ΘΑΛΗΣ 1995 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

#1

Τώρα που τελείωσε και ο Ευκλείδης λέω να ξεκινήσουμε ένα ευρετήριο θεμάτων και λύσεων από τα θέματα της ΕΜΕ

Ξεκινάω το συγκεκριμένο θέμα με τα θέματα της Β Γυμνασίου για το ΘΑΛΗ του 1995 και πηγαίνουμε ανά τάξη.

Όποιος έχει τη διάθεση μπορεί να βοηθήσει είτε με τη λύση θεμάτων είτε με τις εκφωνήσεις αυτών. Καλό θα είναι οι νέες ασκήσεις να μην πέφτουν μαζεμένες αλλά να έπονται των ασκήσεων ανά τάξη. Τελειώνουμε με τις λύσεις των θεμάτων της Β Γυμνασίου και Α Λυκείου (στο αντίστοιχο θέμα του Λυκείου) και μετά πηγαίνουμε στα θέματα της Γ Γυμνασίου και Β Λυκείου αντίστοιχα.

Όταν ολοκληρωθούν αλλάζουμε χρονιά...

Β Γυμνασίου 1995

Θέμα 1ο

Να χαράξετε κύκλο (K,3cm)

. Με κέντρο το σημείο $\Lambda$ του κύκλου να χαράξετε δεύτερο
κύκλο $(\Lambda,3cm)$ .
Η διάκεντρος $K\Lambda$ τέμνει τον

στο

και τον $\Lambda$ στο

, αν προεκταθεί. Να κατασκευάσετε τις ακτίνες $K\Gamma$ , $\Lambda\Delta$ κάθετες στην $K\Lambda$ και προς το αυτό μέρος της $K\Lambda$ .
α) Τι είδους είναι τα σχήματα $K\Lambda\Delta\Gamma$ , $A\Gamma\Lambda$ , $A\Delta B$ , $AK\Delta\Gamma$ , $A\Gamma\Delta B$ ;
β) Να υπολογίσετε τα εμβαδά των πέντε αυτών σχημάτων.

Θέμα 2ο

Αν $a\neq 0$ και $a\neq -1$ να υπολογιστεί το άθροισμα:

$A=\dfrac{1}{a^{-1995}+1}+\dfrac{1}{a^{-1994}+1}+\cdots + \dfrac{1}{a^{0}+1}+\cdots + \dfrac{1}{a^{1994}+1}+\dfrac{1}{a^{1995}+1}$

Θέμα 3ο
Ποιος από τους αριθμούς Α, Β είναι μεγαλύτερος;
α) $A=(-1995)^{1996}$ και $B=(-1996)^{1995}$

β) $A=1-\left(\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\cdots + \dfrac{1}{99\cdot 100}\right)$ και B= 0,0100001

.
γ) $A=-\dfrac{5555553}{5555557}$ και $B=-\dfrac{6666665}{6666669}$ .

Θέμα 4ο
Έχουμε 200 αυγά τα οποία θέλουμε να τοποθετήσουμε σε καλάθια κατά τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε καλάθι να περιέχει διαφορετικό αριθμό αυγών. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός καλαθιών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε αυτή τη διαδικασία;

Δείτε το ευρετήριο όλων των διαγωνισμών της ΕΜΕ εδώ.

Αλέξανδρος

#2

Β Γυμνασίου

Θέμα 2ο

Αν $a\neq 0$ και $a\neq -1$ να υπολογιστεί το άθροισμα:

$A=\dfrac{1}{a^{-1995}+1}+\dfrac{1}{a^{-1994}+1}+\cdots + \dfrac{1}{a^{0}+1}+\cdots + \dfrac{1}{a^{1994}+1}+\dfrac{1}{a^{1995}+1}$

Λύση:

Αν ομαδοποιήσουμε τους προσθετέους παίρνουμε:

$\begin{aligned}A &=\left(\dfrac{1}{a^{-1995}+1}+\dfrac{1}{a^{1995}+1}\right)+\left(\dfrac{1}{a^{-1994}+1}+\dfrac{1}{a^{1994}+1}\right)+\cdots + \left(\dfrac{1}{a^{-1}+1}+\dfrac{1}{a^{1}+1}\right)+\dfrac{1}{a^0+1} \nonumber \\ &= \left(\dfrac{a^{1995}}{a^{1995}+1}+\dfrac{1}{a^{1995}+1}\right)+\left(\dfrac{a^{1994}}{a^{1994}+1}+\dfrac{1}{a^{1994}+1}\right)+\cdots + \left(\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{1}{a+1}\right) +\dfrac{1}{2} \nonumber \\ &= \dfrac{a^{1995}+1}{a^{1995}+1}+\dfrac{a^{1994}+1}{a^{1994}+1}+\cdots + \dfrac{a^{1994}+1}{a^{1994}+1} +\dfrac{1}{2} \nonumber \\ &= \underbrace{1+1+\cdots + 1}_{1995}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3991}{2}\end{aligned}$

Αλέξανδρος

#3

cretanman έγραψε:Θέμα 4ο
Έχουμε 200 αυγά τα οποία θέλουμε να τοποθετήσουμε σε καλάθια κατά τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε καλάθι να περιέχει διαφορετικό αριθμό αυγών. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός καλαθιών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε αυτή τη διαδικασία;

Γειά σου Αλέξανδρε. Πράγματι είναι χρήσιμο να έχουμε τις εκφωνίσεις και κυρίως τις λύσεις (μία ή περισσότερες) στα θέματα που έχουν τεθεί στο παρελθόν . Έχω όλα τα θέματα για Γυμνάσιο με τις λύσεις που έχω δώσει (χωρίς ίσως να είναι και οι συντομώτερες ή και οι καλύτερες)και αρκετές από του Λυκείου οπότε είμαι ¨μέσα" στην προσπάθεια που ξεκινάς.

Για το θέμα μας τώρα:

Για να πετύχω τον μέγιστο αριθμό καλαθιών με τους περιορισμούς του προβλήματος, θα πρέπει να βάζω όσο το δυνατόν λιγότερα αυγά σε κάθε καλάθι.
Έτσι στο πρώτο καλάθι, βάζω $\displaystyle{1}$ αυγό, στο δεύτερο $\displaystyle{2}$ . στο τρίτο $\displaystyle{3}$ κλπ, ... , στο νιοστό βάζω $\displaystyle{n}$ αυγά
Θέλω να είναι $\displaystyle{1+2+3+...+n=200}$

Αλλά γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\Rightarrow 200=\frac{n(n+1)}{2}\Rightarrow 400=n(n+1)}$

Παρατηρούμε ότι ο $\displaystyle{400}$ δεν γράφεται σαν γινόμενο δύο διαδοχικών φυσικών, όμως προσεγγίζουμε την λύση της εξίσωσης αυτής αν βάλλουμε $\displaystyle{n=19}$ . Τότε $\displaystyle{19.20=380}$ . Αυτό σημαίνει ότι σε $\displaystyle{19}$ καλάθια θα βάλουμε τα αυγά με τον τρόπο που περιγράψαμε ( $\displaystyle{1+2+3+...+19=190}$ ) αλλά θα μας περισσέψουν ακόμα

αυγά, τα οποία δεν μπορούμε με κανέναν τρόπο να τα τοποθετήσουμε σε καλάθια, γιατί θα υπάρχει κάποιο άλλο που θα έχει τον ίδιο αριθμό αυγών. Έτσι, τα τοποθετούμε π.χ στο τελευταίο καλάθι και συνεπώς ο μέγιστος αριθμός καλαθιών είναι

#4

cretanman έγραψε:Θέμα 3ο
Ποιος από τους αριθμούς Α, Β είναι μεγαλύτερος;
α) $A=(-1995)^{1996}$ και $B=(-1996)^{1995}$

β) $A=1-\left(\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\cdots + \dfrac{1}{99\cdot 100}\right)$ και .
γ) $A=-\dfrac{5555553}{5555557}$ και $B=-\dfrac{6666665}{6666669}$ .

(a) Ο αριθμός $\displaystyle{A}$ είναι θετικός (είναι σε άρτιο εκθέτη) και ο $\displaystyle{B}$ είναι αρνητικός (είναι σε περιττό εκθέτη με βάση αρνητική). Άρα $\displaystyle{A>B}$

(β) Παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle{\frac{1}{1.2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{\frac{1}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}$

$\displaystyle{....}$

$\displaystyle{.....}$

Άρα

$\displaystyle{A=1-[\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2} \right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)+...+\left(\frac{1}{99}-\frac{1}{100} \right)]=}$

$\displaystyle{1-(1-\frac{1}{100})=1-1+\frac{1}{100}=0,01<B}$

(γ) Έχουμε

$\displaystyle{A=-\frac{5555555-2}{5555555+2}=-\frac{5.1111111-2}{5.1111111+2}=\frac{5x-2}{5x+2}}$ όπου θέσαμε $\displaystyle{x=1111111}$

Επίσης $\displaystyle{B=-\frac{6x-1}{6x+3}}$ (ομοίως)

Για να συγκρίνω τους αριθμούς $\displaystyle{A , B}$ θα πάρω την διαφορά τους:

$\displaystyle{A-B=-\frac{5x-2}{5x+2}+\frac{6x-1}{6x+3}=...=\frac{4x+4}{(6x+3)(5x+2)}>0\Rightarrow A>B}$

freyia · #5

cretanman έγραψε:Θέμα 1ο
Να χαράξετε κύκλο . Με κέντρο το σημείο $\Lambda$ του κύκλου να χαράξετε δεύτερο
κύκλο $(\Lambda,3cm)$ .
Η διάκεντρος $K\Lambda$ τέμνει τον στο και τον $\Lambda$ στο , αν προεκταθεί. Να κατασκευάσετε τις ακτίνες $K\Gamma$ , $\Lambda\Delta$ κάθετες στην $K\Lambda$ και προς το αυτό μέρος της $K\Lambda$ .
α) Τι είδους είναι τα σχήματα $K\Lambda\Delta\Gamma$ , $A\Gamma\Lambda$ , $A\Delta B$ , $AK\Delta\Gamma$ , $A\Gamma\Delta B$ ;
β) Να υπολογίσετε τα εμβαδά των πέντε αυτών σχημάτων.

Χωρίς το σχήμα γιατί δεν ξέρω να το φτιάξω εδώ

Το $\displaystyle{K\Lambda\Delta \Gamma }$ είναι τετράγωνο αφού είναι παραλληλόγραμμο διότι $\displaystyle{K\Lambda//=\Delta \Gamma }$
, έχει μια γωνία ορθή και δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. Το εμβαδόν είναι $\displaystyle{E=9cm^{2}}$

To $\displaystyle{A\Gamma \Lambda}$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο αφού $<A\Gamma \Lambda=90^{0}$ διότι είοναι εγγεγραμμένη και βαίνει σε ημικύκλιο και τα τόξα $\displaystyle{A\Gamma ,\Gamma \Lambda}$ είναι ίσα αφού είναι ίσες οι επίκεντρες γωνίες
Επίσης από το Πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε $\displaystyle{\Gamma \Lambda=\sqrt{18}}$ και άρα το εμβαδόν είναι $\displaystyle{E=\frac{\sqrt{18}.\sqrt{18}}{2}=9cm^{2}}$

To $\displaystyle{A\Delta B}$ είναι αμβλυγώνιο τρίγωνο διότι $\displaystyle{<B=45^{0}, <BA\Delta <45^{0}}$

Το εμβαδόν είναι $\displaystyle{E=\frac{AB.\Delta \Lambda}{2}=\frac{27}{2}cm^{2}}$

To $\displaystyle{AK\Delta \Lambda}$ είναι παραλληλόγραμμο αφού $\displaystyle{AK//=\Gamma \Delta }$ και $\displaystyle{E=AK.\Delta \Lambda=9cm^{2}}$

To $\displaystyle{A\Gamma \Delta B}$ είναι ισοσκελές τραπέζιο με εμβαδόν $\displaystyle{E=\frac{(AB+\Gamma \Delta ).\Delta \Lambda}{2}=\frac{(9+3).3}{2}=18cm^{2}}$

#6

Επισυνάπτω και το σχήμα στην παραπάνω λύση.

: thalis95bgymn.png (18.29 KiB) Προβλήθηκε 4662 φορές

Αλέξανδρος

#7

Για την άσκηση 4 θεωρώ σωστό να προσθέσουμε ακόμη ένα καλάθι που να μην περιέχει καθόλου αυγά.

#8

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: Γειά σου Αλέξανδρε. Πράγματι είναι χρήσιμο να έχουμε τις εκφωνίσεις και κυρίως τις λύσεις (μία ή περισσότερες) στα θέματα που έχουν τεθεί στο παρελθόν . Έχω όλα τα θέματα για Γυμνάσιο με τις λύσεις που έχω δώσει (χωρίς ίσως να είναι και οι συντομώτερες ή και οι καλύτερες)και αρκετές από του Λυκείου οπότε είμαι ¨μέσα" στην προσπάθεια που ξεκινάς.

Ωραία Δημήτρη! Αρκετό καιρό σκέφτομαι να ξεκινήσω αυτό το ευρετήριο αλλά προσπαθούσα να βρω ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος για να γίνει αυτό. Μάλλον δε μπορούμε να κάνουμε κάτι παραπάνω από αυτό.

Είμαι σίγουρος ότι μετά το τέλος της προσπάθειας αυτής θα μείνει ένα όμορφο υλικό για να εκπαιδεύει τους μαθητές που ασχολούνται με το αντικείμενο των μαθηματικών διαγωνισμών στη χώρα μας.

Μέχρι την επόμενη χρονιά έχουμε πολύ χρόνο μπροστά μας.

Αλέξανδρος

qwerty · #9

cretanman έγραψε:
Αρκετό καιρό σκέφτομαι να ξεκινήσω αυτό το ευρετήριο αλλά προσπαθούσα να βρω ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος για να γίνει αυτό. Μάλλον δε μπορούμε να κάνουμε κάτι παραπάνω από αυτό.

Μια ιδέα είναι να γίνει κάτι σαν αυτό του mathlinks http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?

#10

qwerty έγραψε: Μια ιδέα είναι να γίνει κάτι σαν αυτό του mathlinks http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?

Αυτό ακριβώς σκεφτόμουν! Για κάτι τέτοιο όμως, πρέπει να επέμβουμε αρκετά στον κώδικα κάτι το οποίο δεν είναι τόσο εύκολο! Κατέληξα σε αυτή τη λύση διότι εδώ στην Ελλάδα δεν έχουμε τόσους διαφορετικούς διαγωνισμούς (Θαλής, Ευκλείδης, Αρχιμήδης, Προκριματικός/Εσωτερικός) οπότε μπορεί εύκολα να γίνει με υπερσυνδέσμους που θα σε στέλνουν στο αντίστοιχο θέμα που έγινε η συζήτηση. Κάτι αντίστοιχο δηλαδή με αυτό που έχει κάνει ο parmenides εδώ ή ο Δημήτρης εδώ.

Αλέξανδρος

parmenides51 · #11

Πιστεύω πως θα ήταν καλύτερα να μπει σαν διαφορετικό θέμα κάθε μια εξέταση,
δηλαδή ένα θέμα ΘΑΛΗΣ 1995 ΒΓΥΜΝ και διαφορετικά θέματα τα ΘΑΛΗΣ 1995 ΓΓΥΜΝ, ΘΑΛΗΣ 1995 ΑΛΥΚ, 1995 ΒΛΥΚ και 1995 ΓΛΥΚ.

Μέτα θα είναι πιο εύκολη η ταξινόμηση πχ:

ΘΑΛΗΣ
1995: ΒΓΥΜΝ, ΓΓΥΜΝ, ΑΛΥΚ, ΒΛΥΚ, ΓΛΥΚ
1996: ΒΓΥΜΝ, ΓΓΥΜΝ, ΑΛΥΚ, ΒΛΥΚ, ΓΛΥΚ
1997: ΒΓΥΜΝ, ΓΓΥΜΝ, ΑΛΥΚ, ΒΛΥΚ, ΓΛΥΚ
...
2011: ΒΓΥΜΝ, ΓΓΥΜΝ, ΑΛΥΚ, ΒΛΥΚ, ΓΛΥΚ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ
1995: ΒΓΥΜΝ, ΓΓΥΜΝ, ΑΛΥΚ, ΒΛΥΚ, ΓΛΥΚ
1996: ΒΓΥΜΝ, ΓΓΥΜΝ, ΑΛΥΚ, ΒΛΥΚ, ΓΛΥΚ
1997: ΒΓΥΜΝ, ΓΓΥΜΝ, ΑΛΥΚ, ΒΛΥΚ, ΓΛΥΚ
...
2011: ΒΓΥΜΝ, ΓΓΥΜΝ, ΑΛΥΚ, ΒΛΥΚ, ΓΛΥΚ

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
1995: ΜΙΚΡΟΙ , ΜΕΓΑΛΟΙ
1996: ΜΙΚΡΟΙ , ΜΕΓΑΛΟΙ
1997: ΜΙΚΡΟΙ , ΜΕΓΑΛΟΙ
...
2011: ΜΙΚΡΟΙ , ΜΕΓΑΛΟΙ

και κάθε αρχείο ανά χρονιά και τάξη να αποτελεί μια παραπομπή όπου θα βρίσκονται οι σχετικές λύσεις

Δεν χρειάζεται καμία μετατροπή σε κώδικα έτσι.

#12

Ακριβώς αυτό έχω στο μυαλό μου parmenides. Απλά είπα να μην έχουμε πολλά μέτωπα ανοικτά (επειδή είναι πολλοί διαγωνισμοί) και γι' αυτό το λόγο δεν άνοιξα ξεχωριστά θέματα για κάθε τάξη. Όμως αυτό είναι το καλύτερο! Ας δούμε πως θα πάει και πιθανόν να κάνουμε αυτή την αλλαγή. Είναι εύκολο να αλλάξει...

Αλέξανδρος

Karanus · #13

Καλησπέρα
Αφού σε λίγες ημέρες ακολουθεί ο διαγωνισμός του Αρχιμήδη, μήπως η προσπάθεια αυτή έπρεπε να ξεκινήσει απο αυτούς τους διαγωνισμούς;

parmenides51 · #14

Για τον διαγωνισμό του Αρχιμήδη προς το παρόν υπάρχει αυτό.

ΘΑΛΗΣ 1995 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

ΘΑΛΗΣ 1995 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟY

Μέλη σε σύνδεση