ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

STOPJOHN · #81

Συνάδελφε pito καλημέρα και ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ η άσκηση 24 είναι η άσκηση 9 που έχει ήδη δοθεί και η λύση της . Είναι λογικό να μην προλαβαίνουμε να δούμε όλα τα θέματα που δημοσιεύονται στο mathematica
Φιλικά
Γιάννης Σ

parmenides51 · #82

'Εχει δίκιο ο Γιάννης, τουλάχιστον με την εκ παραδρομής επανάληψη κερδίσαμε σε ποικιλία λύσεων και στο σχήμα.
Μην σβήσετε την εκφώνηση και λύση της 24 απλώς κάντε edit, οτι επαναλήφθηκε.
Προτείνω να μετονομαστεί σε ασκήση 9 (πάλι) κι συνεχιστεί κανονικά η αρίθμηση.

edit: Καλύτερα να μην σβήνουμε οποιαδήποτε λύση για λόγους που εύστοχα ανεφέρονται εδώ.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #83

ΑΣΚΗΣΗ 25

Έστω η εξίσωση $\displaystyle{z^2 + \alpha z + \beta = 0,\alpha ,\beta \in R}$ που έχει ρίζες τις $\displaystyle{z_1 = - \frac{2}{i}}$ και $\displaystyle{z_2 }$

Α.1. Να βρείτε τους $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ και την ρίζα $\displaystyle{z_2 }$

Α.2. Να βρείτε το $\displaystyle{v \in R}$ , ώστε $\displaystyle{z_1 ^v - z_2 ^v = - 16i}$

Α.3. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού $\displaystyle{z}$ στο μιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει η σχέση $\displaystyle{\left| {z - z_1 } \right|^2 + \left| {z - z_2 } \right|^2 = 16}$ $\displaystyle{(1)}$

Α.4. Αν για τον μιγαδικό $\displaystyle{z}$ ισχύει η $\displaystyle{(1)}$ , να βρείτε την ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{\left| {z - 4 - 4i} \right|}$

'Εχει μείνει άλυτη και η νέα άσκηση 24

Γιώργος Απόκης · #84

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 25

Έστω η εξίσωση $\displaystyle{z^2 + \alpha z + \beta = 0,\alpha ,\beta \in R}$ που έχει ρίζες τις $\displaystyle{z_1 = - \frac{2}{i}}$ και $\displaystyle{z_2 }$

Α.1. Να βρείτε τους $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ και την ρίζα $\displaystyle{z_2 }$

Α.2. Να βρείτε το $\displaystyle{v \in R}$ , ώστε $\displaystyle{z_1 ^v - z_2 ^v = - 16i}$

Α.3. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού $\displaystyle{z}$ στο μιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει η σχέση $\displaystyle{\left| {z - z_1 } \right|^2 + \left| {z - z_2 } \right|^2 = 16}$ $\displaystyle{(1)}$

Α.4. Αν για τον μιγαδικό $\displaystyle{z}$ ισχύει η $\displaystyle{(1)}$ , να βρείτε την ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{\left| {z - 4 - 4i} \right|}$

Kαλησπέρα.

Α.1. Αφού η εξίσωση έχει λύση $\displaystyle{z_1=-\frac{2}{i}=2i}$ τότε θα έχει $z_2=\bar{z_1}=-2i$ . Aπό τους τύπους Vietta: $z_1+z_2=-\alpha\Leftrightarrow \alpha=0$ και $z_1z_2=\beta\Leftrightarrow \beta=4$ .

Α.2. Έστω d=z_1^v-z_2^v=(2i)^v-(-2i)^v=i^v[2^v-(-2)^v]

. Aν το

: άρτιος, τότε d=0

(άτοπο). Άρα,

: περιττός και τότε

$d=-16i\Leftrightarrow i^v\cdot 2\cdot 2^v=-16i \Leftrightarrow i^v \cdot 2^{v+1}=-16i$ . Παίρνοντας μέτρα, έχουμε: $2^{v+1}=16\Leftrightarrow 2^{v+1}=2^4\Leftrightarrow v=3$ που επαληθεύει.

Α.3. Έστω $z=x+yi,~x,y \in \mathbb R$ . Τότε, η σχέση γίνεται: $\displaystyle{|x+(y-2)i|^2+|x+(y+2)i|^2=16\Leftrightarrow x^2+y^2-4y+4+x^2+y^2+4y+4=16\Leftrightarrow x^2+y^2=4}$

δηλαδή κύκλος με κέντρο O(0,0)

και ακτίνα R=2

.

Α.4. Αφού |z|=2

, έχουμε $|z-4-4i|=|z-(4+4i)|\geq \left||z|-|4+4i|\right|=|2-\sqrt{32}|=4\sqrt{2}-2$ δηλαδή η ελάχιστη τιμή

είναι $|z|_{min}=4\sqrt{2}-2$ για $z=\sqrt{2}+\sqrt{2}i$ .

#85

ΑΣΚΗΣΗ 26

Δίνονται οι μιγαδικοί $z,w\ne 0$ αν $zw+\bar{z}\bar{w}=0$
Ζ1. Να δείξετε ο μιγαδικός ${{\left( \frac{{\bar{z}}}{w} \right)}^{2010}}$ είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός .
Ζ2. Να δείξετε ότι η διανυσματικές ακτίνες των μιγαδικών $\bar{z},w$ τέμνονται κάθετα .
Ζ3. Να δείξετε ότι $\left| \bar{z}-w \right|=\left| z+\bar{w} \right|$ .
Ζ4. Αν επιπλέον $\frac{{\bar{z}}}{w}+\frac{{\bar{w}}}{z}=2i$

Α. Να βρείτε την απόσταση της εικόνας του μιγαδικού $\frac{{\bar{z}}}{w}$ από το σημείο $\displaystyle{\Alpha \left( \text{1},0 \right).}$

Β. Να βρείτε τον μιγαδικό ${{\left( \frac{{\bar{z}}}{w} \right)}^{2012}}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#86

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 15η

'Εστω $a,\beta \in C^{*}$ και $z_{1},z_{2}$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης $z^{2}+az+\beta ^{2}=0$ .

Να δείξετε ότι:

α) Αν $|a|=|\beta |=1$ τότε $|z_{1}|\leq 2$ και $|z_{2}|\leq 2$ .

β) Αν $|z_{1}|=|z_{2}|$ , τότε ο αριθμός $\frac{a}{\beta }$ είναι πραγματικός.

γ) Αν $\frac{a}{2\beta }\in R$ , και ο $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ δεν είναι πραγματικός , να δείξετε ότι $|z_{1}|=|z_{2}|$

Ας δούμε το γ) αλλιώς, να το ημερέψουμε:

Αν $\frac{a}{2\beta }\in R$ , τότε $\frac{a}{\beta }\in R$ , και η εξίσωση $z^{2}+az+\beta ^{2}=0$ μετασχηματίζεται στη

$\left(\frac{z}{b} \right)^2+\frac{a}{b}\frac{z}{b}+1=0$

Αυτή, ως προς z/b, αποκλείεται να έχει πραγματικές ρίζες, γιατί τότε $\frac{z_{1}/b}{z_{2}/b}=\frac{z_{1}}{z_{2}}$ πραγματικός, άτοπο. Άρα έχει μη πραγματικές (mathxl!) μιγαδικές ρίζες και, επειδή έχει πραγματικoύς συντελεστές, είναι συζυγείς και έχουν ίσα μέτρα κ.λπ.

dennys · #87

ΑΣΚΗΣΗ 26

Δίνονται οι μιγαδικοί $z,w\ne 0$ αν $zw+\bar{z}\bar{w}=0$
Ζ1. Να δείξετε ο μιγαδικός ${{\left( \frac{{\bar{z}}}{w} \right)}^{2010}}$ είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός .
Ζ2. Να δείξετε ότι η διανυσματικές ακτίνες των μιγαδικών $\bar{z},w$ τέμνονται κάθετα .
Ζ3. Να δείξετε ότι $\left| \bar{z}-w \right|=\left| z+\bar{w} \right|$ .
Ζ4. Αν επιπλέον $\frac{{\bar{z}}}{w}+\frac{{\bar{w}}}{z}=2i$

Α. Να βρείτε την απόσταση της εικόνας του μιγαδικού $\frac{{\bar{z}}}{w}$ από το σημείο $\displaystyle{\Alpha \left( \text{1},0 \right).}$

Β. Να βρείτε τον μιγαδικό ${{\left( \frac{{\bar{z}}}{w} \right)}^{2012}}$ .
ΛΥΣΗ

1)Για το πρώτο εχουμε $zw+\overline{zw}=0 \Leftrightarrow \overline{zw}=-zw \Leftrightarrow zw \in I$
Αρα υπάρχει $k \neq 0 : zw=ki$ .Eπίσης απο την δοσμένη σχέση :

$zw=-(\overline{z})(\overline{w})$
$\cfrac{\overline{z}}{w}=-\overline{\cfrac{\overline{z}}{w}}$ δηλ. αρα $\frac{\overline{z}}{w}=ki$
$(\frac{\overline{z}}{w})^{2010}=(ki)^{2010}=-(k)^{2010}<0$

2)Αν θέσουμε z=a+bi, w=c+di

$\overline{z}=a-bi$ αρα το γινόμενο $(zw)=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i \in I$ Αρα Re(zw)=0

δηλ

που ε'ιναι
το εσωτερικό γινόμενο των διανυσματικων .ακτίνων $\overline{z},w$ αρα ειναι καθετες οι δ.α. αυτών.
3)Είναι $|\overline{z}-w|=|-{\cfrac{zw}{\overline{w}}-w|$ = $|\cfrac{-zw-w(\overline{w}}{\overline{w}})|=|z+\overline{w}|$

4)αν θέσουμε $\frac{\overline{z}}{w}=u$ η ισότητα γίνεται $u-\frac{1}{u}=2i$ και με
απαλοιφή $u^2-2ui+i^2=0 \Leftrightarrow (u-i)^2=0, |u-i|=0,u=i$ αρα η εικόνα του είναι το σημείο A(0,1)

, και η απόσταση απο το
B(1,0)

είναι $\sqrt{2}$
5) $u^{2012}=(i)^{2012}=i^4=1$

Γιώργος Απόκης · #88

ΑΣΚΗΣΗ 1 (Ίδια με την 1η άσκηση)

Έστω οι μιγαδικοί

για τους οποίους ισχύει η σχέση $\displaystyle{Re\left(z+\frac{4}{z}\right)=2Re(z)~(1)}$

α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των

.

β) Aν $Re(z)\ne 0$ , τότε:

i) να δείξετε ότι ο μιγαδικός $\displaystyle{w=z+\frac{4}{z}}$ είναι πραγματικός και ότι ισχύει $-4\leq w \leq 4$

ii) να βρείτε το γεωμετρικό τόπo των εικόνων του μιγαδικού u=z+3+4i

iii) να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο του |u|

.

γ) Aν οι μιγαδικοί z_1,z_2,z_3

ικανοποιούν την (1) και δεν είναι φανταστικοί, να δείξετε ότι : $\displaystyle{|z_1+z_2+z_3|=\frac{1}{2}|z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1|}$

Edit: Άλλαξα την αρίθμηση, μιας και η άσκηση είχε προταθεί πάλι

perpant · #89

Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1

Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει η σχέση $\displaystyle{Re\left(z+\frac{4}{z}\right)=2Re(z)~(1)}$

α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των .

β) Aν $Re(z)\ne 0$ , τότε:

i) να δείξετε ότι ο μιγαδικός $\displaystyle{w=z+\frac{4}{z}}$ είναι πραγματικός και ότι ισχύει $-4\leq w \leq 4$

ii) να βρείτε το γεωμετρικό τόπo των εικόνων του μιγαδικού

iii) να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο του .

γ) Aν οι μιγαδικοί ικανοποιούν την (1) και δεν είναι φανταστικοί, να δείξετε ότι : $\displaystyle{|z_1+z_2+z_3|=\frac{1}{2}|z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1|}$

α) Έχουμε για $\displaystyle{z = x + iy,x,y \in \Re }$ $\displaystyle{z + \frac{4}{z} = x + iy + \frac{4}{{x + iy}} = x + iy + \frac{{4\left( {x - iy} \right)}}{{x^2 + y^2 }} = \left( {x + \frac{{4x}}{{x^2 + y^2 }}} \right) + \left( {y - \frac{{4y}}{{x^2 + y^2 }}} \right)i}$
Οπότε $\displaystyle{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {z + \frac{4}{z}} \right) = 2{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) \Leftrightarrow x + \frac{{4x}}{{x^2 + y^2 }} = 2x \Leftrightarrow x - \frac{{4x}}{{x^2 + y^2 }} = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 - \frac{4}{{x^2 + y^2 }}} \right) = 0}$ Δηλαδή $\displaystyle{x = 0}$ ή $\displaystyle{1 - \frac{4}{{x^2 + y^2 }} = 0 \Leftrightarrow x^2 + y^2 = 4 }$ . Δηλαδή ο Γ.Τ. των εικόνων των μιγαδικών $\displaystyle{z}$ είναι είτε ο άξονας $\displaystyle{y'y}$ χωρίς το $\displaystyle{O\left( {0,0} \right)}$ αφού $\displaystyle{z \ne 0}$ , είτε ι κύκλος με κέντρο $\displaystyle{O\left( {0,0} \right) }$ και ακτίνα $\displaystyle{\rho = 2}$

β) i) Για $\displaystyle{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) \ne 0}$ η εικόνα του $\displaystyle{z}$ κινείται στον παραπάνω κύκλο και συνεπώς ισχύει $\displaystyle{x^2 + y^2 = 4}$ . Τότε $\displaystyle{w = z + \frac{4}{z} = x + iy + \frac{{4\left( {x - iy} \right)}}{{x^2 + y^2 }} = x + iy + \frac{{4\left( {x - iy} \right)}}{4} = 2x \in \Re }$ .Επιπλέον πάνω στον κύκλο έχουμε $\displaystyle{ - 2 \le x \le 2 \Leftrightarrow - 4 \le 2x \le 4 \Leftrightarrow - 4 \le w \le 4}$

ii) $\displaystyle{u = z + 3 + 4i = x + iy + 3 + 4i = \left( {x + 3} \right) + \left( {y + 4} \right)i}$ . Αν $\displaystyle{u = a + ib,a,b \in \Re }$ τότε $\displaystyle{a = x + 3}$ και $\displaystyle{b = y + 4}$ . Επειδή $\displaystyle{x^2 + y^2 = 4 }$ έχουμε $\displaystyle{\left( {a - 3} \right)^2 + \left( {b - 4} \right)^2 = 4}$ . Δηλαδή ο Γ.Τ. της εικόνας του $\displaystyle{u}$ είναι ο κύκλος με $\displaystyle{K\left( {3,4} \right)}$ και $\displaystyle{r = 2}$

iii) $\displaystyle{\min \left| z \right| = \left( {OK} \right) - r = 5 - 2 = 3}$ και $\displaystyle{\max \left| z \right| = \left( {OK} \right) + r = 5 + 2 = 7}$

γ) $\displaystyle{\left| {z_1 } \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {z_1 } \right|^2 = 4 \Leftrightarrow z_1 \overline {z_1 } = 4 \Leftrightarrow z_1 = \frac{4}{{\overline {z_1 } }} }$ Ομοίως $\displaystyle{z_2 = \frac{4}{{\overline {z_2 } }}}$ και $\displaystyle{z_3 = \frac{4}{{\overline {z_3 } }}}$ .
Οπότε $\displaystyle{ \left| {z_1 + z_2 + z_3 } \right| = \left| {\frac{4}{{\overline {z_1 } }} + \frac{4}{{\overline {z_2 } }} + \frac{4}{{\overline {z_3 } }}} \right| = 4\left| {\frac{{\overline {z_2 } \overline {z_3 } + \overline {z_1 } \overline {z_3 } + \overline {z_1 } \overline {z_2 } }}{{\overline {z_1 } \overline {z_2 } \overline {z_3 } }}} \right| = 4\frac{{\left| {z_2 z_3 + z_1 z_3 + z_1 z_2 } \right|}}{{\left| {z_1 } \right|\left| {z_2 } \right|\left| {z_3 } \right|}} = \frac{1}{2}\left| {z_2 z_3 + z_1 z_3 + z_1 z_2 } \right| }$

#90

ΑΣΚΗΣΗ 27

Δίνονται οι μιγαδικοί

με την ιδιότητα : $\displaystyle{1+2|z|^2=|z^2+1|^2+2|z+1|^2 }$

α) Να αποδείξετε ότι ο

δεν είναι πραγματικός.

β) Να αποδείξετε ότι $(z+\bar z +1)^2+(z \bar z -1)^2=0$

γ) Να αποδείξετε ότι z^2+z+1 = 0

δ) Να βρείτε όλους τους μιγαδικούς

με τη δοσμένη ιδιότητα καθώς και το μέτρο τους .

ε) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{ A= z^{2012}+ z^{2014 }+2013 }$

Μπάμπης

apotin · #91

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 24η

Έστω οι μιγαδικοί $z_{1}, z_{2}, Im(z_{1})>0$ ώστε $z_{1}|z_{2}|+z_{2}|z_{1}|=40 (1)$ και $z_{1}z_{2}=25 (2)$ .

α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών $z_{1}$ και $z_{2}$ .

β) Να βρείτε το μιγαδικό $w=z_{1}-i$ , ο οποίος έχει ελάχιστο μέτρο.

γ) Έστω $\nu \in N^{*}$ και ο μιγαδικός $z=z_{1}^{\nu }-z_{2}^{\nu }$ . Να δείξετε ότι υπάρχουν μιγαδικοί $z_{1}, z_{2}$ ώστε ο z να είναι φανταστικός.

( Τροποποίησα το ερώτημα (γ) ύστερα από επισήμανση του Απόστολου , τον οποίο και ευχαριστώ)

____________________________________________________________________________

α) Από την (2) έχουμε:

$\displaystyle{{z_2} = \frac{{25}}{{{z_1}}} = \frac{{25}}{{{{\left| {{z_1}} \right|}^2}}} \cdot \overline {{z_1}} }$

και επειδή $\displaystyle{{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{z_1}} \right) > 0}$ προκύπτει $\displaystyle{{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{z_2}} \right) < 0}$

Θέτουμε $\displaystyle{{w_1} = {z_1}\left| {{z_2}} \right|}$ και $\displaystyle{{w_2} = {z_2}\left| {{z_1}} \right|}$

Τότε λόγω των (1), (2) έχουμε το σύστημα:

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {w_1} + {w_2} = 40\\ {w_1}{w_2} = 625 \end{array} \right.}$

άρα οι $\displaystyle{{w_1},{w_2}}$ είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{{t^2} - 40t + 625 = 0}$

αυτή έχει Δ=-900 και ρίζες $\displaystyle{{t_{1,2}} = 20 \pm 15i}$

Άρα λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο των $\displaystyle{{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{z_1}} \right),{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{z_2}} \right)}$ παίρνουμε

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {w_1} = 20 + 15i\\ {w_2} = 20 - 15i \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {z_1}\left| {{z_2}} \right| = 20 + 15i\\ {z_2}\left| {{z_1}} \right| = 20 - 15i \end{array} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right| = 25} \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{z_1}}}{{\left| {{z_1}} \right|}} = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}i\\ \frac{{{z_2}}}{{\left| {{z_2}} \right|}} = \frac{4}{5} - \frac{3}{5}i \end{array} \right.}$

Αν $\displaystyle{{z_1} = {x_1} + {y_1}i}$ και $\displaystyle{{z_2} = {x_2} + {y_2}i}$ με $\displaystyle{{y_1} > 0}$ και $\displaystyle{{y_2} < 0}$

έχουμε τις σχέσεις:

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x_1}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2} }} = \frac{4}{5}\\ \frac{{{y_1}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2} }} = \frac{3}{5} \end{array} \right\}}$ και $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x_2}}}{{\sqrt {x_2^2 + y_2^2} }} = \frac{4}{5}\\ \frac{{{y_2}}}{{\sqrt {x_2^2 + y_2^2} }} = - \frac{3}{5} \end{array} \right\}}$

οπότε $\displaystyle{\frac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = \frac{3}{4}}$ και $\displaystyle{\frac{{{y_2}}}{{{x_2}}} = - \frac{3}{4}}$

Άρα η εικόνα του $\displaystyle{{z_1}}$ κινείται στην ημιευθεία $\displaystyle{y = \frac{3}{4}x}$ με x>0 και

η εικόνα του $\displaystyle{{z_2}}$ κινείται στην ημιευθεία $\displaystyle{y = - \frac{3}{4}x}$ με x>0

: 24b.png (12.41 KiB) Προβλήθηκε 864 φορές

β) Έχουμε $\displaystyle{\left| w \right| = \left| {{z_1} - i} \right| = \left| {{z_1} - \left( {0 + i} \right)} \right| = \left( {MA} \right)}$ όπου Α η εικόνα του $\displaystyle{{z_1}}$ και Μ(0, 1).

Ο w έχει ελάχιστο μέτρο όταν η εικόνα του $\displaystyle{{z_1}}$ βρεθεί στο σημείο Κ που είναι το σημείο τομής της καθέτου από το Μ προς την $\displaystyle{y = \frac{3}{4}x}$ .

Η ΜΚ έχει εξίσωση $\displaystyle{y = - \frac{4}{3}x + 1}$ και μετά την επίλυση του συστήματος

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} y = - \frac{4}{3}x + 1\\ y = \frac{3}{4}x \end{array} \right.}$

βρίσκουμε ότι το Κ έχει συντεταγμένες $\displaystyle{\left( {\frac{{12}}{{25}},\frac{9}{{25}}} \right)}$ .

Άρα όταν $\displaystyle{{z_1} = \frac{{12}}{{25}} + \frac{9}{{25}}i}$ τότε ο $\displaystyle{w = {z_1} - i = \frac{{12}}{{25}} + \frac{9}{{25}}i - i = \frac{{12}}{{25}} - \frac{{16}}{{25}}i}$ έχει το ελάχιστο μέτρο.

γ) Ο $\displaystyle{{z_1}}$ έχει γενικά τη μορφή $\displaystyle{{z_1} = a + \frac{3}{4}ai = \frac{a}{4}\left( {4 + 3i} \right)}$ και λόγω της (2) ο $\displaystyle{{z_2}}$ τη μορφή $\displaystyle{{z_2} = \frac{4}{a}\left( {4 - 3i} \right)}$ όπου a>0.

Αν ο $\displaystyle{z = z_1^\nu - z_2^\nu }$ με $\displaystyle{\nu \in {N^*}}$ είναι φανταστικός τότε και ο $\displaystyle{{z_1} - {z_2}}$ για ν=1 θα είναι φανταστικός.

Αλλά $\displaystyle{{z_1} - {z_2} = \frac{{{a^2} - 16}}{a} + \frac{{3a - 48}}{{4a}}i}$ που είναι φανταστικός μόνο για a=4.

Άρα οι ζητούμενοι μιγαδικοί είναι οι $\displaystyle{{z_1} = 4 + 3i}$ και $\displaystyle{{z_2} = 4 - 3i}$

και προφανώς ο $\displaystyle{z = {\left( {4 + 3i} \right)^\nu } + {\left( {4 - 3i} \right)^\nu }}$ είναι φανταστικός ως άθροισμα συζυγών.

dennys · #92

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 27

Δίνονται οι μιγαδικοί με την ιδιότητα : $\displaystyle{1+2|z|^2=|z^2+1|^2+2|z+1|^2 }$

α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγματικός.

β) Να αποδείξετε ότι $(z+\bar z +1)^2+(z \bar z -1)^2=0$

γ) Να αποδείξετε ότι

δ) Να βρείτε όλους τους μιγαδικούς με τη δοσμένη ιδιότητα καθώς και το μέτρο τους .

ε) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{ A= z^{2012}+ z^{2014 }+2013 }$

Μπάμπης

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Αγαπητέ Μπάμπη καλή χρονιά με υγεία !

1) Στο πρώτο υποθέτοντας οτι $z\in R , z=x$ και θέτοντας συνάρτηση f(x)=x^4+2(x^2)+4x+2

, κατέληξα οτι η συνάρτηση αυτή εχει min>o

Άρα είναι αδύνατη.

Οι πράξεις και το οτι οπως ξέρεις ταλαιπωρούμαι με το latex με υποχρεώνει να αφήσω αυτό το κομμάτι για αλλο φίλο.
Άλλος τρόπος

Αν ο

είναι πραγματικός, τότε τα μέτρα , αφού είναι υψωμένα στο τετράγωνο , γίνονται παρενθέσεις και καταλήγουμε εύκολα στη σχέση :

z^4 + 2(z+1)^2 = 0

,που είναι αδύνατη στο $\mathbb R$ .

2) Με πράξεις απλές :

$1+2z(\overline{z})=(z^2+1)(\overline{z}^2+1)+2(z+1)(\overline{z}+1)$
$1+2z(\overline{z})=(z \overline{z})^2+z^2+(\overline{z})^2+1+2z (\overline{z})+2z+2(\overline{z})+2$
$(z+\overline{z}+1)^2+(z \overline{z}-1)^2=0$ .

3)Επειδή οι παραστάσεις ειναι πραγματικοί αριθμοί με αθροισμα τετραγώνων ίσο με το

, θα είναι:

$z+\overline{z}+1=0$ και |z|^2-1=0

.

Άρα :

$Re(z)=-\frac{1}{2}$ και |z|=1

τότε , αν θέσουμε z=x+yi

, επειδή $x=-\frac{1}{2}$ και x^2+y^2=1

, βρίσκουμε τελικά ότι :

$z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ ή $z=-\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Επομένως z^2+z+1=0, z^3=1

.

4) Απαντήθηκε ήδη στο

!!!

5)Είναι :

$z^{2012}+z^{2014}+2013=(z^{3})^{674}+(z^{3})^{674} z^2 +2013=z+z^2+1+2012=2012$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #93

Μιας και η άσκηση 27 είναι η ίδια με την άσκηση 1, καλύτερα να τροποποίησουμε την αρίθμηση της ξανά σε άσκηση 1 και να αφήσουμε και την λύση.
Επίσης, θα πρέπει να αλλάξει και η αρίθμηση στην ασκηση και στην λύση της 28 σε άσκηση 27.

Γιώργος Απόκης · #94

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:Μιας και η άσκηση 27 είναι η ίδια με την άσκηση 1, καλύτερα να τροποποίησουμε την αρίθμηση της ξανά σε άσκηση 1 και να αφήσουμε και την λύση.
Επίσης, θα πρέπει να αλλάξει και η αρίθμηση στην ασκηση και στην λύση της 28 σε άσκηση 27.

Ευχαριστώ το Δημήτρη και τον manos66 για την επισήμανση...

#95

Έγιναν οι αλλαγές συνεχίζουμε κανονικά τη αρίθμηση .
Σκέφτομαι τις λύσεις να τις έχουμε με απόκρυψη όπως π.χ την άσκηση 27 (δοκιμαστικα ) τι λέτε

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #96

ΑΣΚΗΣΗ 28η

Έστω ο μιγαδικός $\displaystyle{z}$ με $\displaystyle{z \ne 2i}$ και η συνάρτηση $\displaystyle{f(z) = \frac{{z^2 + 4}}{{\left| {z - 2i} \right|}}}$ $\displaystyle{(1)}$

Α.1. Να βρείτε το $\displaystyle{{\mathop{\rm Im}\nolimits} (f(1 + i))}$

Α.2. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του $\displaystyle{z}$ στο μιγαδικό επίπεδο, για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{f(z) \in R}$

Α.3. Να δείξετε οτι $\displaystyle{\left| {f(z)} \right| = \left| {z + 2i} \right|}$

Α.4. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του $\displaystyle{z}$ στο μιγαδικό επίπεδο, για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{\left| {f(z - 5i)} \right| + \left| {f(z + i)} \right| = 10}$ $\displaystyle{(2)}$

Α.5.Για τους μιγαδικούς $\displaystyle{z}$ που ικανοποιούν την $\displaystyle{(2)} ,$ να βρείτε τους μιγαδικούς με το μέγιστο μέτρο

Α.6. Αν οι μιγαδικοί $\displaystyle{z_1 }$ και $\displaystyle{z_2 }$ ικανοποιούν την $\displaystyle{(2)}$ , να δείξετε οτι $\displaystyle{8 \le \left| {z_1 - z_2 } \right| \le 10}$

dennys · #97

ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 28
1)Απο την δοσμένη σχέση έχουμε : $f(1+i)=\frac{(1+i)^2+4}{|(1+i)-2i|}=\frac{2i+4}\sqrt{2}}=\sqrt{2}(2+i) \rightarrow Im(f(1+i))=\sqrt{2}$
2)αφού $f(z) \in R \Rightarrow \overline{f(z)}=f(z) \Rightarrow \frac{(\overline{z})^2+4}{|z-2i|}=\frac{(z^2+4)}{|z-2i|}$
αρα $(\overline{z})^2=z^2$ αρα $(\overline{z}-z)(\overline{z}+z)=0$ αρα $z\in R or z\in C-{2i}$
ή θέτοντας z=x+yi

κλπ
3)Αν μετράρω την δοσμένη σχέση $|f(z)|=\frac{|(z-2i)(z+2i)|}{|z-2i|}$ και έτσι |f(z)|=|z+2i|

4) Η σχέση με βάση το 3) είναι |z-3i|+|z+3i|=10

που είναι έλλειψη με a=5,,b=4,c=3

και οι εστίες πάνω στον άξονα
y' y

5)Οι μιγαδικοί με μέγιστο μέτρο εινα ι z_1=5i ,z_2=-5i

6) για δύο μιγαδικούς πάνω στην έλλειψη ισχύει : $2b \le|z_1-z_2|\le2a$ αρα $8\le|z_1-z_2| \le 10$

φιλικά dennys

hlkampel · #98

ΑΣΚΗΣΗ 29

Έστω $\displaystyle{{{\rm{z}}_{\rm{1}}},{{\rm{z}}_{\rm{2}}}}$ οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{{{\rm{z}}^{\rm{2}}} - {\rm{\alpha z + 9 = 0}}}$ , $\displaystyle{{\rm{\alpha }} \in R}$ και $\displaystyle{{{\rm{z}}_{\rm{1}}},{{\rm{z}}_{\rm{2}}} \notin R}$ .

α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του πραγματικού $\displaystyle{{\rm{\alpha }}}$ .

β) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left( {{\rm{z}}_{\rm{1}}^{{\rm{17}}} + {\rm{z}}_{\rm{2}}^{{\rm{17}}}} \right) \in R}$ .

γ) Να βρείτε τα $\displaystyle{\left| {{{\rm{z}}_{\rm{1}}}} \right|,\left| {{{\rm{z}}_{\rm{2}}}} \right|}$ .

δ) Αν $\displaystyle{\frac{{{{\rm{z}}_{\rm{1}}}}}{{{{\rm{z}}_{\rm{2}}}}} + \frac{{{{\rm{z}}_{\rm{2}}}}}{{{{\rm{z}}_{\rm{1}}}}} = - 2}$ να βρείτε το $\displaystyle{{\rm{\alpha }}}$ .

ε) Για $\displaystyle{{\rm{\alpha = 0}}}$ και ${\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{z_1}} \right) > 0$ να βρείτε τον γ.τ των εικόνων του μιγαδικού $\displaystyle{{\rm{z}}}$ στο μιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{\left| {{\rm{z}} - {{\rm{z}}_{\rm{1}}}} \right| = 4 + \left| {{\rm{z}} - {{\rm{z}}_{\rm{2}}}} \right|}$ .

Edit: Έγινε προσθήκη στο ερώτημα ε, για να αποφευχθούν οι δύο περιπτώσεις.
Ευχαριστώ τον Δημήτρη Κατσίποδα για την υπόδειξη.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #99

hlkampel έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 29

Έστω $\displaystyle{{{\rm{z}}_{\rm{1}}},{{\rm{z}}_{\rm{2}}}}$ οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{{{\rm{z}}^{\rm{2}}} - {\rm{\alpha z + 9 = 0}}}$ , $\displaystyle{{\rm{\alpha }} \in R}$ και $\displaystyle{{{\rm{z}}_{\rm{1}}},{{\rm{z}}_{\rm{2}}} \notin R}$ .

α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του πραγματικού $\displaystyle{{\rm{\alpha }}}$ .

β) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left( {{\rm{z}}_{\rm{1}}^{{\rm{17}}} + {\rm{z}}_{\rm{2}}^{{\rm{17}}}} \right) \in R}$ .

γ) Να βρείτε τα $\displaystyle{\left| {{{\rm{z}}_{\rm{1}}}} \right|,\left| {{{\rm{z}}_{\rm{2}}}} \right|}$ .

δ) Αν $\displaystyle{\frac{{{{\rm{z}}_{\rm{1}}}}}{{{{\rm{z}}_{\rm{2}}}}} + \frac{{{{\rm{z}}_{\rm{2}}}}}{{{{\rm{z}}_{\rm{1}}}}} = - 2}$ να βρείτε το $\displaystyle{{\rm{\alpha }}}$ .

ε) Για $\displaystyle{{\rm{\alpha = 0}}}$ να βρείτε τον γ.τ των εικόνων του μιγαδικού $\displaystyle{{\rm{z}}}$ στο μιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{\left| {{\rm{z}} - {{\rm{z}}_{\rm{1}}}} \right| = 4 + \left| {{\rm{z}} - {{\rm{z}}_{\rm{2}}}} \right|}$ .

α. Επειδή οι ρίζες $\displaystyle{z_1 ,z_2 }$ της εξίσωσης δεν είναι πραγματικοί αριθμοί, έχουμε οτι $\displaystyle{\Delta < 0}$

Επομένως $\displaystyle{( - \alpha )^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 < 0 \Leftrightarrow \alpha ^2 < 36 \Leftrightarrow \left| \alpha \right| < 6 \Leftrightarrow - 6 < \alpha < 6}$

β. Θα δείξουμε την ισοδυναμία $\displaystyle{u = \overline u \Leftrightarrow u \in R}$ . Έστω $\displaystyle{{u = \alpha + \beta i}}$ με $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$

Έχουμε $\displaystyle{u = \overline u \mathop \Leftrightarrow \limits^{u = \alpha + \beta i} \alpha + \beta i = \alpha - \beta i \Leftrightarrow 2\beta i = 0 \Leftrightarrow \beta = 0 \Leftrightarrow u = \alpha \in R}$

Επομένως, αρκεί να δείξουμε πως $\displaystyle{u = z_1 ^{17} + z_2 ^{17} = \overline u }$

Εχουμε, $\displaystyle{z_2 = \overline {z_1 } }$ και $\displaystyle{\overline {z_2 } = z_1 }$

$\displaystyle{u = z_1 ^{17} + z_2 ^{17} }$ και $\displaystyle{\overline u = \overline {z_1 ^{17} + z_2 ^{17} } = \overline {z_1 ^{17} } + \overline {z_2 ^{17} } = \left( {\overline {z_1 } } \right)^{17} + \left( {\overline {z_2 } } \right)^{17} = z_2 ^{17} + z_1 ^{17} = u}$ . Αρα $\displaystyle{\left( {z_1 ^{17} + z_2 ^{17} } \right) \in R}$

γ. $\displaystyle{P = z_1 \cdot z_2 \Rightarrow 9 = z_1 \cdot z_2 \Rightarrow \left| {z_1 \cdot z_2 } \right| = 9 \Rightarrow \left| {z_1 } \right| \cdot \left| {z_2 } \right| = 9\mathop \Rightarrow \limits^{\left| {z_1 } \right| = \left| {z_2 } \right|} \left| {z_2 } \right|^2 = 9 \Rightarrow \left| {z_2 } \right| = 3}$

Άρα $\displaystyle{\left| {z_1 } \right| = \left| {z_2 } \right| = 3}$

δ.Έχουμε οτι $\displaystyle{z_{1,2} = \frac{{\alpha \pm i\sqrt {36 - \alpha ^2 } }}{2}}$

$\displaystyle{\frac{{z_1 }}{{z_2 }} + \frac{{z_2 }}{{z_1 }} = - 2 \Leftrightarrow z_1 ^2 + z_2 ^2 = - 2z_1 z_2 \Leftrightarrow z_1 ^2 + 2z_1 z_2 + z_2 ^2 = 0 \Leftrightarrow (z_1 + z_2 )^2 = 0 \Leftrightarrow z_1 = - z_2 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{\alpha + i\sqrt {36 - \alpha ^2 } }}{2} = - \frac{{\alpha - i\sqrt {36 - \alpha ^2 } }}{2} \Leftrightarrow \alpha + i\sqrt {36 - \alpha ^2 } = - \alpha + i\sqrt {36 - \alpha ^2 } \Leftrightarrow 2\alpha = 0 \Leftrightarrow \alpha = 0}$

ε.

Για $\displaystyle{\alpha = 0}$ έχουμε $\displaystyle{z_{1,2} = \pm 3i}$ ,επειδή $\displaystyle{{\mathop{\rm Im}\nolimits} (z_1 ) > 0}$ έχουμε $\displaystyle{z_1 = 3i}$ και $\displaystyle{z_2 = -3i}$

$\displaystyle{\left| {z - z_1 } \right| = 4 + \left| {z - z_2 } \right| \Leftrightarrow \left| {z - z_1 } \right| - \left| {z - z_2 } \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {z - 3i} \right| - \left| {z + 3i} \right| = 4}$ $\displaystyle{(1)}$

Η $\displaystyle{(1)}$ παριστάνει τον κάτω κλάδο της υπερβολής με $\displaystyle{\gamma = 3}$ , εστίες $\displaystyle{{\rm E}(0,3)}$ και $\displaystyle{{\rm E}'(0, - 3)}$ , $\displaystyle{2\alpha = 4 \Leftrightarrow \alpha = 2}$ και $\displaystyle{\beta = \sqrt {\gamma ^2 - \alpha ^2 } = \sqrt {9 - 4} = \sqrt 5 }$

Επομένως η $\displaystyle{(1)}$ , παριστάνει την υπέρβολη $\displaystyle{\frac{{y^2 }}{4} - \frac{{x^2 }}{5} = 1}$ με $\displaystyle{y \le - 2}$

: άσκηση 29.png (10.36 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

Ιστοσελίδα · #100

ΑΣΚΗΣΗ 30

α) Να λύσετε, στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, την εξίσωση: z^3-3z^2+4z-2=0

β) Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων:

z^3+4z=3z^2+2

και $z^{10}-32z+32=0$

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Μέλη σε σύνδεση