ΘΑΛΗΣ 1995 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

#1

Γ Γυμνασίου

Θέμα 1ο
Δύο μαθητές Α, Β χρησιμοποιούν ένα πίνακα 3x3, όπως στο σχήμα, για να παίξουν "τρίλιζα". Καθένας γράφει σ' ένα τετραγωνάκι της επιλογής του ένα σταυρό ή έναν κύκλο. (Και οι δύο έχουν δυνατότητα να χρησιμοποιήσουν και το σταυρό και τον κύκλο, όποιο
θέλουν σε κάθε τους κίνηση ανεξάρτητα με τι χρησιμοποίησαν νωρίτερα.) Θα νικήσει αυτός, ο οποίος πρώτος γράφει ένα σύμβολο που είναι το ίδιο στα τρία τετράγωνα μιας γραμμής ή μιας στήλης ή μιας διαγωνίου του πίνακα. Για ποιον παίκτη υπάρχει σίγουρη στρατηγική να κερδίσει; Γιατί;

$\begin{tabular}{|l|l|l|} \hline & & \\ \hline & & \\ \hline & & \\ \hline \end{tabular}$

Θέμα 2ο

Να βρεθεί το πλήθος των αριθμών του συνόλου
$A=\{1,11,111,1111,\ldots,\underbrace{11\ldots 1}_{1995}\}$ , οι
οποίοι είναι πολλαπλάσια του 7.

Θέμα 3ο

Έστω τρίγωνο ABC

με εμβαδό 2. Για τα μήκη των πλευρών του ABC

ισχύει: $a\geq b \geq c$ . Να δειχτεί ότι $b \geq 2$ . Πότε ισχύει το ίσον;

Θέμα 4ο

Να υπολογιστούν οι αριθμοί a,b,c

για τους οποίους ισχύει: a^2+b^2+c^2-2a-4b-6c+14=0

.

Δείτε το ευρετήριο όλων των διαγωνισμών της ΕΜΕ εδώ.

Αλέξανδρος

gauss1988 · #2

cretanman έγραψε:Θέμα 4ο
Να υπολογιστούν οι αριθμοί για τους οποίους ισχύει: .

Έχουμε $\displaystyle{ a^{2}-2a+1+b^{2}-4b+4+c^{2}-6c+9=0\Rightarrow (a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-3)^{2}=0\Rightarrow }$

$\displaystyle{a=1 , b=2 , c=3 }$ .

gauss1988 · #3

cretanman έγραψε:Γ ΓυμνασίουΘέμα 2ο

Να βρεθεί το πλήθος των αριθμών του συνόλου
$A=\{1,11,111,1111,\ldots,\underbrace{11\ldots 1}_{1995}\}$ , οι
οποίοι είναι πολλαπλάσια του 7.

Ο πρώτος ξατά σειρά αριθμός του συνόλου που διαιρείται με το $\displaystyle{7}$ είναι ο $\displaystyle{111111}$ . Ο επόμενος είναι ο $\displaystyle{111111111111}$ , ο άλλας ο $\displaystyle{111111111111111111}$ , ..., ο τελευταίος είναι $\displaystyle{\ldots,\underbrace{11\ldots 1}_{1992}}$

Πιο αναλυτικά, ο πρώτος αριθμός έχει $\displaystyle{6}$ άσσους, ο δεύτερος $\displaystyle{2.6}$ άσσους , ο τρίτος $\displaystyle{3.6}$ άσσους , ... , και ο τελευταίος έχει $\displaystyle{332.6}$ άσσους. Άρα όλοι οι αριθμοί του συνόλου $\displaystyle{A}$ που είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{7}$ είναι $\displaystyle{332}$

#4

cretanman έγραψε: Θέμα 3ο

Έστω τρίγωνο με εμβαδό 2. Για τα μήκη των πλευρών του ισχύει: $a\geq b \geq c$ . Να δειχτεί ότι $b \geq 2$ . Πότε ισχύει το ίσον;

Έστω $\upsilon_b$ που αντιστοιχεί στην πλευρά

. Τότε $\upsilon_b\leq c$ διότι η υποτείνουσα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι αυστηρά μεγαλύτερη από κάθε κάθετη πλευρά (Η ισότητα ισχύει μόνο αν το ABC

είναι ορθογώνιο στο

).

Άρα έχουμε $2=E=\dfrac{1}{2}b\upsilon_b\leq\dfrac{1}{2} bc\leq \dfrac{1}{2}b^2$ άρα $b^2\geq 4$ οπότε $b\geq 2$ .

Αλέξανδρος

#5

Το 1ο θέμα έχει συζητηθεί εδώ.

Το 2ο θέμα έχει συζητηθεί επίσης.

#6

Παύλο ευχαριστούμε πολύ για τα link. Συνεχίζουμε λοιπόν στο Γυμνάσιο με τον Ευκλείδη της ίδιας χρονιάς για την Β Γυμνασίου.

Αλέξανδρος

parmenides51 · #7

cretanman έγραψε:
cretanman έγραψε: Θέμα 3ο

Έστω τρίγωνο με εμβαδό 2. Για τα μήκη των πλευρών του ισχύει: $a\geq b \geq c$ . Να δειχτεί ότι $b \geq 2$ . Πότε ισχύει το ίσον;
Έστω $\upsilon_b$ που αντιστοιχεί στην πλευρά . Τότε $\upsilon_b\leq c$ διότι η υποτείνουσα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι αυστηρά μεγαλύτερη από κάθε κάθετη πλευρά (Η ισότητα ισχύει μόνο αν το είναι ορθογώνιο στο ).

Άρα έχουμε $2=E=\dfrac{1}{2}b\upsilon_b\leq\dfrac{1}{2} bc\leq \dfrac{1}{2}b^2$ άρα $b^2\geq 4$ οπότε $b\geq 2$ .

Αλέξανδρος

Υπάρχει καμία άλλη ιδέα για το τρίτο θέμα, μιας και η παραπάνω λύση δεν μου φαίνεται ιδιαίτερα προσιτή;

ΘΑΛΗΣ 1995 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 1995 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1995 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση