Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #1

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:Για την παραμελημένη γενική παιδεία,ας δημιουργήσουμε ένα αρχείο ασκήσεων.
Ας ξεκινήσουμε με το 1ο κεφάλαιο.Αφού μαζέψουμε ένα ικανό αριθμό θέματων, το κάνουμε ένα αρχείο ώστε να είναι χρήσιμο απο όλους μας.
Μέτά συνέχιζουμε (αν υπάρχει διάθεση) και στα άλλα κεφάλαια.
Ας προσπαθήσουμε τα θέματα να έχουν ένα ικανό αριθμό υποερωτημάτων (τουλάχιστον 3 ερωτήματα).
Επίσης,να περιμένουμε να έχουμε πρώτα απάντηση στα προηγούμενα θέματα και μετά να δημοσιεύουμε νέο θέμα.
Καλό θα είναι ,αν τα θέματα υπάρχουν σε διάφορα βοήθηματα, να αναφέρετε η πηγή

Μετα την συμπλήρωση 30 ασκήσεων στο διαφόρικό λογισμό, ας συνεχίσουμε στην στατιστική.Συνεχίζουμε την αρίθμηση .Ξεκινάμε απο 31
Ας προσπαθήσουμε να μαζέψουμε κάποια θέματα και να κρατήσουμε τους κανόνες που είχαμε στο διαφορικό λογισμό

Επειδή η εισαγωγή πίνακα, πιθανόν να μην είναι γνώστη απο πολλούς, δίνω ένα παράδειγμα για τον πινακα σε κώδικα

Κώδικας για τον πίνακα,

\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|}
\hline
\greektext hlikia\;\;q_{i} & \greektext paidia\;\;n_{i} & f_{i} & f_{i}\% & N_{i} & F_{i} & F_{i}\% \\
\hline
4 &5&1/4&25&5&1/4&25 \\
\hline
5&4&1/5&20&9&9/20&45\\
\hline
7&1&1/20&5&10&1/2&50\\
\hline
8&2&1/10&10&12&3/5&60\\
\hline
9&8&2/5&40&20&1&100\\
\hline
\greektext sunolo & 20&1&100 & \multicolumn{3}{c}{}\\
\cline{1-4}
\end{tabular}

θα μας δώσει

$\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|} \hline \greektext hlikia\;\;q_{i} & \greektext paidia\;\; n_{i} & f_{i} & f_{i}\% & N_{i} & F_{i} & F_{i}\% \\ \hline 4 &5&1/4&25&5&1/4&25 \\ \hline 5&4&1/5&20&9&9/20&45\\\hline 7&1&1/20&5&10&1/2&50\\\hline8&2&1/10&10&12&3/5&60\\\hline9&8&2/5&40&20&1&100\\\hline\greektext sunolo & 20&1&100 & \multicolumn{3}{c}{}\\ \cline{1-4} \end{tabular}$

Οπότε δουλεύοντας έτσι θα μπορούμε να φτίξουμε και πινακες. Περισσότερους πίνακες, θα βρείτε viewtopic.php?f=106&t=11441 απο όπου πήρα και τον παραπάνω πίνακα.

Επανέρχομαι το πρώι με άσκηση.

pana1333 · #2

Καλημέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν. Δίνω τη πρώτη δική μου (απλή, αλλά πιστεύω διδακτική), προσπαθώντας να αποφύγω πίνακες!

Εδώ ήταν η αρχική εκφώνηση

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΆΣΚΗΣΗ 31

Έστω $CV^{2}=0.04$ όπου

ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s=0.2

ενός δείγματος που έχει την ίδια μέση τιμή με το δείγμα Α με παρατηρήσεις τις $1,3,-2,\alpha,-1$ , όπου $\alpha$ ακέραιος.

Α) Αν η διάμεσος $\delta$ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος

του δείγματος.

Β) Να βρεθεί ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος που προκύπτει απο το αρχικό δείγμα Α προσθέτοντας σε κάθε παρατήρηση τον αριθμό $\bar{x}$ και ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος που προκύπτει από το αρχικό δείγμα πολλαπλασιάζοντας κάθε παρατήρηση με τον αριθμό $\bar{x}$ , όπου $\bar{x}$ η μέση τιμή του αρχικού δείγματος για την περίπτωση που $\bar{x}<0$ . Ποιο από τα δύο αυτά δείγματα είναι περισσότερο ομοιογενές;

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #3

pana1333 έγραψε: ΆΣΚΗΣΗ 31

Έστω το δείγμα παρατηρήσεων $1,3,-2,\alpha,-1$ , όπου $\alpha$ ακέραιος. Έστω $CV^{2}=0.04$ όπου ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση .

Α) Αν η διάμεσος του δείγματος $\delta$ είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος του δείγματος.

Β) Να βρεθεί ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος που προκύπτει απο το αρχικό δείγμα προσθέτοντας σε κάθε παρατήρηση τον αριθμό $\bar{x}$ και ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος που προκύπτει από το αρχικό δείγμα πολλαπλασιάζοντας κάθε παρατήρηση με τον αριθμό $\bar{x}$ , όπου $\bar{x}$ η μέση τιμή του αρχικού δείγματος για την περίπτωση που $\bar{x}<0$ . Ποιο από τα δύο αυτά δείγματα είναι περισσότερο ομοιογενές;

Α. Εχουμε $\displaystyle{CV = \frac{s}{{\overline x }} \Rightarrow CV^2 = \frac{{s^2 }}{{\left( {\overline x } \right)^2 }} \Rightarrow 0,04 = \frac{{0,2^2 }}{{\left( {\overline x } \right)^2 }} \Rightarrow \left( {\overline x } \right)^2 = 1}$ $\displaystyle{\Rightarrow \overline x = \pm 1}$

Επειδή η διάμεσος είναι αρνητική συμπεραίνουμε οτι $\displaystyle{\alpha < 0}$ .

1η περίπτωση αν $\displaystyle{\overline x = 1}$ τότε $\displaystyle{\overline x = \frac{{1 + 3 - 2 + \alpha + 1}}{5} \Rightarrow \overline x = \frac{{1 + \alpha }}{5} \Rightarrow 1 + \alpha = 5 \Rightarrow \alpha = 4}$ Αδύνατο διότι $\displaystyle{\alpha < 0}$ .

2ή περίπτωση αν $\displaystyle{\overline x = - 1}$ τότε $\displaystyle{\overline x = \frac{{1 + 3 - 2 + \alpha + 1}}{5} \Rightarrow \overline x = \frac{{1 + \alpha }}{5} \Rightarrow 1 + \alpha = - 5 \Rightarrow \alpha = - 6}$ Δεκτή διότι $\displaystyle{\alpha < 0}$ .

Επομένως $\displaystyle{\alpha =-6}$ και τότε το εύρος είναι $\displaystyle{R = 3 - ( - 6) = 9}$

Β. Γνωρίζουμε οτι αν σε όλες τις παρατηρήσσεις προσθέσουμε μια σταθερά, η νέα μέση τιμή είναι η προηγούμενη προσαυξημένη κατα την σταθερά,
ενω η τυπική απόκλιση παραμένει η ίδια.

Οπότε $\displaystyle{\overline \psi = \overline x + \overline x = 2\overline x = - 2}$ και $\displaystyle{s_\psi = s_x = 0,2}$

Επομένως $\displaystyle{CV_\psi = \frac{{s_\psi }}{{\left| {\overline \psi } \right|}} = \frac{{s_x }}{{\left| {2\overline x } \right|}} = \frac{1}{2}s_x = 0,1}$

Ακόμα,αν όλες οι παρατηρήσεις πολλαπλασιαστούν με μια σταθερά, η νέα μέση τιμή είναι η προηγούμενη πολλαπλασιασμένη με την σταθερά, ενώ η νέα τυπική απόκλιση είναι η προηγούμενη πολλαπλασιασμένη με την απόλυτη τιμή της σταθεράς.

Οπότε $\displaystyle{\overline z = \overline x \cdot \overline x = \left( {\overline x } \right)^2 = 1}$ και $\displaystyle{s_z = \left| {\overline x } \right|s_x = s_x = 0,2}$

Τότε $\displaystyle{CV_z = \frac{{s_z }}{{\left| {\overline z } \right|}} = \frac{{s_x }}{{\left( {\overline x } \right)^2 }} = s_x = 0,2}$

Επειδή $\displaystyle{CV_\psi < CV_z }$ έχουμε οτι το δείγμα που προκύπτει απο το αρχικό δείγμα προσθέτοντας σε κάθε παρατήρηση τον αριθμό $\displaystyle{\overline x }$ είναι πιο ομοιογενές απο το δείγμα που προκύπτει πολλαπλασιάζοντας κάθε παρατήρηση με τον αριθμό $\displaystyle{\overline x }$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #4

pana1333 έγραψε: ΆΣΚΗΣΗ 31

Έστω το δείγμα παρατηρήσεων $1,3,-2,\alpha,-1$ , όπου $\alpha$ ακέραιος. Έστω $CV^{2}=0.04$ όπου ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση .

Α) Αν η διάμεσος του δείγματος $\delta$ είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος του δείγματος.

Β) Να βρεθεί ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος που προκύπτει απο το αρχικό δείγμα προσθέτοντας σε κάθε παρατήρηση τον αριθμό $\bar{x}$ και ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος που προκύπτει από το αρχικό δείγμα πολλαπλασιάζοντας κάθε παρατήρηση με τον αριθμό $\bar{x}$ , όπου $\bar{x}$ η μέση τιμή του αρχικού δείγματος για την περίπτωση που $\bar{x}<0$ . Ποιο από τα δύο αυτά δείγματα είναι περισσότερο ομοιογενές;

Το απορία μου σε τέτοιου είδους ασκήσεις είναι οτι (τις περισσότερες φορές) για την τιμή της σταθεράς που βρίσκείς, δεν ισχούουν οι τιμές της τυπικής αποκλισης και του συντελεστή μεταβολής.

Στο παράδειγμά μας, για $\displaystyle{\alpha = - 6}$ έχουμε $\displaystyle{ - 6, - 2, - 1,1,3}$ τοτε $\displaystyle{\overline x = - 1}$

και $\displaystyle{s^2 = \frac{{\left( { - 6 + 1} \right)^2 + \left( { - 2 + 1} \right)^2 + \left( { - 1 + 1} \right)^2 + \left( {1 + 1} \right)^2 + \left( {3 + 1} \right)^2 }}{5} = \frac{{25 + 1 + 0 + 4 + 16}}{5} = \frac{{46}}{5}}$ οπότε $\displaystyle{s = \sqrt {\frac{{46}}{5}} = \sqrt {9,2} \approx 3,03}$

και $\displaystyle{CV = \frac{s}{{\left| {\overline x } \right|}} \approx 3,03}$

κατι παρόμοιο είχε ζητηθεί και σε εξετάσεις των ΤΕΕ το 2006 (θέμα 1ο)

Το θέμα ήταν το εξής:

Δίνονται 5 παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής X: 16, 14, 22, 18, 20 + α, όπου $\displaystyle{\alpha \in R}$

Αν ο συντελεστής μεταβλητότητας (CV) των παρατηρήσεων αυτών είναι 20% και η τυπική απόκλισή τους (s) είναι 4, τότε:

α) Να δείξετε ότι η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι $\displaystyle{\overline x = 20}$

β) Να υπολογίσετε την τιμή του πραγματικού αριθμού α.

γ) Για την τιμή του α που υπολογίσατε στο ερώτημα β, να βρείτε τη διάμεσο του δείγματος.

δ) Είναι το δείγμα ομοιογενές ή όχι και γιατί

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #5

ΑΣΚΗΣΗ 32η

Στον ελλιπή πίνακα που ακολουθεί, παρουσιάζεται η κατανομή συχνοτήτων (απόλυτων, σχετικών κ.τ.λ). των τιμών της θερμοκρασίας σε C , ομαδοποιημένες σε κλάσεις ίσου πλάτους, που σημειώθηκαν κατά την χειμερινή περίοδο σε ν πλήθους ημέρές στην πόλη της Αθήνας.

$\begin{tabular}{|c||c|c|c|} \hline\greektext \;\;Jermokrasia se Kelsiou\; &\greektext \;\;n_{i} & f_{i}\% & F_{i}\% \\ \hline.... - 4 &\greektext \;\;n_{1}& & \\ \hline... - ....&\greektext \;\;n_{2}&25&\\ \hline.... - ....&\greektext \;\;4n_{1}&&75\\ \hline.... - ....&\greektext \;\;n_{4}&&90\\ \hline.... - 20&\greektext \;\;n_{1}&&\\ \hline \greektext Sunolo &\greektext\;\;4n &100&-\ \\\hline \end{tabular}$

Να βρείτε:
α. Τα άκρα των κλάσεων

β. Τις σχετικές συχνότητες $\displaystyle{f_i \% }$

γ. Τις σχετικές αθροιστικές συχνότητες $\displaystyle{F_i \% }$

Αν $\displaystyle{v{}_1 = f(x_0 )}$ , όπου $\displaystyle{x_0 }$ η θέση του ολικού μεγίστου της συνάρτησης $\displaystyle{f(x) = - 2x^2 + 8x - 4,x \in R}$

δ.Τότε να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα των (απόλυτων) συχνοτήτων.

Για την τιμή $\displaystyle{v{}_1}$ που βρήκατε να υπολογίσετε:

ε.i. Το πλήθος των ημερών της χειμερινής περιόδου που σημειώθηκαν θερμοκρασίες από $\displaystyle{9^0 C}$ έως $\displaystyle{12^0 C}$

ε. ii. Το ποσοστό των ημερών της χειμερινής περιόδου, που σημειώθηκαν θερμοκρασίες πάνω από $\displaystyle{11^0 C}$ .

(Nα θεωρήσετε ότι οι τιμές της θερμοκρασίας κατανέμονται ομοιόμορφα)

Για την απάντηση:Απλώς αντιγράφετε τον κώδικα του πίνακα απο τη δική μου δημοσίευση, συμπληρώνεται τα κενα και βάζεται τις τιμές των $\displaystyle{v_\iota }$

_______________________________________________________________________________
Λέξεις κλειδιά: Μαθηματικά γενικής, Επαναληπτικές ασκήσεις στη στατιστική,συλλογή θεμάτων
_________________________________________________________________________________

pana1333 · #6

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:
pana1333 έγραψε: ΆΣΚΗΣΗ 31

Έστω το δείγμα παρατηρήσεων $1,3,-2,\alpha,-1$ , όπου $\alpha$ ακέραιος. Έστω $CV^{2}=0.04$ όπου ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση .

Α) Αν η διάμεσος του δείγματος $\delta$ είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος του δείγματος.

Β) Να βρεθεί ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος που προκύπτει απο το αρχικό δείγμα προσθέτοντας σε κάθε παρατήρηση τον αριθμό $\bar{x}$ και ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος που προκύπτει από το αρχικό δείγμα πολλαπλασιάζοντας κάθε παρατήρηση με τον αριθμό $\bar{x}$ , όπου $\bar{x}$ η μέση τιμή του αρχικού δείγματος για την περίπτωση που $\bar{x}<0$ . Ποιο από τα δύο αυτά δείγματα είναι περισσότερο ομοιογενές;
Η απορία μου σε τέτοιου είδους ασκήσεις είναι οτι (τις περισσότερες φορές) για την τιμή της σταθεράς που βρίσκείς, δεν ισχούουν οι τιμές της τυπικής αποκλισης και του συντελεστή μεταβολής.

Στο παράδειγμά μας, για $\displaystyle{\alpha = - 6}$ έχουμε $\displaystyle{ - 6, - 2, - 1,1,3}$ τοτε $\displaystyle{\overline x = - 1}$

και $\displaystyle{s^2 = \frac{{\left( { - 6 + 1} \right)^2 + \left( { - 2 + 1} \right)^2 + \left( { - 1 + 1} \right)^2 + \left( {1 + 1} \right)^2 + \left( {3 + 1} \right)^2 }}{5} = \frac{{25 + 1 + 0 + 4 + 16}}{5} = \frac{{46}}{5}}$ οπότε $\displaystyle{s = \sqrt {\frac{{46}}{5}} = \sqrt {9,2} \approx 3,03}$

και $\displaystyle{CV = \frac{s}{{\left| {\overline x } \right|}} \approx 3,03}$

Δημήτρη Καλημέρα. Να σου πω την αλήθεια σκέφτηκα να κάνω επαλήθευση αλλά είχα και τη σιγουριά ότι θα ισχύει. Τώρα είναι και δική μου απορία. Θα το ψάξω λίγο και αν βρω κάτι θα επανέλθω. Όποιος γνωρίζει κάτι σχετικό ας ενημερώσει!

pana1333 · #7

Επανέρχομαι.....Τελικά νομίζω φταίει το εξής:

Η άσκηση πρέπει να διατυπωθεί ως εξής. Έστω CV και s ο συντελεστής και η τυπική απόκλιση αντίστοιχα ενός δείγματος που έχει ίδια μέση τιμή με το δείγμα 1,3,-2,α,-1. Γιαυτό βγαίνει λάθος. Για να είναι σωστό θα έπρεπε να υπολογίσω πρώτα τον CV και την s και μετά να δώσω την άσκηση. Διορθώνω την αρχική μου εκφώνηση λοιπόν.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #8

Μιας και έχει μείνει αρκετό καιρό αναπάντητη, ας δώσω την λύση στα πρώτα ερωτήματα. Τα επόμενα αργότερα (εκτός και αν απαντηθούν)

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 32η

Στον ελλιπή πίνακα που ακολουθεί, παρουσιάζεται η κατανομή συχνοτήτων (απόλυτων, σχετικών κ.τ.λ). των τιμών της θερμοκρασίας σε C , ομαδοποιημένες σε κλάσεις ίσου πλάτους, που σημειώθηκαν κατά την χειμερινή περίοδο σε ν πλήθους ημέρές στην πόλη της Αθήνας.

$\begin{tabular}{|c||c|c|c|} \hline\greektext \;\;Jermokrasia se Kelsiou\; &\greektext \;\;n_{i} & f_{i}\% & F_{i}\% \\ \hline.... - 4 &\greektext \;\;n_{1}& & \\ \hline... - ....&\greektext \;\;n_{2}&25&\\ \hline.... - ....&\greektext \;\;4n_{1}&&75\\ \hline.... - ....&\greektext \;\;n_{4}&&90\\ \hline.... - 20&\greektext \;\;n_{1}&&\\ \hline \greektext Sunolo &\greektext\;\;4n &100&-\ \\\hline \end{tabular}$

Να βρείτε:
α. Τα άκρα των κλάσεων

β. Τις σχετικές συχνότητες $\displaystyle{f_i \% }$

γ. Τις σχετικές αθροιστικές συχνότητες $\displaystyle{F_i \% }$

Αν $\displaystyle{v{}_1 = f(x_0 )}$ , όπου $\displaystyle{x_0 }$ η θέση του ολικού μεγίστου της συνάρτησης $\displaystyle{f(x) = - 2x^2 + 8x - 4,x \in R}$

δ.Τότε να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα των (απόλυτων) συχνοτήτων.

Για την τιμή $\displaystyle{v{}_1}$ που βρήκατε να υπολογίσετε:

ε.i. Το πλήθος των ημερών της χειμερινής περιόδου που σημειώθηκαν θερμοκρασίες από $\displaystyle{9^0 C}$ έως $\displaystyle{12^0 C}$

ε. ii. Το ποσοστό των ημερών της χειμερινής περιόδου, που σημειώθηκαν θερμοκρασίες πάνω από $\displaystyle{11^0 C}$ .

(Nα θεωρήσετε ότι οι τιμές της θερμοκρασίας κατανέμονται ομοιόμορφα) [/b]

α. Έστω $\displaystyle{\alpha }$ το κάτω άκρο της πρώτης κλάσης και $\displaystyle{\beta }$ το πλάτος κάθε κλάσης, τότε έχουμε

$\begin{tabular}{|c|} \hline\greektext \;\;Jermokrasia se Kelsiou\; \\ \hline\greektext \;a ews a+b= 4 \\ \hline\greektext \; a+b ews a+2b \\ \hline\greektext \; a+2b ews a+3b \\ \hline \greektext \; a+3b ews a+4b \\ \hline \greektext \;a+4b ews a+5b= 20\\ \ \\\hline \end{tabular}$

Οπότε $\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta = 4 \\ \alpha + 5\beta = 20 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \alpha = 0 \\ \beta = 4 \\ \end{array} \right. }$

β) και γ) Ακόμα έχουμε $\displaystyle{F_3 = 75\% }$ και $\displaystyle{F_4 = 90\% }$ οπότε $\displaystyle{f_4 = F_4 - F_3 = 15\% }$

Επίσης $\displaystyle{F_5 = 100\% }$ οπότε $\displaystyle{f_5 = F_5 - F_4 = 10\% }$

Εχουμε οτι $\displaystyle{\nu _1 = \nu _5 }$ αρα και $\displaystyle{f_1 = f_5 = 10\% }$

Επειδή $\displaystyle{f_2 = 25\% }$ έχουμε $\displaystyle{F_2 = 35\% }$ και $\displaystyle{F_3 = f_1 + f_2 = 35\% }$

Τέλος, $\displaystyle{f_3 = F_3 - F_2 = 40\% }$

$\displaystyle{f(x) = - 2x^2 + 8x - 4,x \in R}$

Η $\displaystyle{f}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$ ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με $\displaystyle{f'(x) = - 4x + 8,x \in R}$ .

Εχουμε $\displaystyle{f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 4x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2}$

$\displaystyle{f'(x) > 0 \Leftrightarrow - 4x + 8 > 0 \Leftrightarrow x < 2}$

Αρα η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{( - \infty ,2]}$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{ [2, + \infty )}$ . Παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση $\displaystyle{x_0 = 2}$ με τιμή $\displaystyle{f(2) = 4}$

Εχουμε $\displaystyle{v_1 = f(2) = 4}$ και $\displaystyle{f_1 = \frac{{\nu _1 }}{{4\nu }} \Leftrightarrow 0,1 = \frac{4}{{4\nu }} \Leftrightarrow \nu = 10}$

Ετσι έχουμε $\displaystyle{f_2 = \frac{{\nu _2 }}{{4\nu }} \Leftrightarrow 0,25 = \frac{{\nu _2 }}{{40}} \Leftrightarrow \nu _2 = 10}$ , οπότε ο πίνακας γίνεται

$\begin{tabular}{|c||c|c|c|} \hline\greektext \;\;Jermokrasia se Kelsiou\; &\greektext \;\;n_{i} & f_{i}\% & F_{i}\% \\ \hline 0 - 4 &\greektext \;\;n_{1}=4& 10& 10\\ \hline 4 - 8&\greektext \;\;n_{2}=10&25&35\\ \hline 8- 12&\greektext \;\;4n_{1}=16&40&75\\ \hline 12 -16 &\greektext \;\;n_{4}=6&15&90\\ \hline 16 - 20&\greektext \;\;n_{1}=4&10&100\\ \hline \greektext Sunolo &\greektext\;\;4n=40 &100&-\ \\\hline \end{tabular}$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #9

Σύνεχίζω τα υπόλοιπα ερωτήματα
δ. Το ιστόγραμμα συχνοτήτων είναι το

: istogramma.png (8.58 KiB) Προβλήθηκε 10615 φορές

ε.i. Θεωρώντας οτι οι τιμές των θερμοκρασιών κατανέμονται ομοιόμορφα, έχουμε οτι στο διάστημα $\displaystyle{[8,12)}$ βρίσκονται 16 παρατηρήσεις,
οπότε στο διάστημα $\displaystyle{[9,12)}$ θα βρίσκονται 12 παρατηρήσεις.

ε.ii. Το ποσοστών των ημερών που έχουν θερμοκρασία $\displaystyle{[8,12)}$ είναι $\displaystyle{40\% }$ . Οπότε το ποσοστό των ημερών που η θερμοκρασία είναι $\displaystyle{[11,12)}$ είναι $\displaystyle{10\% }$
Επομένως το ποσοστό των ημερών που η θερμοκρασία είναι πάνω απο $\displaystyle{11^0 C}$ είναι $\displaystyle{10\% + 15\% + 10\% = 35\% }$

perpant · #10

ΑΣΚΗΣΗ 33η

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = 4 \cdot s \cdot x^2 - 2 \cdot \overline x \cdot x + 13,\,\,x \in \Re }$ όπου $\displaystyle{\overline x }$ η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση ενός δείγματος μεγέθους ν. Αν η εφαπτομένη της καμπύλης της f στο σημείο $\displaystyle{ A\left( {1,f\left( 1 \right)} \right)}$ είναι παράλληλη στην ευθεία $\displaystyle{y = 2009}$ , τότε:

a) Να δείξετε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.

b) Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο.

c) Αν η f έχει ελάχιστη τιμή ίση με 1 τότε:

i) Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση του δείγματος.

ii) Ποιο είναι το ελάχιστο ποσό κατά το οποίο πρέπει να αυξηθεί η μέση τιμή ώστε το δείγμα να παρουσιάζει ομοιογένεια;

iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο Α.

Γιώργος Απόκης · #11

a) Eίναι $f{'}(x)=8sx-2\bar{x}$ . H εφαπτομένη είναι παράλληλη στον xx'

άρα $\displaystyle{f{'}(1)=0\Leftrightarrow 8s-2\bar{x}=0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{s}{\bar{x}}=\frac{2}{8}\Leftrightarrow CV=0,25>0,10}$ άρα το δείγμα είναι ανομοιογενές.

b) Ισχύει $\bar{x}=4s$ άρα f(x)=4sx^2-8sx+13

και

. Έχουμε $f{'}(x)=0\Leftrightarrow 8sx-8s=0\Leftrightarrow x=1$

και $f{'}(x)>0\Leftrightarrow 8sx-8s>0\Leftrightarrow x>1,~f{'}(x)<0\Leftrightarrow 8sx-8s<0\Leftrightarrow x<1$ . Δηλαδή η

παρουσιάζει ελάχιστο στο

.

c) i) Είναι $f(1)=1 \Leftrightarrow 4s-8s+13=1\Leftrightarrow s=3$ και $\bar{x}=4s=12$ .

ii) Έστω c>0

η αύξηση. Τότε η νέα μέση τιμή είναι $\bar{y}=\bar{x}+c=12+c$ και η νέα τυπική απόκλιση είναι s_y=s=3

.

To δείγμα είναι ομοιογενές άρα $\displaystyle{CV_y\leq 0,1\Leftrightarrow \frac{s_y}{\bar{y}}\leq 0,1\Leftrightarrow \frac{3}{12+c}\leq 0,1\Leftrightarrow 3\leq 1,2+0,1c\Leftrightarrow c\geq 18}$ .

Δηλαδή, τουλάχιστον

μονάδες.

iii) Η εφαπτομένη στο

είναι παράλληλη στον xx'

και διέρχεται από το A(1,1)

άρα είναι η $(\epsilon):y=1$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #12

ΑΣΚΗΣΗ 34η

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{{3\alpha }}{2}x^2 + 2\alpha ^2 x + 3a,x \in R,\alpha > 0}$

Αν οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στα σημεία $\displaystyle{x_1 ,x_2 }$ είναι παράλληλες στον $\displaystyle{x'x}$ ,τότε :

α. Να βρείτε τα $\displaystyle{x_1 ,x_2 }$

β. Να υπολογίσετε την μέση τιμή των αριθμών $\displaystyle{f(0),f''(x_1 )}$ και $\displaystyle{f''(x_2 )}$

γ. Έστω $\displaystyle{CV}$ ο συντελεστής μεταβολής των $\displaystyle{f(0),f''(x_1 )}$ και $\displaystyle{f''(x_2 )}$ και $\displaystyle{CV'}$ ο συντελέστής μεταβολής που προκύπτει όταν αυξήσουμε καθένα από αυτούς τους όρους κατά $\displaystyle{2}$ ,

να βρείτε την τιμή του $\displaystyle{\alpha > 0}$ ώστε $\displaystyle{3CV' = CV}$ καθώς και για την τιμή του $\displaystyle{\alpha }$ που βρήκατε να κρίνετε ποιό δείγμα είναι πιο ομοιογενές.

Δ. Γεωργακίλας (εκδόσεις Τομή)
______________________________________________________________________________
Λέξεις κλειδιά: Μαθηματικά γενικής, Επαναληπτικές ασκήσεις στη στατιστική,συλλογή θεμάτων
_________________________________________________________________________________

hlkampel · #13

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 34η

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{{3\alpha }}{2}x^2 + 2\alpha ^2 x + 3a,x \in R,\alpha > 0}$

Αν οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στα σημεία $\displaystyle{x_1 ,x_2 }$ είναι παράλληλες στον $\displaystyle{x'x}$ ,τότε :

α. Να βρείτε τα $\displaystyle{x_1 ,x_2 }$

β. Να υπολογίσετε την μέση τιμή των αριθμών $\displaystyle{f(0),f''(x_1 )}$ και $\displaystyle{f''(x_2 )}$

γ. Έστω $\displaystyle{CV}$ ο συντελεστής μεταβολής των $\displaystyle{f(0),f''(x_1 )}$ και $\displaystyle{f''(x_2 )}$ και $\displaystyle{CV'}$ ο συντελέστής μεταβολής που προκύπτει όταν αυξήσουμε καθένα από αυτούς τους όρους κατά $\displaystyle{2}$ ,

να βρείτε την τιμή του $\displaystyle{\alpha > 0}$ ώστε $\displaystyle{3CV' = CV}$ καθώς και για την τιμή του $\displaystyle{\alpha }$ που βρήκατε να κρίνετε ποιό δείγμα είναι πιο ομοιογενές.

Δ. Γεωργακίλας (εκδόσεις Τομή)

α) $f'\left( x \right) = {x^2} - 3\alpha x + 2{\alpha ^2}$

Για να είναι οι εφαπτόμενες παράλληλες στον x'x

πρέπει:

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 3\alpha x + 2{\alpha ^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2\alpha } \right)\left( {x - \alpha } \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\alpha \;\dot \eta \;x = \alpha$

Έτσι ${x_1} = 2\alpha$ και ${x_2} = \alpha$

β) $f\left( 0 \right) = 3\alpha$

Είναι $f''\left( x \right) = 2x - 3\alpha$ , οπότε:

$f''\left( {{x_1}} \right) = f''\left( {2\alpha } \right) = \alpha$ και $f''\left( {{x_2}} \right) = f''\left( \alpha \right) = - \alpha$

Η μέση τιμή τους είναι: $\bar x = \frac{{3\alpha + \alpha - \alpha }}{3} = \alpha$

γ) Αν

είναι η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων $f\left( 0 \right),f''\left( {{x_1}} \right)$ και $f''\left( {{x_2}} \right)$ ,

τότε η μέση τιμή των νέων παρατηρήσεων είναι $\bar x' = \bar x + 2 = \alpha + 2$ και η τυπική απόκλιση τους s' = s

.

$3CV' = CV \Leftrightarrow 3\frac{{s'}}{{\bar x'}} = \frac{s}{{\bar x}} \Leftrightarrow \frac{{3s}}{{\alpha + 2}} = \frac{s}{\alpha } \Leftrightarrow \alpha + 2 = 3\alpha \Leftrightarrow \alpha = 1$

Με $\alpha = 1$ είναι:

$CV = \frac{s}{{\bar x}} = s$ και $CV' = \frac{{s'}}{{\bar x'}} = \frac{s}{{1 + 2}} = \frac{s}{3}$

Έτσι CV' < CV

, οπότε το δεύτερο δείγμα είναι πιο ομοιογενές.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #14

ΑΣΚΗΣΗ 35η

Ο βαθμός πρόσβασης του απολυτηρίου $\displaystyle{50}$ μαθητών της Γ΄λυκείου αναγράψεται στον παρακάτω ελλιπή πίνακα.

Αν είναι γνωστό οτι στο κυκλικό διάγραμμα το τόξο που αντιστοιχεί στην τρίτη κλαση είναι $\displaystyle{144^o }$ και $\displaystyle{\nu _2 = 4\nu _5 }$ , τότε:

$\begin{tabular}{|c||c|c|c|} \hline\greektext \;\;klaseis\; &\greektext \;\;n_{i} & f_{i}\% & F_{i}\% \\ \hline [10, ) & 5 & & \\ \hline [ , ) & & & \\ \hline [ , ) & & & \\ \hline [ , )& &20& \\ \hline [ ,20)& && \\ \hline \greektext Sunolo &\greektext\;\;n=50 & &-\ \\\hline \end{tabular}$

α. Να βρείτε το πλάτος κάθε κλάσης

β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα

γ. Να βρείτε τη διάμεσο

δ. Αν απο τους παραπάνω μαθητές οι ανώτατες σχολές πάρουν μόνο το $\displaystyle{36\% }$ , να βρείτε τι βαθμό πρέπει να έχει ένας μαθητής για να επιλεγεί.

______________________________________________________________________________
Λέξεις κλειδιά: Μαθηματικά γενικής, Επαναληπτικές ασκήσεις στη στατιστική,συλλογή θεμάτων
_________________________________________________________________________________

Γιώργος Απόκης · #15

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 35η

α. Έχουμε

και $\displaystyle{c=\frac{R}{k}=\frac{10}{5}=2}$

β. Eίναι $a_3=144^{o}\Leftrightarrow 360^{o}\cdot f_3=144^{o}\Leftrightarrow f_3=0,4$ άρα $\nu_3=50\cdot f_3=20$ .

Eπίσης, $f_4\%=20\Rightarrow f_4=0,2\Rightarrow \nu_4=10$ . Tέλος, $\nu_1+\nu_2+\nu_3+\nu_4+\nu_5=\nu\Leftrightarrow5+4\nu_5+2+10+\nu_5=50\Leftrightarrow \nu_5=3$

και άρα $\nu_2=4\nu_5=12$ . Για τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες ισχύει $F_1\%=f_1\%,~F_i\%=F_{i-1}\%+f_i\%,~i=2,...,5$

$\begin{tabular}{|c||c|c|c|} \hline\greektext \;\;klaseis\; &\greektext \;\;n_{i} & f_{i}\% & F_{i}\% \\ \hline [10,12) & 5 &10 & 10 \\ \hline [12,14) & 12 &24 & 34\\ \hline [14,16) & 20 & 40& 74\\ \hline [16,18)& 10 &20& 94\\ \hline [18,20)& 3 &6& 100 \\ \hline \greektext Sunolo &\greektext\;\;n=50 &100 &-\ \\\hline \end{tabular}$ .

γ. Θα αποφύγω τη γραφική λύση (ιστόγραμμα $F_i\%$ και όμοια τρίγωνα) και θα δώσω μια διαφορετική.

Ψάχνουμε το βαθμό κάτω από τον οποίο έχει γράψει το $50\%$ των μαθητών. Αφού $50=f_1\%+f_2\%+16$ , χρειαζόμαστε ένα διάστημα

από την κλάση [14,16)

ίσο με τα $\displaystyle{\frac{16}{f_3\%}=\frac{16}{40}=\frac{2}{5}}$ αυτής. Άρα, $\displaystyle{\delta=14+\frac{2}{5}(16-14)=14,8}$ .

δ. Παρόμοια με το γ. έχουμε $36=f_5\%+f_4\%+10$ , άρα χρειαζόμαστε ένα διάστημα από την κλάση [14,16)

ίσο με τα $\displaystyle{\frac{10}{f_3\%}=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}}$ αυτής.

Δηλαδή, ο βαθμός είναι τουλάχιστον $\displaystyle{\beta=16-\frac{1}{4}(16-14)=15,5}$ .

hlkampel · #16

ΑΣΚΗΣΗ 36

Δίνεται η συνάρτηση $f\left( x \right) = \frac{{\bar x}}{3} \cdot {x^3} - 12 \cdot s \cdot {x^2} + \bar x \cdot x + s$ , $x \in R$ και $\bar x$ ,

η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση αντίστοιχα ενός δείγματος

θετικών παρατηρήσεων με $v \in {N^*}$ .

α) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν παρουσιάζει ακρότατα, να εξετάσετε το δείγμα ως προς την ομοιογένεια.

β) Αν η εφαπτομένη στο σημείο $A\left( {1,5} \right)$ της γραφικής παράστασης της

είναι παράλληλη στον άξονα x'x

,

τότε να υπολογίσετε τη μέση τιμή $\bar x$ και την τυπική απόκλιση

του δείγματος.

γ) Αν $\bar x = 12$ και s = 1

τότε:

i. Να βρεθεί μέση τιμή των παρατηρήσεων $\displaystyle{x_1^2,\;x_2^2,\;x_3^2,...,x_{2v}^2}$ , όπου ${x_1},{x_2},\;{x_3},...,\;{x_{2v}}$ οι παρατηρήσεις του αρχικού δείγματος.

ii. Αν στις μισές παρατηρήσεις προσθέσουμε το

, να βρεθεί η μέση τιμή του νέου δείγματος.

pito · #17

[quote="hlkampel"]ΑΣΚΗΣΗ 36

α) Είναι $f'(x)=\bar{x}x^{2}-24sx+\bar{x}$ . Αφού η

δεν παρουσιάζει ακρότατα πρέπει $\Delta \leq 0\Rightarrow576s^{2}-4\bar{x}^{2}\leq 0\Rightarrow \frac{s}{\bar{x}}\leq \frac{1}{12}\prec \frac{1}{10}\Rightarrow CV\prec \frac{1}{10}$ ,έτσι το δείγμα είναι ομοιογενές.

β) Πρέπει αρχικά να ισχύει f(1)=5

άρα $\frac{\bar{x}}{3}-12s+\bar{x}+s=5\Rightarrow 4\bar{x}-33s=15 (1)$ .
Ακόμη πρέπει $f'(1)=0\Rightarrow \bar{x}-12s=0 (2)$

Λύνοντας το σύστημα των (1), (2) προκύπτει $\bar{x}=12, s=1$

γ) i)Είναι $s^{2}=\frac{1}{2\nu }[\sum_{i=1}^{2\nu }{x_{i}^{2}-\frac{(\sum_{i=1}^{2\nu }{x_{i}})^{2}}{2\nu }}]=\frac{\sum_{i=1}^{2\nu }{x_{i}^{2}}}{2\nu }-(\bar{x})^{2}\Rightarrow 1+12^{2}=\bar{x^{2}}\Rightarrow \bar{x^{2}}=145$

ii) Για τις $\nu$ παρατηρήσεις είναι $x_{i}{'}=x_{i}+4$ άρα είναι $(\bar{x})'=\frac{\sum_{i=1}^{\nu }{x_{i}'+\sum_{i=\nu +1}^{2\nu }{x_{i}}}}{2\nu }=\frac{\sum_{i=1}^{\nu }({x_{i}+4})+\sum_{i=\nu +1}^{2\nu }{x_{i}}}{2\nu }=\frac{\sum_{i=1}^{2\nu }{x_{i}+4\nu }}{2\nu }=\bar{x}+2=12+2=14$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #18

ΑΣΚΗΣΗ 37η

Οι δείκτες νοημοσύνης των μαθητών ενός λυκείου ακολουθούν την κανονική κατανομή. Ο ελάχιστος δείκτης του 16% των «εξυπνότερων μαθητών» είναι 108 και ο μέγιστος δείκτης του 16% των «λιγότερο έξυπνων μαθητών» είναι 84.

i. Να βρείτε την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση του δείγματος.

ii. Να βρείτε το εύρος και την διάμεσο του δείγματος.

iii. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που έχει δείκτη νοημοσύνης τουλάχιστον 132.

iv. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές και αν όχι να βρεθεί η ελάχιστη θετική ακέραια τιμή του c κατά την οποία πρέπει να αυξηθεί ο δείκτης νοημοσύνης κάθε μαθητή , ώστε το δείγμα να γίνει ομοιογενές

v. Αν 163 μαθητές έχουν δείκτη μεταξύ 72 και 108, να βρεθεί πόσους μαθητές έχει το σχολείο.

hlkampel · #19

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 37η

Οι δείκτες νοημοσύνης των μαθητών ενός λυκείου ακολουθούν την κανονική κατανομή. Ο ελάχιστος δείκτης του 16% των «εξυπνότερων μαθητών» είναι 108 και ο μέγιστος δείκτης του 16% των «λιγότερο έξυπνων μαθητών» είναι 84.

i. Να βρείτε την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση του δείγματος.

ii. Να βρείτε το εύρος και την διάμεσο του δείγματος.

iii. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που έχει δείκτη νοημοσύνης τουλάχιστον 132.

iv. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές και αν όχι να βρεθεί η ελάχιστη θετική ακέραια τιμή του c κατά την οποία πρέπει να αυξηθεί ο δείκτης νοημοσύνης κάθε μαθητή , ώστε το δείγμα να γίνει ομοιογενές

v. Αν 163 μαθητές έχουν δείκτη μεταξύ 72 και 108, να βρεθεί πόσους μαθητές έχει το σχολείο.

i. Επειδή ο μέγιστος δείκτης του $16\%$ των «λιγότερο έξυπνων μαθητών» είναι

τότε $\bar x -s = 84$ (1) και

επειδή ο ελάχιστος δείκτης του $16\%$ των «εξυπνότερων μαθητών» είναι 108

τότε $\bar x + s = 108$ (2)

Λύνοντας το σύστημα των (1) και (2) προκύπτει ότι: $\bar x = 96$ και s = 12

.

ii. Επειδή η κατανομή είναι κανονική το εύρος είναι $R \cong 6s = 72$ και η διάμεσος $\delta$ είναι $\delta = \bar x = 96$ .

iii. Tο ποσοστό των μαθητών που έχει δείκτη νοημοσύνης τουλάχιστον 132

είναι, όπως φαίνεται από την «καμπύλη» συχνοτήτων είναι $0,15\%$

iv. $CV = \frac{s}{{\left| {\bar x} \right|}} = \frac{{12}}{{96}} = \frac{1}{8} > \frac{1}{{10}}$ , οπότε το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.

Αν ο δείκτης νοημοσύνης αυξηθεί κατά

τότε η νέα μέση τιμή είναι ${\bar x_1} = \bar x + c = 96 + c$ και η νέα τυπική απόκλιση ${s_1} = s = 12$ .

Ο νέος συντελεστής μεταβολής είναι:

$C{V_1} = \frac{{{s_1}}}{{\left| {{{\bar x}_1}} \right|}} = \frac{{12}}{{96 + c}}$ .

Για να είναι ομοιογενές πρέπει:
$\displaystyle{C{V_1} \le \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow \frac{{12}}{{96 + c}} \le \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow 96 + c \ge 120 \Leftrightarrow c \ge 24}$

Άρα η ελάχιστη θετική ακέραια τιμή ώστε το δείγμα να γίνει ομοιογενές είναι c = 24

. Το ποσοστό των μαθητών με δείκτη μεταξύ

και

είναι $81,5\%$ .

Έτσι $163 = \frac{{81,5}}{{100}} \cdot v \Leftrightarrow v = 200$ μαθητές

Edit: Έγινε διόρθωση σε αριθμητικό λάθος στο iv. Ευχαριστώ τον Χρήστο Λώλη για την επισήμανση.

#20

ΑΣΚΗΣΗ 38
10 μαθητές ενός τμήματος της Γ' λυκείου σε ένα διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής, πήραν τις
παρακάτω βαθμολογίες 12 , 18 , 16 , 14 , 15 , 18 , 13 , 14 ,17 , 13.
Α1) Να βρείτε τη μέση βαθμολογία και τη μεταβλητότητα των βαθμών.
Α2) Εξετάστε αν τα γραπτά παρουσιάζουν ομοιογένεια στη βαθμολογία.
Β. Ο καθηγητής αποφάσισε να "βοηθήσει" τους μαθητές γι' αυτό σκέφτηκε τα εξής:
i) να αυξήσει όλες τις βαθμολογίες κατά 2 μονάδες στο κάθε ένα γραπτό ή
ii) να αυξήσει τη βαθμολογία του κάθε γραπτού κατά 10%

Πως θα επηρεάσουν τα πιο πάνω σκεπτικά i) ή ii) τη μέση βαθμολογία;
...Δίνεται $\sqrt{4,2}\approx 2,05$

Χρήστος

Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Μαθηματικά Γενικής, συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής,συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής, συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής, συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής, συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής, συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής, συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής, συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής, συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής, συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής, συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής, συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής, συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Re: Μαθηματικά γενικής, συλλογή θεμάτων στο 2ο κεφάλαιο.

Μέλη σε σύνδεση