Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Ασκήση 4 –Α΄ Λυκείου
Για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς
και
ισχύει:
, για κάθε
.
Nα αποδείξετε ότι:
Α' Τρόπος
Αν η άσκηση αναφερόταν σε οποιαδήποτε τάξη τότε απλά θα λέγαμε ότι αν ήταν
τότε επειδή
, καταλήγουμε σε άτοπο διότι τότε θα υπήρχει
για το οποίο να ισχύει
για οποιοδήποτε
με
.
Β' Τρόπος
Για να μετατρέψουμε τη λύση σε "απλούστερη", πρέπει ουσιαστικά να βρούμε αυτό το
ώστε να καταλήξουμε σε άτοπο:
Θα χρειαστούμε τις απλές ανισότητες (αποδεικνύονται π.χ. με επαγωγή):
Ισχύει
α)
για κάθε
και
. (απλή ανισότητα Bernoulli)
β)
για κάθε
και
.
Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι
. Τότε
, όπου
.
Αν είναι
τότε αρκεί να πάρουμε
Πράγματι τότε έχουμε:
άτοπο λόγω της αρχικής σχέσης.
Πως σκεφτήκαμε και βρήκαμε αυτό το κάτω φράγμα για το
; Πολύ απλά θέλαμε να βρούμε
ώστε
Όμως
Άρα αρκεί να ισχύει από κάποιο n και έπειτα ότι
δηλαδή ότι
που (εδώ χρειάζεται η διάκριση των περιπτώσεων) για
δίνει
Ας υποθέσουμε τώρα ότι είναι
Η αρχική συνθήκη για
δίνει
δηλαδή τελικά
Διακρίνουμε τις εξής υποπεριπτώσεις:
Αν
τότε
οπότε παίρνοντας
έχουμε τελικά:
διότι είναι γνωστό ότι
, άτοπο.
Αν
τότε για
έχουμε διαδοχικά:
Τώρα θέλουμε να επιλέξουμε
τέτοιο ώστε να ισχύει
δηλαδή
. Το τριώνυμο αυτό έχει διακρίνουσα
διότι
. Οπότε για
το τριώνυμο είναι θετικό οπότε αν επιλέξουμε
τότε θα καταλήξουμε και πάλι σε άτοπο.
Άρα τελικά
.
Αλέξανδρος