ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Συντονιστής: R BORIS
ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Ας συνεχίσουμε τη συλλογή θεμάτων με το τελευταίο κεφάλαιο της ανάλυσης, τον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Καλό θα ήταν να ακολουθήσουμε το πνέυμα των προηγούμενων συλλογών. Δηλαδή:
1)θέματα κοντά στο πνεύμα των εξετάσεων, χωρίς εξεζητημένα ερωτήματα
2)Όχι θέματα εξετάσεων ή ΟΕΦΕ
3)Ικανός αριθμός υποερωτημάτων
4) Προσπάθεια για όσο το δυνατόν πιο αναλυτικές λύσεις
5) Όχι πάνω από 2-3 άλυτες ταυτόχρονα
Κάνω την αρχή με ένα θέμα του Μπαϊλάκη
1)θέματα κοντά στο πνεύμα των εξετάσεων, χωρίς εξεζητημένα ερωτήματα
2)Όχι θέματα εξετάσεων ή ΟΕΦΕ
3)Ικανός αριθμός υποερωτημάτων
4) Προσπάθεια για όσο το δυνατόν πιο αναλυτικές λύσεις
5) Όχι πάνω από 2-3 άλυτες ταυτόχρονα
Κάνω την αρχή με ένα θέμα του Μπαϊλάκη
Παντούλας Περικλής
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΑΣΚΗΣΗ 121η
Έστω η συνεχής συνάρτηση , με για κάθε , ώστε να ισχύει:, για κάθε
i) Να δείξετε ότι , για κάθε
ii) Να βρείτε τον τύπο της
iii) Να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης όταν
iv) Να δείξετε ότι η συνάρτηση , , είναι σταθερή
v) Αν , να δείξετε ότι ισχύει
Έστω η συνεχής συνάρτηση , με για κάθε , ώστε να ισχύει:, για κάθε
i) Να δείξετε ότι , για κάθε
ii) Να βρείτε τον τύπο της
iii) Να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης όταν
iv) Να δείξετε ότι η συνάρτηση , , είναι σταθερή
v) Αν , να δείξετε ότι ισχύει
Παντούλας Περικλής
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
i) Για έχουμε: και αφού η συνεχής και δεν μηδενίζεται στο τότε θα διατηρεί σταθερό πρόσημο. Οπότεperpant έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 121η
Έστω η συνεχής συνάρτηση , με για κάθε , ώστε να ισχύει:, για κάθε
i) Να δείξετε ότι , για κάθε
ii) Να βρείτε τον τύπο της
iii) Να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης όταν
iv) Να δείξετε ότι η συνάρτηση , , είναι σταθερή
v) Αν , να δείξετε ότι ισχύει
ii) Θέτουμε τότε και όταν το Ενώ αν το οπότε:
Παραγωγίζοντας την παραπάνω έχουμε:
Όμως άρα
Και αφού τότε
iii)
Άρα η ευθεία είναι η πλάγια ασύμπτωτη της στο
iv)
Άρα:
Οπότε η είναι σταθερή
v)
Απο ΘΜΤ για την στο υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ τέτοιο ώστε
Οπότε:
τελευταία επεξεργασία από PanosG σε Τετ Μαρ 07, 2012 10:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
- ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
- Δημοσιεύσεις: 681
- Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΛΥΣΗperpant έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 121η
Έστω η συνεχής συνάρτηση , με για κάθε , ώστε να ισχύει:, για κάθε
i) Να δείξετε ότι , για κάθε
ii) Να βρείτε τον τύπο της
iii) Να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης όταν
iv) Να δείξετε ότι η συνάρτηση , , είναι σταθερή
v) Αν , να δείξετε ότι ισχύει
i. Έχουμε
Έστω οτι η δεν διατηρεί σταθέρο πρόσημό , τότε υπάρχουν με τέτοια ώστε .
Τότε επειδή η είναι συνεχής στο , είναι και στο και ,
Τότε από θεώρημα έχουμε οτι υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε , που είναι Ατοπο, διότι . Συνεπώς η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο.
Θέτουμε τότε . Για έχουμε και για έχουμε .
Οπότε
Για έχουμε και επειδή η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο , έχουμε οτι
ii. Η συνεχής στο , οπότε η συνεχής στο .
Άρα η παραγωγίσιμη στο , συνεπώς η παραγωγίσιμη στο .Άρα η παραγωγίσιμη στο , με
Οπότε
Για έχουμε , οπότε και επειδή έχουμε , που επάληθεύει την αρχική σχέση.
iii.
Και
Άρα η είναι η ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο
iv.
Η είναι συνεχής στο , άρα η και η παραγωγίσιμες στο ,συνεπώς η παραγωγίσιμη στο
με
Επομένως η σταθέρή, ακόμα για έχουμε , οπότε
v. Για ισχύει η ισότητα στην σχέση
Για (όμοια αν ) θέλουμε να δείξουμε
Έστω οτι , τότε έχουμε
Η συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο , οπότε από έχουμε οτι υπάρχει τέτοιο ώστε
Οπότε , δηλάδή
Άτοπο, οπότε
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ σε Τετ Μαρ 07, 2012 10:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
- Δημοσιεύσεις: 681
- Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΑΣΚΗΣΗ 122
Δίνεται η συνάρτηση
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
β. Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της έχει σημεία καμπής
γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο
δ. Να αποδείξετε οτι για κάθε
ε. Αν το εμβαδόν του χωρίου που περικλύεται μεταξύ της , του άξονα και των ευθειών και , να αποδείξετε οτι
Ι.Γαρατζιώτης & Π.Μαστακας (εκδόσεις κέδρος)
Δίνεται η συνάρτηση
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
β. Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της έχει σημεία καμπής
γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο
δ. Να αποδείξετε οτι για κάθε
ε. Αν το εμβαδόν του χωρίου που περικλύεται μεταξύ της , του άξονα και των ευθειών και , να αποδείξετε οτι
Ι.Γαρατζιώτης & Π.Μαστακας (εκδόσεις κέδρος)
- ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
- Δημοσιεύσεις: 681
- Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΑΣΚΗΣΗ 123
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει
α. Να αποδείξετε οτι η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα
β. Να αποδείξετε οτι υπάρχει τέτοιο ώστε
γ. Να αποδείξετε οτι με και
δ. Αν η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο στο , τότε να αποδείξετε οτι
Ι.Γαρατζιώτης & Π.Μαστακας (εκδόσεις κέδρος)
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει
α. Να αποδείξετε οτι η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα
β. Να αποδείξετε οτι υπάρχει τέτοιο ώστε
γ. Να αποδείξετε οτι με και
δ. Αν η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο στο , τότε να αποδείξετε οτι
Ι.Γαρατζιώτης & Π.Μαστακας (εκδόσεις κέδρος)
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ σε Κυρ Ιαν 29, 2012 9:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Μια άλλη λύση για το (iv)perpant έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 121η
Έστω η συνεχής συνάρτηση , με για κάθε , ώστε να ισχύει:, για κάθε
i) Να δείξετε ότι , για κάθε
ii) Να βρείτε τον τύπο της
iii) Να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης όταν
iv) Να δείξετε ότι η συνάρτηση , , είναι σταθερή
v) Αν , να δείξετε ότι ισχύει
Έστω
Για κάθε ισχύει και
Άρα η είναι περιττή, οπότε (*)
(*) Απόδειξη
Είναι:
και
τελευταία επεξεργασία από apotin σε Κυρ Ιαν 29, 2012 7:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Αποστόλης
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 123
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει
α. Να αποδείξετε οτι η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα
β. Να αποδείξετε οτι υπάρχει τέτοιο ώστε
γ. Να αποδείξετε οτι με και
δ. Αν η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο στο , τότε να αποδείξετε οτι
Ι.Γαρατζιώτης & Π.Μαστακας (εκδόσεις κέδρος)
α) Επειδή συνεχής (ως παραγωγίσιμη ) στο και η συνάρτηση είναι μια παράγουσα της στο
(δηλαδή παραγωγίσιμη στο ) και με παραγωγίσιμες στο (ταυτοτική - δεδομένο) προκύπτει ότι
η είναι παραγωγίσιμη στο (πράξεις με παραγωγίσιμες) δηλαδή η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο
β) Για και για
Επειδή παραγωγίσιμη στο από το θεώρημα της Μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού για την στο
θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ώστε:
γ) Από
και
δ) Αφού η παρουσιάζει ακρότατο σε εσωτερικό σημείο και από
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 122
α) Έστω . Για να ορίζεται η πρέπει
και αφού και θα είναι και
β) Η είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της άρα και η θα είναι παραγωγίσιμη με
και αφού η είνα παραγωγίσιμη και η θα είναι με
συνεπώς η θα είναι κοίλη στο και δεν θα παρουσιάζει καμπή.
γ) Είναι και άρα και η ζητούμενη εφαπτομένη είναι η ευθεία
δ) Αφού η είναι κοίλη , η θα βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της στο , εκτός από το
στο οποίο θα τέμνονται, άρα θα ισχύει και
ε) Αν είναι το εμβαδόν του χωρίου που ψάχνουμε , θα είναι
(1)
, όμως από το (β) είναι και , άρα η θα είναι και γνησίως αύξουσα στο
Έτσι για και
(1)
Από το (δ) είναι
α) Έστω . Για να ορίζεται η πρέπει
και αφού και θα είναι και
β) Η είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της άρα και η θα είναι παραγωγίσιμη με
και αφού η είνα παραγωγίσιμη και η θα είναι με
συνεπώς η θα είναι κοίλη στο και δεν θα παρουσιάζει καμπή.
γ) Είναι και άρα και η ζητούμενη εφαπτομένη είναι η ευθεία
δ) Αφού η είναι κοίλη , η θα βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της στο , εκτός από το
στο οποίο θα τέμνονται, άρα θα ισχύει και
ε) Αν είναι το εμβαδόν του χωρίου που ψάχνουμε , θα είναι
(1)
, όμως από το (β) είναι και , άρα η θα είναι και γνησίως αύξουσα στο
Έτσι για και
(1)
Από το (δ) είναι
1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΑΣΚΗΣΗ 124
Δίνεται η συνάρτηση
α)Να εξετάσετε την ως προς τη μονοτονία της.
β) Να δείξετε ότι
γ) Να δείξετε ότι
δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την , τον και τις ευθείες .
( Χρήστος Πατήλας, εκδόσεις ελληνοεκδοτική)
Δίνεται η συνάρτηση
α)Να εξετάσετε την ως προς τη μονοτονία της.
β) Να δείξετε ότι
γ) Να δείξετε ότι
δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την , τον και τις ευθείες .
( Χρήστος Πατήλας, εκδόσεις ελληνοεκδοτική)
τελευταία επεξεργασία από Κοτρώνης Αναστάσιος σε Δευ Ιαν 30, 2012 1:43 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Λόγος: ln σε \ln
Λόγος: ln σε \ln
1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
- ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
- Δημοσιεύσεις: 681
- Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΛΥΣΗpito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 124
Δίνεται η συνάρτηση
α)Να εξετάσετε την ως προς τη μονοτονία της.
β) Να δείξετε ότι
γ) Να δείξετε ότι
δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την , τον και τις ευθείες .
( Χρήστος Πατήλας, εκδόσεις ελληνοεκδοτική)
α. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
Πρέπει που ισχύει , διότι
Η συνεχής στο , οπότε το παραγωγίσιμο στο , άρα η παραγωγίσιμη στο ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με
Επομένως , άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο
β. Έχουμε και
Ακόμα έχουμε
Έχουμε
Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο έχουμε
Επομένως
γ. Θεωρώ , η συνεχής στο , οπότε το παραγωγίσιμο στο , άρα η παραγωγίσιμη στο με
Συνεπώς . Όμως , οπότε για έχουμε ,άρα
δ. Έχουμε για οτι
Έχουμε , οπότε
( τετραγωνικές μονάδες )
-
- Δημοσιεύσεις: 410
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Παρατήρηση:ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 123
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει
α. Να αποδείξετε οτι η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα
β. Να αποδείξετε οτι υπάρχει τέτοιο ώστε
γ. Να αποδείξετε οτι με και
δ. Αν η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο στο , τότε να αποδείξετε οτι
Ι.Γαρατζιώτης & Π.Μαστακας (εκδόσεις κέδρος)
Ο προσοδείκτης , δεν μπαίνει στο τέλος μιας πρότασης , αλλά στην αρχή.
Γιώργος Τσικαλουδάκης
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΑΣΚΗΣΗ 125
Αν και
i) Να δείξετε οτι η , αντιστρέφεται και να ορίσετε την
ii)Nα βρείτε το εμβαδον του χωρίου που περιλείεται απο
iii) Βρείτε τις ασύμπτωτες της
iv) Να δείξετε οτι :.
φιλικά dennys
ηθελα να την δώσω ετσι χωρίς παραγωγίσιμη ,αλλά επειδη δυσκολεύει η μονοτονία ας την πούμε παραγωγίσιμη
μετα απο υπόδειξη του Δ.Κατσίποδα.
Αν και
i) Να δείξετε οτι η , αντιστρέφεται και να ορίσετε την
ii)Nα βρείτε το εμβαδον του χωρίου που περιλείεται απο
iii) Βρείτε τις ασύμπτωτες της
iv) Να δείξετε οτι :.
φιλικά dennys
ηθελα να την δώσω ετσι χωρίς παραγωγίσιμη ,αλλά επειδη δυσκολεύει η μονοτονία ας την πούμε παραγωγίσιμη
μετα απο υπόδειξη του Δ.Κατσίποδα.
τελευταία επεξεργασία από dennys σε Κυρ Ιαν 29, 2012 11:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΑΣΚΗΣΗ 126
Εστω η συνάρτηση ,συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο
Αν , συνάρτηση με
και ο μιγαδικός ,τότε:
a)Να αποδείξετε οτι οι εικόνες του μιγαδικού,ανήκουν στην ευθεία (ε)
b)Aν η ευθεία ε, είναι πλάγια ασύμπτωτη της ,στο να
βρείτε τον πραγματικό αριθμό
c)Να αποδείξετε οτι:
d)Να αποδείξετε οτι η είναι παραγωγίσιμη στο
e) Αν ο μιγαδικός ικανοποιεί την σχέση (1)
να δειχθεί οτι υπα΄ρχει
dennys
Εστω η συνάρτηση ,συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο
Αν , συνάρτηση με
και ο μιγαδικός ,τότε:
a)Να αποδείξετε οτι οι εικόνες του μιγαδικού,ανήκουν στην ευθεία (ε)
b)Aν η ευθεία ε, είναι πλάγια ασύμπτωτη της ,στο να
βρείτε τον πραγματικό αριθμό
c)Να αποδείξετε οτι:
d)Να αποδείξετε οτι η είναι παραγωγίσιμη στο
e) Αν ο μιγαδικός ικανοποιεί την σχέση (1)
να δειχθεί οτι υπα΄ρχει
dennys
τελευταία επεξεργασία από Κοτρώνης Αναστάσιος σε Δευ Ιαν 30, 2012 1:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: lim σε \lim sin σε \sin
Λόγος: lim σε \lim sin σε \sin
Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΑΣΚΗΣΗ 127
Έστω συνάρτηση , δυο φορές παραγωγίσιμη στο με την συνεχή στους πραγματικούς αριθμούς .Αν η συνάρτηση ικανοποιεί τις συνθήκες τότε
α. Να βρείτε τον τύπο της
β. Να αποδείξετε ότι
γ. Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο διάστημα με σύνολο τιμών το
να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μια μόνο λύση στο
(Θεματογραφία Μαθηματικών Γ Λυκείου , Γ.Κομπότης )
Γιάννης Σταματογιάννης
Έστω συνάρτηση , δυο φορές παραγωγίσιμη στο με την συνεχή στους πραγματικούς αριθμούς .Αν η συνάρτηση ικανοποιεί τις συνθήκες τότε
α. Να βρείτε τον τύπο της
β. Να αποδείξετε ότι
γ. Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο διάστημα με σύνολο τιμών το
να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μια μόνο λύση στο
(Θεματογραφία Μαθηματικών Γ Λυκείου , Γ.Κομπότης )
Γιάννης Σταματογιάννης
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
- alexandropoulos
- Δημοσιεύσεις: 357
- Εγγραφή: Παρ Απρ 03, 2009 8:30 pm
- Τοποθεσία: ΠΙΚΕΡΜΙ
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Για το (i)dennys έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 125
Αν και
i) Να δείξετε οτι η , αντιστρέφεται και να ορίσετε την
ii)Nα βρείτε το εμβαδον του χωρίου που περιλείεται απο
iii) Βρείτε τις ασύμπτωτες της
iv) Να δείξετε οτι :.
φιλικά dennys
ηθελα να την δώσω ετσι χωρίς παραγωγίσιμη ,αλλά επειδη δυσκολεύει η μονοτονία ας την πούμε παραγωγίσιμη
μετα απο υπόδειξη του Δ.Κατσίποδα.
Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη , οπότε. Η τελευταία μας οδηγεί στο συμπέρασμα πως άρα η συνάρτηση γνησίως αύξουσα.
Είναι .
Για προκύπτει και επειδή για κάθε τιμή του από προκύπτει ότι
Δηλαδή,
Δηλαδή, . Θέτω και προκύπτει ότι .
ii) H είναι γνησίως αύξουσα οπότε . Το ζητούμενο εμβαδόν ισούται με . Θέτοντας ισοδύναμα προκύπτει και διαφορίζοντας .
Όταν τότε . Από τη μονοτονία της συνάρτησης προκύπτει μοναδική λύση .
Όταν τότε . Από τη μονοτονία της συνάρτησης προκύπτει μοναδική λύση . Επομένως,.
iii) Εργαζομαι με τη συμμετρία των γραφικών παραστάσεων των ως προς την ευθεία .
Είναι, με D.L.H. . Άρα, η δεν έχει ασύμπτωτη.
Όμοια προκύπτει ότι η έχει πλάγια ασύμπτωτη στο μείον άπειρο την ευθεία . Η συμμετρική της ως προς την (λόγω καθετότητας) προκύπτει ότι είναι η
iv) Με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα για τη συνάρτηση διαπιστώνουμε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε . Από την μονοτονία της στα διαστήματα προκύπτει το ζητούμενο.
Κατόπιν υπόδειξης του Κου Κατσίποδα διορθώθηκε το εμβαδόν
τελευταία επεξεργασία από alexandropoulos σε Πέμ Φεβ 02, 2012 10:37 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
...ΤΗΝ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑ ΠΟΥ ΧΑΝΕΙΣ
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΑΣΚΗΣΗ 128
Έστω η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία δίνονται
α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και να βρείτε το σύνολο τιμών της
β. Να αποδειξετε ότι η ευθε'ια εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης
γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
δ.Να αποδείξετε ότι
1.
2.
3.
ε. Να αποδείξετε ότι η ευθεία τέμνει ακριβώς σε ένα μόνο σημείο την γραφική παράσταση της
στ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν
ζ.Να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης
(Γ.Μπαιλάκης Θέματα Μαθηματικών )
Γιάννης Σταματογιάννης
Έστω η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία δίνονται
α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και να βρείτε το σύνολο τιμών της
β. Να αποδειξετε ότι η ευθε'ια εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης
γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
δ.Να αποδείξετε ότι
1.
2.
3.
ε. Να αποδείξετε ότι η ευθεία τέμνει ακριβώς σε ένα μόνο σημείο την γραφική παράσταση της
στ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν
ζ.Να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης
(Γ.Μπαιλάκης Θέματα Μαθηματικών )
Γιάννης Σταματογιάννης
τελευταία επεξεργασία από Κοτρώνης Αναστάσιος σε Δευ Ιαν 30, 2012 1:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση αρίθμησης
Λόγος: Διόρθωση αρίθμησης
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
- ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
- Δημοσιεύσεις: 681
- Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΛΥΣΗdennys έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 126
Εστω η συνάρτηση ,συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο
Αν , συνάρτηση με
και ο μιγαδικός ,τότε:
a)Να αποδείξετε οτι οι εικόνες του μιγαδικού,ανήκουν στην ευθεία (ε)
b)Aν η ευθεία ε, είναι πλάγια ασύμπτωτη της ,στο να
βρείτε τον πραγματικό αριθμό
c)Να αποδείξετε οτι:
d)Να αποδείξετε οτι η είναι παραγωγίσιμη στο
e) Αν ο μιγαδικός ικανοποιεί την σχέση (1)
να δειχθεί οτι υπάρχει
dennys
a. Έστω έχουμε
Συνεπώς οι εικόνες του μιγαδικού,ανήκουν στην ευθεία (ε)
b. Επειδή η ευθεία (ε) είναι αύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο έχουμε και
άρχικά έχουμε και
Αρα απο κριτήριο παρεμβολής έχουμε
Οπότε
c. Έχουμε , οπότε για έχουμε
Για θέτουμε , οπότε . Για έχουμε
Ενώ για έχουμε
Συνεπώς για έχουμε
Συνεπώς
d. Έχουμε οτι η είναι συνεχής στο , οπότε το παραγωγίσιμο στο . Η παραγωγίσιμη στο
,άρα η παραγωγίσιμη στο
Επίσης
Επομένως η παραγωγίσιμη στο με
e. Έχουμε
Η συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο , από έχουμε οτι υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε
Δηλαδή
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ σε Δευ Ιαν 30, 2012 2:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
i)STOPJOHN έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 127
Έστω συνάρτηση , δυο φορές παραγωγίσιμη στο με την συνεχή στους πραγματικούς αριθμούς .Αν η συνάρτηση ικανοποιεί τις συνθήκες τότε
α. Να βρείτε τον τύπο της
β. Να αποδείξετε ότι
γ. Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο διάστημα με σύνολο τιμών το
να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μια μόνο λύση στο
(Θεματογραφία Μαθηματικών Γ Λυκείου , Γ.Κομπότης )
Γιάννης Σταματογιάννης
Για χ=0 η τελευταία γίνεται:
'Αρα:
Επειδή τότε άρα:
Από την τελευταία σχέση προφανώς η άρα θα διατηρεί σταθερό πρόσημο και αφού τότε . Οπότε τελικά:
ii)
Έστω Τότε είναι:
Άρα η είναι περιττή, όποτε
iii)
Η έχει σύνολο τιμών το οπότε:
. Όμως . Άρα:
Οπότε:
Έστω τώρα η συνεχής συνάρτηση στο
Οπότε από Bolzano η έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο
Όμως η συνάρτηση είναι συνεχής στο άρα η συνάρτηση
είναι παραγωγίσιμη με
όποτε η είναι γνησίως αύξουσα άρα έχει μοναδική ρίζα στο
Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
για την ΑΣΚΗΣΗ 125
Ειπα οτι μετά την λύση απο κάποιο φίλο , θα δώσω την αποψή μου ,χωρίς την παραγωγισιμοτητα.
Ετσι :
αρα και
αρα και "1-1" η δουλεύω με ατοπο υποθέτοντασ οτι ειναι γν.φθίνουσα, ακομη και απο ορισμο τον του "1-1"
αν
φιλικα dennys
Ειπα οτι μετά την λύση απο κάποιο φίλο , θα δώσω την αποψή μου ,χωρίς την παραγωγισιμοτητα.
Ετσι :
αρα και
αρα και "1-1" η δουλεύω με ατοπο υποθέτοντασ οτι ειναι γν.φθίνουσα, ακομη και απο ορισμο τον του "1-1"
αν
φιλικα dennys
τελευταία επεξεργασία από dennys σε Δευ Ιαν 30, 2012 6:53 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης