ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

perpant · #1

Ας συνεχίσουμε τη συλλογή θεμάτων με το 1ο κεφάλαιο της Ανάλυσης. Συνεχίζουμε από εκεί που μείναμε με την άσκηση 41. Με τους ίδιους όρους των μιγαδικών. Όχι πάνω από 2-3 άλυτες, όχι θέματα εξετάσεων, ΟΕΦΕ κτλ. Δίνω την πρώτη ασκήση στην επόμενη δημοσίευση για να διευκολύνω το έργο όποιου μαζέψει τις ασκήσεις σε ένα αρχείο.

perpant · #2

ΑΣΚΗΣΗ 41η

α) Αν η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο [0,1] να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{x_0 \in (0,1)}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(x_0 ) = \frac{1}{{1 - x_0 }} - \frac{1}{{x_0 }}}$ .

β) Έστω $\displaystyle{f}$ μια συνάρτηση ορισμένη στο R για την οποία ισχύει $\displaystyle{1 + x \le f(x) \le e^x ,\forall x \in R}$ . Να αποδείξετε ότι :

i) Η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{x_0 = 0}$ .

ii) Αν η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο R, να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{x_0 \in ( - 1,1)}$ , ώστε $\displaystyle{\frac{{f(x_0 )}}{{2004}} = x_0 }$ .

iii) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)}$ .

#3

ΑΣΚΗΣΗ 42
Δίνεται η συνάρτηση

με τύπο: $f(x)=-2x^5-\left|z \right|x^3+2\left|z \right|^5$
με $x\in R$ και $z\in C^*$ .

α) Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

.

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της

.

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)= 0

έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα $(0,\left|z \right|)$ .

δ) Αν $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-f(x)+2\left|z \right|^5}{\eta \mu ^3x}=1$ , να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού

.

Απο το www.study4exams.gr

Χρήστος

dennys · #4

ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 41
1)θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=f(x)x(1-x)-x+(1-x)

για την οποία ισχύει : g(x)

συνεχής στο[0,1]
και g(0)=+1>0, g(1)=-1<0

αρα

ετσι υπάρχει $xo \in (0,1)$ : $g(xo)=0 \rightarrow f(xo)xo(1-xo)-xo+(1-xo)=0$
διαιρώντας με $xo(1-xo)\neq 0$ $f(xo)=\frac{1}{1-xo}-\frac{1}{xo}$ δηλ η δοσμένη εξίσωση.
2)Για $x=0 \rightarrow 1+0\le f(0) \le e^0 \Rightarrow f(0)=0$ και με το κριτήριο παρεμβολής $lim_x\to 0 {f(x)}=0$ δηλ η
συνάρτηση είναι συνεχής στο μηδέν.
3)
θεωρώ συνάρτηση h(x)=f(x)-2004x

και στο διάστημα [-1,1]

είναι συνεχής και h(-1)=f(-1)+2004>0

αφού απο την
δοσμένη ανισότητα για $x=-1 \rightarrow 0 \le f(-1) \le \frac{1}{e}$ και
h(1)=f(1)-2004<0

αφού $2\le f(1) \le e< 2004$ Αρα απο Θ. ΒΟΛΖΑΝΟ........
4) Απο την $1+x \le f(x) \le e^x$ αρ α έχουμε $0 \le \frac{1}{f(x)} \le \frac {1}{1+x}$ με κριτήριο παρεμβολής $lim_x \to \infty{\frac{1}{1+x}=0$
$lim_x\to \infty {\frac{1}{f(x)}}=0$ και αρα $lim_x\to \infty {f(x)}=+\infty$

pito · #5

ΑΣΚΗΣΗ 42η -ΛΥΣΗ

α)Είναι $A_{f}=R$ .
Έστω $x_{1},x_{2}\in R$ με $x_{1}<x_{2}\Rightarrow x_{1}^{5}<x_{2}^{5}\Rightarrow -2x_{1}^{5}>-2x_{2}^{5} (1)$ και $x_{1}<x_{2}\Rightarrow x_{1}^{3}<x_{2}^{3}\Rightarrow -|z|x_{1}^{3}>-|z|x_{2}^{3} (2)$ .
Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1), (2) και με πρόσθεση του $2|z|^{5}$ και στα 2 μέλη προκύπτει
$-2x_{1}^{5}-|z|x_{1}^{3}+2|z|^{5}>-2x_{2}^{5}-|z|x_{2}^{3}+2|z|^{5}\Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})$ , άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο

.

β) Είναι $lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=lim_{x\rightarrow -\infty}(-2x^{5})=+\infty$ και
$lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=lim_{x\rightarrow + \infty}(-2x^{5})=-\infty$ , συνεπώς f(R)=R

.

γ) Η

είναι συνεχής στο [0,|z|]

ως πολυωνυμική με
$f(0)=2|z|^{5}>0, f(|z|)=-|z|^{4}<0$ (καθώς $z\neq 0$ ) , άρα f(0)f(|z|)<0

και από θ. Bolzano προκύπτει το ζητούμενο.

δ)Είναι $lim_{x\rightarrow 0}\frac{2|z|^{5}-f(x)}{\eta \mu ^{3}x}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x^{5}+|z|x^{3}}{\eta \mu ^{3}x}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x^{2}}{(\frac{\eta \mu \chi }{x})^{3}}+\frac{|z|}{(\frac{\eta \mu x}{x})^{3}}=|z|$
άρα πρέπει |z|=1

και η εικόνα του

κινείται στον μοναδιαίο κύκλο.

pito · #6

ΑΣΚΗΣΗ 43η

Δίνεται η συνεχής στο

συνάρτηση

και η συνάρτηση $g:R\rightarrow R$ με την ιδιότητα $g(x)f^{2}(x)=e^{x}g(x)+1$ για κάθε $x\in R$ και |f(0)|<1

.

Α) Να βρείτε το $lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$ .

β) Να βρείτε το $lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)$

γ) Να δείξετε ότι $g(0)\leq- 1$

δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση $(x-1)(e^{x}+x)[g(x)+e^{x}]=x[f(x-1)+x]$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [0,1)

και μία τουλάχιστον μη θετική ρίζα.

perpant · #7

ΑΣΚΗΣΗ 44η
Μια συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:\Re \to \Re }$ με $\displaystyle{f\left( 1 \right) = \frac{1}{2}}$ έχει την ιδιότητα: $\displaystyle{f\left( {xy} \right) = f\left( x \right)f\left( {\frac{3}{y}} \right) + f\left( y \right)f\left( {\frac{3}{x}} \right)}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in \Re ^* }$

Α. Να αποδειχθεί ότι:

a) $\displaystyle{f\left( 3 \right) = \frac{1}{2}}$

b) $\displaystyle{f\left( {\frac{3}{x}} \right) = f\left( x \right),\,\,\,x \in \Re }$

c) $\displaystyle{f\left( {xy} \right) = 2f\left( x \right)f\left( y \right)}$ και $\displaystyle{ f^2 \left( x \right) = \frac{1}{4}}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \Re }$

Β. Να βρεθεί ο τύπος της $\displaystyle{f}$

parmenides51 · #8

Φίλη pito

Σχετικά με την γραφή των ορίων στο $\LaTeX$

Για να πηγαίνει το ''

τείνει κάπου'' κάτω από το όριο, πρέπει

ή να χρησιμοποιήσεις την εντολή \displaystyle{ } γυρω από το \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x) πριν πατήσεις το κουμπί tex
ή πατώντας δυο δολάρια πριν και μετά το \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x) .

Δηλαδή πατώντας το ένα δολάριο πριν και μετά το \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x) έχουμε το $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$

ενώ πατώντας δυο δολάρια πριν και μετά το \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x) έχουμε το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)}$ .

Φιλικά

#9

...ας λύσουμε καμμία άσκηση...

ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 43

Α) Είναι από την δοθείσα σχέση $g(x)({{f}^{2}}(x)-{{e}^{x}})=1$ απ όπου ${{f}^{2}}(x)-{{e}^{x}}\ne 0$ και επειδή είναι συνεχής στο

ως διαφορά συνεχών θα διατηρεί σταθερό πρόσημο έτσι ${{f}^{2}}(x)-{{e}^{x}}>0\Leftrightarrow {{f}^{2}}(x)>{{e}^{x}},\,\,\,x\in R$ άτοπο

αφού από υπόθεση $\left| f(0) \right|<1$ άρα αναγκαία ${{f}^{2}}(x)-{{e}^{x}}<0\Leftrightarrow {{f}^{2}}(x)<{{e}^{x}},\,\,\,x\in R$ οπότε θα

ισχύει και $\left| f(x) \right|<\sqrt{{{e}^{x}}}\Leftrightarrow -\sqrt{{{e}^{x}}}<f(x)<\sqrt{{{e}^{x}}}$ και επειδή $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{x}}=0$ από κριτήριο παρεμβολής $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$

Β) Επειδή τώρα ισχύει από $g(x)({{f}^{2}}(x)-{{e}^{x}})=1$ ότι $g(x)=\frac{1}{{{f}^{2}}(x)-{{e}^{x}}}$ (1) και $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,({{f}^{2}}(x)-{{e}^{x}})=0$ με ${{f}^{2}}(x)-{{e}^{x}}<0$

θα είναι $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{f}^{2}}(x)-{{e}^{x}}}=-\infty$

Γ) Αρκεί από (1) να δείξουμε ότι $\frac{1}{{{f}^{2}}(0)-1}\le -1$ και επειδή ισχύει $\left| f(0) \right|<1$ αρκεί $1\ge -{{f}^{2}}(0)+1\Leftrightarrow {{f}^{2}}(0)\ge 0$ που ισχύει

Δ) Αν $h(x)=(x-1)({{e}^{x}}+x)(g(x)+{{e}^{x}})-x(f(x-1)+x)$ επειδή από (1) η

είναι πράξεις μεταξύ συνεχών είναι συνεχής στο

οπότε και η

ως πράξεις μεταξύ συνεχών με h(1)=-(f(0)+1)<0

λόγω του $\left| f(0) \right|<1$ $h(0)=-(g(0)+1)\ge 0$ λόγω του (Γ)

Έτσι αν g(0)=-1

η

έχει ρίζα το

και αν $g(0)\ne -1$ τότε h(0)h(1)<0

και από θεώρημα BOLZANO η

h(x)=0

έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $(0,\,1)$ οπότε σε κάθε περίπτωση η h(x)=0

έχει ρίζα στο $[0,\,1)$

...στο μη αρνητική;;;;...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#10

...όσο αντέχουμε...

ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 44

Α ) α) Για x=y=1

ισχύει

και επειδή $f(1)=\frac{1}{2}$ προκύπτει ότι $f(3)=\frac{1}{2}$

β) Για y=1

προκύπτει ότι $f(x)=f(x)f(3)+f(1)f(\frac{3}{x})\Leftrightarrow f(x)=\frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(\frac{3}{x})\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(\frac{3}{x})=f(x),\,\,\,x\in {{R}^{*}}$ (…δεν μπορεί να ισχύει για x=0

)

γ) Λόγω (β) θα ισχύει $f(xy)=f(x)f(y)+f(y)f(x)\Leftrightarrow f(xy)=2f(x)f(y)$ (1) και για $y=\frac{3}{x}$ από (1) έχουμε

$f(3)=2f(x)f(\frac{3}{x})$ και λόγω (α) και (β) $\frac{1}{2}=2{{f}^{2}}(x)\Leftrightarrow {{f}^{2}}(x)=\frac{1}{4},\,\,x\ne 0$

Β) Από ${{f}^{2}}(x)=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \left| f(x) \right|=\frac{1}{2}$ και επίσης ότι $f(x)\ne 0,\,\,\,x\in {{R}^{*}}$ και ως συνεχής θα έχει σταθερό πρόσημο στα

$(-\infty ,\,\,0),\,\,(0,\,\,+\infty )$ και αφού $f(3)=\frac{1}{2}>0$ θα είναι $f(x)=\frac{1}{2},\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$ και

$f(x)=\frac{1}{2},\,\,\,x\in (-\infty ,\,\,0)$ ή $f(x)=-\frac{1}{2},\,\,\,x\in (-\infty ,\,\,0)$ και επειδή είναι συνεχής στο ${{x}_{0}}=0$

θα είναι $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\frac{1}{2}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ άρα τελικά $f(x)=\frac{1}{2},\,\,\,x\in R$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #11

ΑΣΚΗΣΗ 45η

Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση $\displaystyle{f}$ : $\displaystyle{R \to R}$ και η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ : $\displaystyle{R \to R}$ ώστε για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ να ισχύει η σχέση $\displaystyle{f(f(x)) = 2g(x) - x}$

A.1.Να δείξετε ότι η $\displaystyle{g}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{R}$

Α.2. Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της $\displaystyle{h(x) = f(x) - g(x)}$

Α.3. Έστω $\displaystyle{x_0 \in R}$ με $\displaystyle{f(x_0 ) = x_0 }$

i. Να δείξετε ότι η $\displaystyle{C_f }$ και η $\displaystyle{C_g }$ τέμνονται σε ένα μόνο σημείο.

ii. Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{f(f(x + x_0 - 2)) + x + x_0 = 2f(x + x_0 - 2) + 2}$

iii. Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{f(f(\ln x + x_0 + 1)) + \ln x + 1 < x_0 }$

Χ.Πατήλας (εκδόσεις Κωστόγιαννος)

pito · #12

ΑΣΚΗΣΗ 45η

α) Από τη δοσμένη σχέση είναι $g(x)=\frac{f(f(x))+x}{2}$ .
Έστω $x_{1},x_{2}\in R \mu \varepsilon x_{1}<x_{2} (1)$ τότε και $f(x_{1})>f(x_{2})\Rightarrow f(f(x_{1})<f(f(x_{2})) (2)$
Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1), (2) και διαιρώντας με το 2 προκύπτει $g(x_{1})<g(x_{2})$ , άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο

.

β) Έστω $x_{1},x_{2}\in R \mu \varepsilon x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2}) (1)$ και $x_{1}<x_{2}\Rightarrow g(x_{1})<g(x_{1})\Rightarrow -g(x_{1})>-g(x_{2}) (2)$
, από πρόσθεση των (1) και (2) κατά μέλη προκύπτει $h(x_{1})>h(x_{2})$ άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο

.

γ) Αφού $f(x_{o})=x_{o}\Rightarrow f(f(x_{o})=f(x_{o})=2g(x_{o})-x_{o}$
$\Rightarrow x_{o}=2g(x_{o})-x_{0}\Rightarrow g(x_{o})=x_{o}=f(x_{o})$ .
Συνεπώς οι $C_{f}, C_{g}$ τέμνονται στο σημείο με τετμημένη $x_{o}$ . Το $x_{o}$ είναι η μοναδική ρίζα της f(x)=g(x)

$\Rightarrow f(x)-g(x)=0$ καθώς η h(x)=f(x)-g(x)

είναι γνησίως φθίνουσα.

δ) $f(f(x+x_{o}-2))+x+x_{o}=2f(x+x_{o}-2)+2\Rightarrow 2g(x+x_{o}-2)-x-x_{o}+2+x+x_{o}=2f(x+x_{o}-2)+2$
$\Rightarrow g(x+x_{o}-2)=f(x+x_{o}-2) (1)$ και από το (γ) ερώτημα και την (1) πρέπει $x+x_{o}-2=x_{o}\Rightarrow x=2$

ε) $f(f(lnx+x_{o}+1))+lnx+1<x_{o}\Rightarrow 2g(lnx+x_{o}+1)-lnx-x_{o}-1+lnx+1<x_{o}$
$\Rightarrow 2g(lnx+x_{o}+1)<2g(x_{o})\Rightarrow lnx+x_{o}+1<x_{o}$
$\Rightarrow lnx<-1\Rightarrow0< x<\frac{1}{e}$

( Ευχαριστώ τον Δημήτρη Κατσίποδα για την επισήμανσή του στο (ε))

pito · #13

ΑΣΚΗΣΗ 46η

Έστω η συνάρτηση $f:(0,+\infty)\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $f(x)-f(y)=f(\frac{x}{y})$ για κάθε x,y>0

και η εξίσωση f(x)=0

που έχει μοναδική ρίζα.

α) Να βρείτε το f(1)

β) Να δείξετε ότι η

αντιστρέφεται.

γ) Να λύσετε την εξίσωση $f(x^{2}-2)+f(x)=f(5x-6)$

δ) Αν f(x)<0

για κάθε

, να δείξετε ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0,+\infty)$ .

#14

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 46η

Έστω η συνάρτηση $f:(0,+\infty)\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $f(x)-f(y)=f(\frac{x}{y})$ για κάθε και η εξίσωση που έχει μοναδική ρίζα.

α) Να βρείτε το

β) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται.

γ) Να λύσετε την εξίσωση $f(x^{2}-2)+f(x)=f(5x-6)$

δ) Αν για κάθε , να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0,+\infty)$ .

α) Για

παίρνουμε

οπότε αφού η εξίσωση f(x)=0

έχει λύση το 1 άρα αυτή είναι και η μοναδική λύση της.

β) Έστω x_1,x_2>0

με

. Θέτουμε στην αρχική όπου x=x_1

και

και παίρνουμε $f\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)=f(x_1)-f(x_2)$ άρα $f\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)=0$ και επειδή το 1 είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης f(x)=0

άρα πρέπει $\dfrac{x_1}{x_2}=1$ απ' όπου x_1=x_2

. Άρα η

είναι 1-1 και αντιστρέφεται.

γ) Προφανώς για να ορίζoνται τα f(5x-6)

και

πρέπει

και

δηλαδή τελικά $x>\sqrt{2}$ .
Με αυτή την προϋπόθεση η εξίσωση γράφεται f(x^2-2)=f(5x-6)-f(x)

και αφού

, η τελευταία σχέση με τη βοήθεια της αρχικής γράφεται: $f(x^2-2)=f\left(\dfrac{5x-6}{x}\right)$ και επειδή η

είναι 1-1 γράφεται ισοδύναμα x(x^2-2)=5x-6

δηλαδή λύνοντας την τριτοβάθμια παίρνουμε x=1

ή

απ' όπου κρατάμε μόνο την x=2

.

δ) Έστω x_1,x_2>0

με

. Τότε για x=x_2

και

στην αρχική παίρνουμε $f(x_2)-f(x_1)=f\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)<0$ διότι $\dfrac{x_2}{x_1}>1$ . Άρα f(x_1)>f(x_2)

συνεπώς η

είναι γνησίως φθίνουσα.

Αλέξανδρος

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #15

ΑΣΚΗΣΗ 47η

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = 2 - \ln (\sqrt {x - 2} + 1)}$

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

β.Να δείξετε οτι η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα

γ.Να δείξετε οτι η $\displaystyle{f}$ αντιστρέφεται και να βρείτε την $\displaystyle{f^{ - 1} }$

δ.Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{f^{ - 1} (x) = 2}$

ε.Να βρείτε τα κοινά σημεία της $\displaystyle{C_f }$ και της $\displaystyle{y = x}$

Α.Μπάρλας (εκδόσεις ελληνοεκδοτική)

pito · #16

ΑΣΚΗΣΗ 47η

α) Πρέπει λόγω της υπορίζου να ισχύει $x-2\geq 0\Rightarrow x\geq 2$ (1)
και για να ορίζεται ο λογάριθμος πρέπει $\sqrt{x-2}+1>0$ , που ισχύει άρα τελικά
$A_{f}=[2,+\infty)$

β) Εστω $x_{1},x_{2}\in [2,+\infty)$ με $x_{1}<x_{2}\Rightarrow x_{1}-2<x_{2}-2$
$\sqrt{x_{1}-2}<\sqrt{x_{2}-2}\Rightarrow \sqrt{x_{1}-2}+1<\sqrt{x_{2}-2}+1$ και αφού η lnx

είναι γνησίως αύξουσα θα είναι $ln(\sqrt{x_{1}-2}+1)<ln(\sqrt{x_{2}-2}+1)\Rightarrow2 -ln(\sqrt{x_{1}-2}+1)>2-ln(\sqrt{x_{2}-2}+1)$

άρα $f(x_{1})>f(x_{2})$ και η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $[2,+\infty)$

γ) Η

είναι

άρα και αντιστρέψιμη αφού είναι γνησίως φθίνουσα.

Έστω $f(x)=y\Rightarrow x=f^{-1}(y)$ , τότε
$y=2-ln(\sqrt{x-2}+1)\Rightarrow ln(\sqrt{x-2}+1)=2-y$ (2)

Όμως είναι $\sqrt{x-2}+1\geq 1\Rightarrow ln(\sqrt{x-2}+1)\geq 0$ , άρα λόγω της (2) πρέπει
$2-y\geq 0\Rightarrow y\leq 2$ (3)
Ακόμη $(2)\Rightarrow \sqrt{x-2}+1=e^{2-y}\Rightarrow x-2=(e^{2-y}-1)^{2}\Rightarrow x=2+(e^{2-y}-1)^{2}$ (4)
Και από το $A_{f}=[2,+\infty)$ πρέπει $x\geq 2$ , που ισχύει λόγω της (4).

Τελικά $f^{-1}(x)=(e^{2-x}-1)^{2}+2, x\leq 2$

δ) Είναι $f^{-1}(x)=2\Rightarrow f(f^{-1}(x))=f(2)\Rightarrow x=f(2)\Rightarrowx=2$

ε) Είναι f(2)=2

άρα το

είναι κοινό σημείο της $C_{f}$ με την y=x

και αυτό είναι και μοναδικό καθώς η h(x)=f(x)-x

είναι γνησίως φθίνουσα.

#17

ΑΣΚΗΣΗ 48

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb R \to \mathbb R}$ με την ιδιότητα: $\displaystyle{f(x+f(x+y)) = f(2x) +y$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in \mathbb R}$ .Να αποδείξετε ότι :

α) f(0) = 0

β) $(f\circ f )(x)=x , \forall x \in \mathbb R$

γ) Η

είναι

δ) Η

έχει σύνολο τιμών το $\mathbb R$

ε) $f(x) = x ,\forall x \in \mathbb R$

Μπάμπης

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

dennys · #18

ΑΣΚΗΣΗ 49

Εστω η συνάρτηση f(x)=ln(1-e^x)-ln(1+e^x)

1)Να βρείτε το πεδίο ορισμού

2)Να Βρείτε το πρόσημο της f(x)

3) Να βρείτε την μονοτονία της

.
4)Να βρείτε την $f^{-1}$
5)Βρείτε το m<0 : f(m)=m

6)Αν

, να βρείτε την μονοτονία της g(x)

7)Να λύσετε την ανίσωση f(x)-f(-1)<x+1

8)Αν

, να αποδείξετε ότι υπάρχει c : f(c)=h(c)

9)Να βρείτε το οριο : $\displaystyle {A= \lim_ {x\to-{\infty}}{\cfrac {f(-1)x^3+x^2+6}{f(-3)x^2-x-2}} }$ και το όριο $\displaystyle B=\lim_{x\to -\infty}(e^{f(x)}-e^{f^{-1}(x)})$

ΣΧΟΛΙΟ (από γεν.συντον)
Επειδή έγινε μορφοποίηση , παρακαλούμε το συντάκτη να εξετάσει αν το τελεύταίο όριο είναι εντάξει
Ολα είναι εντάξει .Ευχαριστώ τούς συντονιστές.

#19

ΑΣΚΗΣΗ 50

Δίνεται η συνάρτηση

με τύπο : $f(x)=x+\ln x$ .
α) Να αποδείξετε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής.

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=1

.

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της

και να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0

έχει μία ακριβώς ρίζα.

δ) Να αποδείξετε ότι η

αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης της

.

ε) Να λύσετε την εξίσωση $f^{-1} (x) = x$

στ) Να λύσετε την ανίσωση $f^{-1} (x) > x-1$

Μπάμπης
(Δεν θα προτείνω άλλη μέχρι να συγκεντρώσουμε 40 θέματα , εκτός και αν παραστεί ανάγκη.)

parmenides51 · #20

Ας θεωρηθεί η άσκηση 47 του Μπάμπη ως άσκηση 48, εκ παραδρομής προφανώς γράφτηκε σαν 47.

edit: Διορθώθηκε η αρίθμηση.

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μέλη σε σύνδεση