Φράγμα τέταρτης παραγώγου!

#1

Αν $\displaystyle{f(x)=\frac{\sin x}{x}, \ x\ne 0}$ , να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{|f^{(4)}(x)|\leq \frac{1}{5},}$ για κάθε $\displaystyle{x\ne 0.}$

#2

$\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{\sin \left( x \right)}}{x} = \frac{1}{x}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}\frac{{{x^{2n + 1}}}}{{\left( {2n + 1} \right)!}}} \Rightarrow \boxed{f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}\frac{{{x^{2n}}}}{{\left( {2n + 1} \right)!}}} }}$ .

Τότε (στοιχειωδώς) $\displaystyle{{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}\frac{{{x^{2n}}}}{{\left( {2n + 5} \right) \cdot \left( {2n} \right)!}}} }$ .

Οπότε $\displaystyle{{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}\frac{{{x^{2n}}}}{{\left( {2n + 5} \right) \cdot \left( {2n} \right)!}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}\frac{{{x^{2n}}}}{{\left( {2n} \right)!}}\int\limits_0^\infty {{e^{ - \left( {2n + 5} \right)y}}dy} } = \int\limits_0^\infty {{e^{ - 5y}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}\frac{{{x^{2n}}{e^{ - 2ny}}}}{{\left( {2n} \right)!}}} dy} = \int\limits_0^\infty {{e^{ - 5y}}\cos \left( {x{e^{ - y}}} \right)dy} }$ .

και τελικά $\displaystyle{\left| {{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)} \right| = \left| {\int\limits_0^\infty {{e^{ - 5y}}\cos \left( {x{e^{ - y}}} \right)dy} } \right| \leqslant \int\limits_0^\infty {{e^{ - 5y}}\left| {\cos \left( {x{e^{ - y}}} \right)} \right|dy} \leqslant \int\limits_0^\infty {{e^{ - 5y}}dy} = \frac{1}{5}}$ .

#3

Μετά τη λύση του Σεραφείμ, ας βάλω και τη λύση που γνωρίζω.

Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{\frac{\sin x}{x}=\int_{0}^{1}\cos (tx)dt}$ ,

οπότε, εύκολα, από τον κανόνα του Leibniz βρίσκουμε

$\displaystyle{f^{(4)}(x)=\int_{0}^{1}t^4\cos (tx)dt.}$

Τότε,

$\displaystyle{|f^{(4)}(x)|=\Big|\int_{0}^{1}t^4\cos (tx)dt\Big|\leq \int_{0}^{1}t^4dt=\frac{1}{5}.}$

#4

matha έγραψε:Μετά τη λύση του Σεραφείμ, ας βάλω και τη λύση που γνωρίζω.

Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{\frac{\sin x}{x}=\int_{0}^{1}\cos (tx)dt}$ ,

οπότε, εύκολα, από τον κανόνα του Leibniz βρίσκουμε

$\displaystyle{f^{(4)}(x)=\int_{0}^{1}t^4\cos (tx)dt.}$

Τότε,

$\displaystyle{|f^{(4)}(x)|=\Big|\int_{0}^{1}t^4\cos (tx)dt\Big|\leq \int_{0}^{1}t^4dt=\frac{1}{5}.}$

Φράγμα τέταρτης παραγώγου!

Φράγμα τέταρτης παραγώγου!

Re: Φράγμα τέταρτης παραγώγου!

Re: Φράγμα τέταρτης παραγώγου!

Re: Φράγμα τέταρτης παραγώγου!

Μέλη σε σύνδεση