ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

Θέμα 1ο
Έστω πολυώνυμο $P(x)=x^n+(n-1)x^{n-1}+n$ , όπου

φυσικός και διάφορος του μηδενός
α) Να εξετάσετε αν υπάρχει

, ώστε $P(2)=3\cdot 2^{n-1}+1$ .
β) Να αποδείξετε ότι P(1)=2P(1-n)

.

Θέμα 2ο
Έστω τρίγωνο ABC

στο οποίο η γωνία

είναι διπλάσια της γωνίας

,

είναι η διχοτόμος της γωνίας

και

είναι το μέσο της πλευράς

. Αν η

είναι παράλληλη προς την

να προσδιορίσετε τα μέτρα των γωνιών του τριγώνου ABC

.

Θέμα 3ο
Έστω παραλληλόγραμμο ABCD

και ευθείες $\varepsilon$ και $\varepsilon_1$ που διέρχονται από το

και τέμνουν τις BD, DC, BC

στα σημεία E,Z,H

και

αντίστοιχα. Αν AE=kAK

, (

) να αποδείξετε ότι $\dfrac{(EZ)(EH)}{(KL)(KM)}=k^2$ .

Θέμα 4ο
Σε 14 κουτιά υπάρχουν 25 σοκολάτες και είναι γνωστό ότι κάθε κουτί περιέχει 1 ή 2 ή 3 σοκολάτες. Ακόμα γνωρίζουμε ότι ο αριθμός των κουτιών με μια σοκολάτα είναι μεγαλύτερος του 6 και ότι ο αριθμός των σοκολατών στα κουτιά με 2 ή 3 σοκολάτες είναι μεγαλύτερος από 17. Να προσδιορίσετε πόσα κουτιά περιέχουν μία, δύο ή τρεις σοκολάτες.

Δείτε το ευρετήριο όλων των διαγωνισμών της ΕΜΕ εδώ.

Αλέξανδρος

Ιστοσελίδα · #2

cretanman έγραψε:Θέμα 1ο
Έστω πολυώνυμο $P(x)=x^n+(n-1)x^{n-1}+n$ , όπου φυσικός και διάφορος του μηδενός
α) Να εξετάσετε αν υπάρχει ώστε $P(2)=3\cdot 2^{n-1}+1$ .
β) Να αποδείξετε ότι

α) Υποθέτουμε ότι υπάρχει τέτοιος n .

Τότε:

$P(2)=3\cdot 2^{n-1}+1 \Leftrightarrow 2^n+(n-1)2^{n-1}+n=3\cdot 2^{n-1}+1 \Leftrightarrow$

$2\cdot 2^{n-1}+(n-1)2^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}=1-n \Leftrightarrow$

$(2+n-1-3)2^{n-1}=1-n \Leftrightarrow (n-2)2^{n-1}=1-n .$

Αν n=2

τότε

αδύνατο.

Άρα, $2^{n-1}=\dfrac{1-n}{n-2} > 0 .$ Επομένως $(1-n)(n-2)>0 \Leftrightarrow 1<n<2 ,$ άτοπο.

Άρα δεν υπάρχει φυσικός αριθμός

που να ικανοποιεί τη δοθείσα ισότητα.

β) P(1)=1+(n-1)+n=2n .

$P(1-n)=(1-n)^n+(n-1)(1-n)^{n-1}+n =$
$(1-n)(1-n)^{n-1}+(n-1)(1-n)^{n-1}+n = (1-n+n-1)(1-n)^{n-1}+n = n .$

Άρα P(1)=2n=2P(1-n) .

#3

cretanman έγραψε:Θέμα 3ο
Έστω παραλληλόγραμμο και ευθείες $\varepsilon$ και $\varepsilon_1$ που διέρχονται από το και τέμνουν τις στα σημεία και αντίστοιχα. Αν , () να αποδείξετε ότι $\dfrac{(EZ)(EH)}{(KL)(KM)}=k^2$ .

: euclid 1995-96.png (13.31 KiB) Προβλήθηκε 1349 φορές

Θα δείξουμε ότι $AE^2=EZ\cdot EH$ . (1)

Πράγματι, από το θεώρημα του Θαλή $\displaystyle{\frac{AE}{EZ}=\frac{EB}{DE}=\frac{EH}{AE}}$ .

Ομοίως δείχνουμε ότι $AK^2=KL\cdot KM$ . (2)

Διαιρώντας κατά μέλη τις (1),(2)

προκύπτει $\displaystyle{\frac{EZ \cdot EH}{KL \cdot KM}=\frac{AE^2}{AK^2}=k^2}$ .

#4

cretanman έγραψε: Θέμα 2ο
Έστω τρίγωνο στο οποίο η γωνία είναι διπλάσια της γωνίας , είναι η διχοτόμος της γωνίας και είναι το μέσο της πλευράς . Αν η είναι παράλληλη προς την να προσδιορίσετε τα μέτρα των γωνιών του τριγώνου .

Επειδή στο τρίγωνο ADB

οι γωνίες $\angle ABD$ και $\angle BAD$ είναι ίσες πρέπει να έχουμε (AB) = (BD)

. Επίσης, επειδή

παράλληλη της

πρέπει

, δηλαδή

. Αλλά τότε (CD)=(DA)

και άρα οι γωνίες $\angle DAC$ και $\angle DCA$ είναι ίσες. Άρα έχουμε $\hat{A} = 2\hat{B} = 2\hat{C}$ και άρα πρέπει η $\hat{A}$ να είναι ορθή και οι $\hat{B},\hat{C}$ να είναι $45^{\circ}$ .

#5

cretanman έγραψε:
Θέμα 4ο
Σε 14 κουτιά υπάρχουν 25 σοκολάτες και είναι γνωστό ότι κάθε κουτί περιέχει 1 ή 2 ή 3 σοκολάτες. Ακόμα γνωρίζουμε ότι ο αριθμός των κουτιών με μια σοκολάτα είναι μεγαλύτερος του 6 και ότι ο αριθμός των σοκολατών στα κουτιά με 2 ή 3 σοκολάτες είναι μεγαλύτερος από 17. Να προσδιορίσετε πόσα κουτιά περιέχουν μία, δύο ή τρεις σοκολάτες.

Ας γράψουμε x,y,z

για τον αριθμό των κουτιών με 1,2 και 3 σοκολάτες αντίστοιχα. Έχουμε
$x+y+z = 14 \quad (1)$
$x+2y+3z = 25 \quad (2)$
$x > 6 \quad (3)$
$2y+3z > 17 \quad (4)$

Επειδή οι x,y,z

είναι ακέραιοι, οι (3) και (4) δίνουν

$x \geqslant 7 \quad (3')$
$2y + 3z \geqslant 18 \quad (4')$

Από τις (2),(3'),(4') παίρνουμε $x=7 \quad (3'')$ και $2y+3z=18 \quad (4'')$ . Τώρα από τις (1),(3'') παίρνουμε $y+z = 7 \quad (1')$ και λύνοντας το σύστημα των (1'),(4'') παίρνουμε y=3,z=4

.

parmenides51 · #6

cretanman έγραψε: Θέμα 2ο
Έστω τρίγωνο στο οποίο η γωνία είναι διπλάσια της γωνίας , είναι η διχοτόμος της γωνίας και είναι το μέσο της πλευράς . Αν η είναι παράλληλη προς την να προσδιορίσετε τα μέτρα των γωνιών του τριγώνου .

: Eykleidhs 1995 2o bl.ggb.png (21.51 KiB) Προβλήθηκε 1106 φορές

Demetres έγραψε:Επειδή στο τρίγωνο οι γωνίες $\angle ABD$ και $\angle BAD$ είναι ίσες πρέπει να έχουμε $(A {\color{red}D}) = (BD)$ . Επίσης, επειδή παράλληλη της πρέπει , δηλαδή . Αλλά τότε και άρα οι γωνίες $\angle DAC$ και $\angle DCA$ είναι ίσες. Άρα έχουμε $\hat{A} = 2\hat{B} = 2\hat{C}$ και άρα πρέπει η $\hat{A}$ να είναι ορθή και οι $\hat{B},\hat{C}$ να είναι $45^{\circ}$ .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1995 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση