Μικρές αλλά ίσες

KARKAR · #1

Οι κύκλοι $c_{1}$ και $c_{2}$ , έχουν διαμέτρους τις πλευρές

και

αντίστοιχα , του τριγώνου $\displaystyle ABC$ .

Ο $c_{1}$ τέμνει την

στο

και ο $c_{2}$ τέμνει την

στο

. Η

τέμνει τον

$c_{2}$ στα S , T

, ενώ η

τέμνει τον $c_{1}$ στα P , Q

. Δείξτε ότι : $\widehat {SQP} =\widehat {STP}$

Grigoris K. · #2

Καλησπἐρα κ. Θανάση. Όμορφη και απλή:

Έστω $AD \perp BC$ . Είναι προφανές ότι το

συμπίπτει με το δεύτερο σημείο τομής των (c_1),(c_2)

αφού

είναι διάμετροι.

Οι ευθείες BT, AD, CQ

συντρέχουν στο ορθόκεντρο

.

Ισχύει στον $(c_1) : ~ QH \cdot HP = AH \cdot HD ~(1)$ . Ενώ στον $(c_2) : ~ SH \cdot HT = AH \cdot HD ~(2)$ .

Όμως $(1),(2) \Rightarrow QH \cdot HP = SH \cdot HT \Rightarrow SPTQ$ εγγρἀψιμο και το ζητούμενο έπεται.

#3

Grigoris K. έγραψε:Καλησπἐρα κ. Θανάση. Όμορφη και απλή:

Έστω $AD \perp BC$ . Είναι προφανές ότι το συμπίπτει με το δεύτερο σημείο τομής των αφού είναι διάμετροι.

Οι ευθείες συντρέχουν στο ορθόκεντρο .

Ισχύει στον $(c_1) : ~ QH \cdot HP = AH \cdot HD ~(1)$ . Ενώ στον $(c_2) : ~ SH \cdot HT = AH \cdot HD ~(2)$ .

Όμως $(1),(2) \Rightarrow QH \cdot HP = SH \cdot HT \Rightarrow SPTQ$ εγγρἀψιμο και το ζητούμενο έπεται.

Το δώρο (το σχήμα) για τη λύση του καταπληκτικού Γρηγόρη μαζί με ένα επί πλέον αποτέλεσμα:

: Δώρο για τον Γρηγόρη.png (41.03 KiB) Προβλήθηκε 454 φορές

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{ \boxed{TP \cap QS \equiv L \in BC} }$

Φιλικά
Στάθης

Μικρές αλλά ίσες

Μικρές αλλά ίσες

Re: Μικρές αλλά ίσες

Re: Μικρές αλλά ίσες

Μέλη σε σύνδεση