Τελικά ομάδα...

#1

Έστω

ένα πεπερασμένο και μη κενό σύνολο. Η πράξη

είναι τέτοια ώστε :
1. Το

είναι κλειστό ως προς την

2. Η

είναι προσεταιριστική.
3. Για κάθε $a,b,c \in G : \ a*b=a*c \implies b=c$
4. Για κάθε $a,b,c \in G : \ b*a=c*a \implies b=c$

Δείξτε ότι το (G,*)

είναι ομάδα. Ισχύει το ίδιο όταν το

είναι άπειρο;

#2

socrates έγραψε:Έστω ένα πεπερασμένο και μη κενό σύνολο. Η πράξη είναι τέτοια ώστε :
1. Το είναι κλειστό ως προς την
2. Η είναι προσεταιριστική.
3. Για κάθε $a,b,c \in G : \ a*b=a*c \implies b=c$ (1)
4. Για κάθε $a,b,c \in G : \ b*a=c*a \implies b=c$ (2)

Δείξτε ότι το είναι ομάδα. Ισχύει το ίδιο όταν το είναι άπειρο;

Για το πρώτο:

Έστω $S=\{a_1,a_2,...,a_n\}$ και $a \in S$ . Λόγω της (1) τα a*a_1,a*a_2,...,a*a_n

είναι διαφορετικά ανά δύο

Συνεπώς μπορώ να κατασκευάζω το σύνολο $S_1=\{a*a_1,a*a_2,...,a*a_n\}$ .

Προφανώς $S_1 \subset S$ και $\left|S_1\right|=\left|S\right|=n$ , άρα S=S_1

, συνεπώς υπάρχει

ώστε

(3)

Τώρα κατασκευάζω το σύνολο $S_2=\{a_1*a,a_2*a,...,a_n*a\}$ . Ομοίως καταλήγω στο συμπέρασμα ότι υπάρχει

ώστε

(4)

Αν στην (3) βάλω στη θέση του

το

έχω

(5)

Αν στην (4) βάλω στη θέση του

το

έχω

(6)

Άρα η (5) και η (6) δίνουν a_i=a_j=e

. Το

είναι το ουδέτερο στοιχείο της πράξης.

Έστω $b \in S$ . Κατασκευάζω το σύνολο $S_3=\{b*a_1,b*a_2,...,b*a_n\}$

Όπως παραπάνω αποδεικνύεται ότι S_3=S

, άρα υπάρχει a_m

ώστε

(7)

Κατασκευάζω το $S_4=\{a_1*b,a_2*b,...,a_n*b\}$ , για το οποίο έχουμε S_4=S

, άρα υπάρχει a_k

ώστε

(8)

(7) $\Rightarrow a_k*b*a_m=a_k*e=a_k \Rightarrow e*a_m=a_k \Rightarrow a_m=a_k=b{'}$

Δηλαδή για το

υπάρχει (προφανώς μοναδικό) b{'}

ώστε

.

Άρα έχουμε ομάδα.

#3

Για το δεύτερο

Αν το

είναι απειροσύνολο οι δοθείσες ιδιότητες δεν μας οδηγούν αναγκαστικά στο συμπέρασμα ότι το

είναι ομάδα.

Για παράδειγμα αν $S=\mathbb{Z}$ , ορίζουμε μία πράξη

, ως εξής

Αν $a \neq b$ , τότε a*b=a+b+1

και

, ενώ

Τελικά ομάδα...

Τελικά ομάδα...

Re: Τελικά ομάδα...

Re: Τελικά ομάδα...

Μέλη σε σύνδεση