle \exists t_{3} \in \left(t_{1},t_{2} \right):\left(u_{1}\left(t_{3} \right)-2u_{2}\left(t_{3} \right) \right)\left(t_{2}-t_{1} \right)=\int_{t_{1}}^{t_{2}}{u_{1}\left(t \right)-2u_{2}\left(t\right)}dt=0$ $\displaystyle \Rightarrow u_{1}\left(t_{3} \right)=2u_{2}\left(t_{3} \right)$ , και το ζητούμενο έπεται.

angvl · #3

Έστω $t_{0}$ καί $t_{1}$ με $t_{0}<t_{1}$

δυο χρονικές στιγμές κατά τις οποίες το πρώτο αυτοκίνητο έχει διανύσει διπλάσια απόσταση από το δεύτερο.

Έστω επίσης $S_{1}(t)$ η συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση που έχει διανύσει το πρώτο αυτοκίνητο,

$S_{2}(t)$ του δευτέρου και έστω $h(t)=S_{1}(t)-2S_{2}(t)$ .Η συνάρτηση

είναι συνεχής

καί παραγωγίσιμη στο $[t_{0},t_{1}]$ καί $h(t_{o})=h(t_{1})=0$ .

Άρα απο Θ.Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in (t_{0},t_{1})$ τ.ω $h'(\xi) = 0$ .

Δηλαδή $v_{1}(\xi)=2v_{2}(\xi)$ .

parmenides51 · #4

chris_gatos έγραψε:Σε ένα ορισμένο χρονικό διάστημα,ένα αυτοκίνητο Α διανύει διπλάσια απόσταση από ένα άλλο αυτοκίνητο Β.
Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον μία χρονική στιγμή κατά την οποία το αυτοκίνητο Α έχει διπλάσια ταχύτητα από
το αυτοκίνητο Β.

Ας υποθέσουμε πως δεν υπάρχει καμιά χρονική στιγμή κατά την οποία το αυτοκίνητο Α να έχει διπλάσια ταχύτητα από το αυτοκίνητο Β.
Τότε το αυτοκίνητο Α ή θα έχει πάντα ταχύτητα μικρότερη από την διπλάσια ταχύτητα του αυτοκίνητου Β ή θα έχει πάντα ταχύτητα μεγαλύτερη από αυτήν.

Αν υποθέσουμε πως το αυτοκίνητο Α έχει πάντα ταχύτητα μικρότερη την διπλάσια ταχύτητα του αυτοκίνητου Β, τότε αφού κινούνται για το ίδιο χρονικό διάστημα, συνεπάγεται πως το αυτοκίνητο Α θα διανύσει απόσταση λιγότερη από την διπλάσια από την απόσταση που διανύει το αυτοκίνητο Β.
Αυτό έρχεται σε αντίφαση με το γεγονός πως στο ίδιο χρονικό διάστημα το αυτοκίνητο Α διανύει διπλάσια απόσταση από το αυτοκίνητο Β.
Άτοπο.

Αν υποθέσουμε πως το αυτοκίνητο Α έχει πάντα ταχύτητα μεγαλύτερη από την διπλάσια ταχύτητα του αυτοκίνητου Β, τότε προκύπτει ομοίως άτοπο.

Άρα υπάρχει τουλάχιστον μία χρονική στιγμή κατά την οποία το αυτοκίνητο Α έχει διπλάσια ταχύτητα από το αυτοκίνητο Β.

#5

Λίγο διαφορετικά
Το ΘΜΤ εκφράζει το γεγονός ότι κάποια στιγμή η μέση ταχύτητα $\displaystyle{\bar{v}=\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}}$ = με την στιγμιαία ταχύτητα $\displaystyle{v}$ σε κάποια στιγμή ξ κατά την διάρκεια $\displaystyle{\Delta t=t-t_0}$
Αν εφαρμόσουμε τα παραπάνω θα δείξουμε ότι υπάρχουν 2 ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ $\displaystyle{\xi_1,\xi_2}$ στις οποίες το ένα κινητό θα έχει την διπλάσια στιγμιαία ταχύτητα
( $\displaystyle{v_{\sigma \tau }=s'(t)$ από το άλλο.( Προσοχή s=μετατόπιση και όχι διάστημα. Φαντάζομαι ότι η λέξη απόσταση υπονοεί τροχιά ευθύγραμμη και όχι αλλαγή φοράς κίνησης του κινητού.)
Για να δείξουμε ότι $\displaystyle{\xi_1=\xi_2}$ πρέπει να πάμε αλλιώς όπως ο angul με Rolle η ο Kostas με ΘΜΤολ ...

parmenides51 · #6

Στην παραπάνω λύση που έκανα, μήπως θα έπρεπε να προσθέσω πως ''η ταχύτητα των αυτοκινήτων είναι συνεχής συνάρτηση του χρόνου'';
Γιατί υποπτεύομαι πως το χρησιμοποιώ ασυνείδητα (;) κατά την επίλυση της άσκησης.

Σύγκριση ταχυτήτων

Σύγκριση ταχυτήτων

Re: Σύγκριση ταχυτήτων

Re: Σύγκριση ταχυτήτων

Re: Σύγκριση ταχυτήτων

Re: Σύγκριση ταχυτήτων

Re: Σύγκριση ταχυτήτων

Μέλη σε σύνδεση