ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1995 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

#1

Θέμα 1ο
Να γίνει γινόμενο η παράσταση A=(n^2+3n+1)^2-1

.

Θέμα 2ο
Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, το 0 και το 0.

Θέμα 3ο
Έστω E(n)=(-1)^nn

, όπου ο

παίρνει τιμές 1 2, 3,...,1995. Να υπολογίσετε το άθροισμα: $A=E(1)+E(2)+E(3)+\cdots + E(1995)$

Θέμα 4ο
Σε μια σκακιέρα $5 \times 5$ θέλουμε να τοποθετήσουμε πιόνια, ώστε
$\bullet$ δύο πιόνια να μη βρίσκονται σε γειτονικά τετραγωνάκια (δηλ. τετραγωνάκια με κοινή πλευρά), και επιπλέον
$\bullet$ σε κάθε τετραγωνάκι είτε να υπάρχει πιόνι είτε να είναι γειτονικό με ένα τετραγωνάκι με πιόνι.
Να προσδιορίσετε τον ελάχιστο και τον μέγιστο αριθμό από πιόνια που μπορούμε να τοποθετήσουμε στη σκακιέρα, ώστε να ισχύουν οι παραπάνω προϋποθέσεις.

Δείτε το ευρετήριο όλων των διαγωνισμών της ΕΜΕ εδώ.

Αλέξανδρος

gauss1988 · #2

cretanman έγραψε:Θέμα 1ο
Να γίνει γινόμενο η παράσταση .

$\displaystyle{A=(n^{2}+3n+1-1)(n^{2}+3n+1+1)=(n^{2}+3n)(n^{2}+2n+n+2)=n(n+3)[n(n+2)+(n+2)]=n(n+3)(n+2)(n+1)}$

ΠΡΟΣΘΗΚΗ: Θα ήθελα στην άσκηση αυτή να προσθέσω καί ένα ακόμα ερώτημα: "Είναι δυνατόν η παράσταση $\displaystyle{A}$ να είναι τέλειο τετράγωνο;"

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Όχι, εκτός αν $\displaystyle{A=0}$ , διότι η $\displaystyle{A}$ γράφεται: $\displaystyle{A=(n^{2}+3n)(n^{2}+3n+2)}$ . Θέτουμε $\displaystyle{n^{2}+3n=m}$
Τότε η $\displaystyle{A}$ γράφεται: $\displaystyle{A=m(m+2)=m^{2}+2m}$ . Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποιος φυσικός αριθμός $\displaystyle{k}$ έτσι ώστε $\displaystyle{m^{2}+2m=k^{2}\Rightarrow m^{2}+2m+1=k^{2}+1\Rightarrow (m+1)^{2}-k^{2}=1\Rightarrow (m+1+k)(m+1-k)=1}$ . Επειδή όμως οι αριθμοί $\displaystyle{m , n}$ είναι φυσικοί, για να αληθεύει η εξίσωση αυτή, πρέπει μονάχα να είναι $\displaystyle{m+1+k=1 , m+1-k=1}$ οπότε με πρόσθεση αυτών κατά μέλη έχουμε $\displaystyle{2m+2=2\Rightarrow m=0}$ αλλά τότε θα ήταν και $\displaystyle{n=0}$ και άρα $\displaystyle{A=0}$

#3

cretanman έγραψε:Θέμα 2ο
Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, το 0 και το 0.

Ας υποθέσουμε ότι ο επταψήφιος αριοθμός είναι ο $\displaystyle{400abcd=4\cdot 10^{6}+0\cdot 10^{5}+0\cdot 10^{4}+a\cdot 10^{3}+b\cdot 10^{2}+c\cdot 10+d=}$

$\displaystyle{2000^{2}+1000a+100b+10c+d}$

Οι αμέσως επόμενοι τετράγωνοι αριθμοί από τον $\displaystyle{2000^{2}}$ είναι οι $\displaystyle{2001^{2} , 2002^{2} , 2003^{2} , ...}$ Άρα θα είναι $\displaystyle{2000^{2}+1000a+100b+10c+d=2001^{2}}$ ή $\displaystyle{2002^{2}}$ ή $\displaystyle{2003^{21}}$ ή ...

Δηλαδή $\displaystyle{1000a+100b+10c+d=4001}$ ή $\displaystyle{8004}$ ή $\displaystyle{12018}$ ή ...

Επειδή όμως τα $\displaystyle{a , b , c , d}$ είναι ψηφία θα είναι ανάμεσα στους αριθμούς $\displaystyle{0}$ και $\displaystyle{9}$ . Άρα

$\displaystyle{0\leq 1000a++100b+10c+d\leq 9999}$ και επομένως οι μόνες δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ο αριθμός

$\displaystyle{1000a+100b+10c+d}$ είναι το $\displaystyle{4001}$ (όταν $\displaystyle{a=4 , b=0 , c=0 , d=1}$ ) και το $\displaystyle{8004}$ (όταν a=8 , b=0 , c=0 , d=4

)

Άρα οι επταψήφιοι της μορφής που θέλουμε που είναι τέλεια τετράγωνα είναι οι 4004001

και

#4

cretanman έγραψε:Θέμα 3ο
Έστω , όπου ο παίρνει τιμές 1 2, 3,...,1995. Να υπολογίσετε το άθροισμα: $A= E(1)+E(2)+E(3)+\cdots + E(1995)$

Έχουμε

$\begin{aligned}A &= E(1)+E(2)+E(3)+ ... +E(1995) \\ &= (-1)^{1}\cdot 1+(-1)^{2}\cdot 2+(-1)^{3}\cdot 3+ \cdots +(-1)^{1995}\cdot 1995 \\ &= -1+2-3+4-5+6-7+ \cdots +1994-1995 \\ &= -1+(2-3)+(4-5)+(6-7)+ \cdots +(1994-1995)\end{aligned}$

Το πλήθος των παρενθέσεων είναι όσο και το πλήθος των αριθμών $\displaystyle{2 , 4 , 6 , 8 , \ldots , 1994}$ δηλαδή $\displaystyle{1994}$ : $\displaystyle{2}$ δηλαδή $\displaystyle{997}$ . Άρα

$\displaystyle{A=E(1)+E(2)+E(3)+\cdots +E(1995)=-1+(-1)+(-1)+(-1)+\cdots +(-1)=-1+(-997)=-998}$

#5

cretanman έγραψε: Θέμα 4ο
Σε μια σκακιέρα $5 \times 5$ θέλουμε να τοποθετήσουμε πιόνια, ώστε
$\bullet$ δύο πιόνια να μη βρίσκονται σε γειτονικά τετραγωνάκια (δηλ. τετραγωνάκια με κοινή πλευρά), και επιπλέον
$\bullet$ σε κάθε τετραγωνάκι είτε να υπάρχει πιόνι είτε να είναι γειτονικό με ένα τετραγωνάκι με πιόνι.
Να προσδιορίσετε τον ελάχιστο και τον μέγιστο αριθμό από πιόνια που μπορούμε να τοποθετήσουμε στη σκακιέρα, ώστε να ισχύουν οι παραπάνω προϋποθέσεις.

Για να μη μείνει σε εκκρεμότητα το συγκεκριμενο πρόβλημα, να αναφέρω ότι με παρόμοια λύση με εκείνη την (πολύ όμορφη) του Δημήτρη εδώ ο ελάχιστος αριθμός είναι 7 και ο μέγιστος είναι 13.

Επισυνάπτω ένα σχήμα για τον ελάχιστο αριθμό.

: 5x5 eukl95ggymn.png (2.65 KiB) Προβλήθηκε 1977 φορές

Αλέξανδρος

EDIT: Έκανα διόρθωση στον ελάχιστο αριθμό και στο σχήμα μετά από μήνυμα του Δημήτρη τον οποίο ευχαριστώ.

harrisp · #6

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
cretanman έγραψε:Θέμα 2ο
Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, το 0 και το 0.
Ας υποθέσουμε ότι ο επταψήφιος αριοθμός είναι ο $\displaystyle{400abcd=4\cdot 10^{6}+0\cdot 10^{5}+0\cdot 10^{4}+a\cdot 10^{3}+b\cdot 10^{2}+c\cdot 10+d=}$

$\displaystyle{2000^{2}+1000a+100b+10c+d}$

Οι αμέσως επόμενοι τετράγωνοι αριθμοί από τον $\displaystyle{2000^{2}}$ είναι οι $\displaystyle{2001^{2} , 2002^{2} , 2003^{2} , ...}$ Άρα θα είναι $\displaystyle{2000^{2}+1000a+100b+10c+d=2001^{2}}$ ή $\displaystyle{2002^{2}}$ ή $\displaystyle{2003^{21}}$ ή ...

Δηλαδή $\displaystyle{1000a+100b+10c+d=4001}$ ή $\displaystyle{8004}$ ή $\displaystyle{12018}$ ή ...

Επειδή όμως τα $\displaystyle{a , b , c , d}$ είναι ψηφία θα είναι ανάμεσα στους αριθμούς $\displaystyle{0}$ και $\displaystyle{9}$ . Άρα

$\displaystyle{0\leq 1000a++100b+10c+d\leq 9999}$ και επομένως οι μόνες δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ο αριθμός

$\displaystyle{1000a+100b+10c+d}$ είναι το $\displaystyle{4001}$ (όταν $\displaystyle{a=4 , b=0 , c=0 , d=1}$ ) και το $\displaystyle{8004}$ (όταν)

Άρα οι επταψήφιοι της μορφής που θέλουμε που είναι τέλεια τετράγωνα είναι οι και

Δεν είμαι σίγουρος αλλά δεν είναι και το 4000000=2000^2

; Το αναφέρετε στην αρχή αλλά στην τελική απάντηση όχι.

#7

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
cretanman έγραψε:Θέμα 2ο
Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, το 0 και το 0.
Ας υποθέσουμε ότι ο επταψήφιος αριοθμός είναι ο $\displaystyle{400abcd=4\cdot 10^{6}+0\cdot 10^{5}+0\cdot 10^{4}+a\cdot 10^{3}+b\cdot 10^{2}+c\cdot 10+d=}$

$\displaystyle{2000^{2}+1000a+100b+10c+d}$

Οι αμέσως επόμενοι τετράγωνοι αριθμοί από τον $\displaystyle{2000^{2}}$ είναι οι $\displaystyle{2001^{2} , 2002^{2} , 2003^{2} , ...}$ Άρα θα είναι $\displaystyle{2000^{2}+1000a+100b+10c+d=2001^{2}}$ ή $\displaystyle{2002^{2}}$ ή $\displaystyle{2003^{21}}$ ή ...

Δηλαδή $\displaystyle{1000a+100b+10c+d=4001}$ ή $\displaystyle{8004}$ ή $\displaystyle{12018}$ ή ...

Επειδή όμως τα $\displaystyle{a , b , c , d}$ είναι ψηφία θα είναι ανάμεσα στους αριθμούς $\displaystyle{0}$ και $\displaystyle{9}$ . Άρα

$\displaystyle{0\leq 1000a++100b+10c+d\leq 9999}$ και επομένως οι μόνες δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ο αριθμός

$\displaystyle{1000a+100b+10c+d}$ είναι το $\displaystyle{4001}$ (όταν $\displaystyle{a=4 , b=0 , c=0 , d=1}$ ) και το $\displaystyle{8004}$ (όταν)

Άρα οι επταψήφιοι της μορφής που θέλουμε που είναι τέλεια τετράγωνα είναι οι και

Δεν είμαι σίγουρος αλλά δεν είναι και το ; Το αναφέρετε στην αρχή αλλά στην τελική απάντηση όχι.

Ναι Χάρη. Ήταν δική μου παράλειψη.
Ευχαριστώ που το παρατήρησες.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1995 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1995 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1995 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1995 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1995 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1995 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1995 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1995 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση