Επίλυση εξίσωσης

#1

Να λύσετε στους πραγματικούς την εξίσωση:
$\displaystyle{ \sqrt {1 - \sqrt {x^4 - x^2 } } = x - 1 }$

Γιώργος Απόκης · #2

Mε τους περιορισμούς $x\geq 1$ , $x^4-x^2\geq 0\Leftrightarrow x^2-1\geq 0 \overset{x\geq 1}\Leftrightarrow x\geq 1$ και

$\displaystyle{1-\sqrt{x^4-x^2}\geq 0\Leftrightarrow x^4-x^2\leq 1\overset{x\geq 1}\Leftrightarrow x\in \left[1,\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right]=A}$ , έχουμε :

$\displaystyle{1-\sqrt{x^4-x^2}=(x-1)^2\Rightarrow -\sqrt{x^4-x^2}=x^2-2x\Rightarrow \sqrt{x^4-x^2}=2x-x^2\overset{x\in A}\Rightarrow x^4-x^2=4x^2-4x^3+x^4\Rightarrow }$

$\displaystyle{\Rightarrow 4x^3-5x^2=0\overset{x\in A}\Rightarrow x=\frac{5}{4}}$ που επαληθεύει και ανήκει στο

.

PanosG · #3

Είναι πονηρή η $x^4-x^2\geq 0$ λίγοι την λύνουν σωστά στη Β Λυκείου, την οποία ο Γιώργος όμως της έκανε τρίπλα αφου στην συγκεκριμένη άσκηση πρέπει και $x\geq 1$ . Αν η αρχική εξίσωση ήταν;

$\displaystyle{ \sqrt {1 - \sqrt {x^4 - x^2 } } = x + 1}$

Γιώργος Απόκης · #4

Mε τους περιορισμούς $x\geq -1$ , $x^4-x^2\geq 0\Leftrightarrow x^2(x^2-1)\geq 0 \overset{x\geq -1}\Leftrightarrow x\geq 1~\acute{\eta}~x=-1~\acute{\eta}~x=0$ (1) και

$\displaystyle{1-\sqrt{x^4-x^2}\geq 0\Leftrightarrow x^4-x^2\leq 1\overset{(1)}\Leftrightarrow x\in \{0,-1\}\cup\left[1,\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right]=A}$ , έχουμε :

$\displaystyle{1-\sqrt{x^4-x^2}=(x+1)^2\Rightarrow -\sqrt{x^4-x^2}=x^2+2x\Rightarrow \sqrt{x^4-x^2}=-2x-x^2\overset{x\in A}\Rightarrow x^4-x^2=4x^2+4x^3+x^4\Rightarrow }$

$\displaystyle{\Rightarrow 4x^3+5x^2=0\overset{x\in A}\Rightarrow x=0}$ που επαληθεύει και ανήκει στο

.

Επίλυση εξίσωσης

Επίλυση εξίσωσης

Re: Επίλυση εξίσωσης

Re: Επίλυση εξίσωσης

Re: Επίλυση εξίσωσης

Μέλη σε σύνδεση