ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

#1

Θέμα 1ο
Να λύσετε την εξίσωση
$\displaystyle{\left(x^2+2x+1\right)^2+\left(x^2+3x+2\right)^2 + \left(x^2+4x+3\right)^2 + \cdots + \left(x^2+1996x+1995\right)^2=0.}$

Θέμα 2ο
Σε ένα τρίγωνο ABC

τα σημεία

είναι τα μέσα των BC,AD,BD,ED

και

αντιστοίχως. Αν

είναι η τομή των BE,AC

και

η τομή των HG,AC

να αποδείξετε ότι:
α) AK=3CK

β)

γ)

δ) $(EGH)=\dfrac{1}{32}(ABC)$ [Το εμβαδόν του τριγώνου EGH

είναι το ένα τριακοστό δεύτερο του εμβαδού του τριγώνου ABC

].

Θέμα 3ο
Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή της παράστασης: 2x^4-2x^2y^2+y^4-8x^2+18

, όπου $x,y\in\mathbb{R}$ .

Θέμα 4ο
α) Αν το κλάσμα $\dfrac{an+b}{cn+d}$ απλοποιείται με το 2, να δείξετε ότι ο αριθμός ad-bc

είναι άρτιος. (Τα a,b,c,d,n

είναι φυσικοί αριθμοί και ο cn+d

διάφορος από το μηδέν).
β) Να εξετάσετε αν υπάρχει πρώτος αριθμός

και φυσικός αριθμός

ώστε να ισχύει n^2+n+p=1996

.

Δείτε το ευρετήριο όλων των διαγωνισμών της ΕΜΕ εδώ.

Αλέξανδρος

ΛΕΩΝΙΔΑΣ · #2

cretanman έγραψε: Θέμα 4ο[/u][/b]
α) Αν το κλάσμα $\dfrac{an+b}{cn+d}$ απλοποιείται με το 2, να δείξετε ότι ο αριθμός είναι άρτιος. (Τα είναι φυσικοί αριθμοί και ο διάφορος από το μηδέν).
β) Να εξετάσετε αν υπάρχει πρώτος αριθμός και φυσικός αριθμός ώστε να ισχύει .

Για το α):
Είναι $an+b=2k \Leftrightarrow n= \dfrac{2k-b}{a}$ και $cn+d=2l \Leftrightarrow n= \dfrac{2l-d}{c}$ . Οπότε συνεπάγεται $\dfrac{2k-b}{a}=\dfrac{2l-d}{c} \Leftrightarrow 2kc-bc=2la-ad \Leftrightarrow ad-bc=2(la-kc)$ . Οπότε ad-bc

άρτιος.

Για το β):
Η δοθείσα γίνεται n(n+1)+p=1996

. Οπότε επειδή n,n+1

διαδοχικοί φυσικοί ο n(n+1)

είναι άρτιος και άρα p=2

. Τώρα πρέπει n(n+1)=1994

όμως δεν υπάρχει γινόμενο διαδοχικών φυσικών που να τελειώνει σε 4. (τα δυνατά τελευταία ψηφία είναι τα 0,2,6). Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.

ΛΕΩΝΙΔΑΣ · #3

cretanman έγραψε:Θέμα 3ο
Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή της παράστασης: , όπου $x,y\in\mathbb{R}$ .

Είναι

$(x^2-y^2)^2+(x^2-4)^2+2\geq 0+0+2=2$

με ισότητα για $x=y=\pm 2$

Ch.Chortis · #4

1ο ΘΕΜΑ

Η εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως εξής :

$\displaystyle{\displaystyle (x^2+2x+1)^2 + (x^2+3x+2)^2 + (x^2+4x+3)^2 \cdots + (x^2+1996x+1995)^2=0 \iff}$
$\displaystyle{[(x+1)^2 ]^2 + [(x+1) (x+2)]^2 + [(x+1) (x+3)]^2 \cdots [(x+1) (x+1995)]^2=0 \iff}$
$\displaystyle{(x+1)^2 (x+1)^2 + (x+1)^2 (x+2)^2 + (x+1)^2 (x+3)^2 \cdots +(x+1)^2 (x+1995)^2=0 \iff}$
$\displaystyle{(x+1)^2 [(x+1)^2 + (x+2)^2 + (x+3)^2 + \cdots +(x+1995)^2]=0}$ .

Η εξίσωση επαληθεύεται για $(x+1)^2 =0 \iff x+1=0 \iff x=-1,$
η οποία είναι και η μοναδική λύση της εξίσωσης αφού το υπόλοιπο μέρος της γράφεται:

$\displaystyle{\displaystyle x^2+2x+1+x^2+4x+2^2+x^2+6x+3^2 \cdots +x^2+3990x+1995^2 =0 \iff}$
$\displaystyle{1995x^2+2x(1+2+3 \cdots +1995) +1^2+2^2+3^2 \cdots +1995^2=0 \iff}$
$\displaystyle{1995x^2 +1995*1996x +1^2+2^2+3^2 \cdots +1995^2=0}$
και έχει αρνητική διακρίνουσα.

parmenides51 · #5

cretanman έγραψε:Θέμα 1ο
Να λύσετε την εξίσωση
$\displaystyle{\left(x^2+2x+1\right)^2+\left(x^2+3x+2\right)^2 + \left(x^2+4x+3\right)^2 + \cdots + \left(x^2+1996x+1995\right)^2=0.}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left((x+1)(x+1)\right)^2+\left((x+1)(x+2)\right)^2 + \left((x+1)(x+3)\right)^2 + \cdots + \left((x+1)(x+1995)\right)^2=0}$

Ένα άθροισμα μη αρνητικών προσθετέων είναι μηδενικό όταν όλοι οι όροι του είναι μηδενικοί.
Παρατηρούμε πως το $\displaystyle{x=-1}$ είναι η μόνη κοινή ρίζα όλων των μη αρνητικών προσθετέων.
Συνεπώς $\displaystyle{x=-1}$ .

#6

cretanman έγραψε:
Θέμα 2ο
Σε ένα τρίγωνο τα σημεία είναι τα μέσα των και αντιστοίχως. Αν είναι η τομή των και η τομή των να αποδείξετε ότι:
α)
β)
γ)
δ) $(EGH)=\dfrac{1}{32}(ABC)$ [Το εμβαδόν του τριγώνου είναι το ένα τριακοστό δεύτερο του εμβαδού του τριγώνου ].

α) Στο τρίγωνο $\displaystyle{EZD}$ η $\displaystyle{GH}$ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών. Άρα από το θεώρημα του Θαλή έχουμε:

$\displaystyle{\frac{AK}{KC}=\frac{AH}{HD}}$ άρα $\displaystyle{\frac{AK}{KC}=\frac{3}{1}}$ και άρα $\displaystyle{AK=3KC}$ .

β) Από τα όμοια τρίγωνα $\displaystyle{ADC}$ και $\displaystyle{AHK}$ έχουτμε: $\displaystyle{\frac{KH}{DC}=\frac{AH}{AD}}$ άρα

$\displaystyle{\frac{KH}{DC}=\frac{3}{4}}$ ή $\displaystyle{\frac{KH}{2DZ}=\frac{3}{4}}$ ή $\displaystyle{\frac{KH}{4GH}=\frac{3}{4}}$ άρα

$\displaystyle{KH=3GH}$ .

: arx95gymn.png (10.82 KiB) Προβλήθηκε 2900 φορές

γ) Φέρνουμε την $\displaystyle{DT}$ παράλληλη με την $\displaystyle{BI}$ . Τότε $\displaystyle{IT=TC}$ και $\displaystyle{AI=IT}$
Από το τρίγωνο $\displaystyle{ADT}$ αφού η $\displaystyle{EI}$ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών, θα έχουμε $\displaystyle{DT=2EI}$ και από το τρίγωνο $\displaystyle{BIC}$ αφού η $\displaystyle{DT}$ ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών, θα έχουμε ότι $\displaystyle{BI=2DT}$ άρα $\displaystyle{BE+EI=4EI}$ ή $\displaystyle{BE=3EI}$

δ) Έχουμε: $(EGH)=\frac{1}{4}.(EZD) =\frac{1}{4}.\frac{1}{4}.(ABD)=\frac{1}{4}.\frac{1}{4}.\frac{1}{2}.(ABC)=\frac{1}{32}(ABC)$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Χρησιμοποιήσαμε τις παρακάτω προτάσεις:

(α) Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια, ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας

(β) Η διάμεσος τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισοδύναμα τρίγωνα

parmenides51 · #7

cretanman έγραψε:Θέμα 1ο
Να λύσετε την εξίσωση
$\displaystyle{\left(x^2+2x+1\right)^2+\left(x^2+3x+2\right)^2 + \left(x^2+4x+3\right)^2 + \cdots + \left(x^2+1996x+1995\right)^2=0.}$

Ας γράψω πιο αναλυτικά την προηγούμενη μου λύση για τους ... αυστηρούς βαθμολογητές και τον Ch.Chortis.

$\displaystyle{\left(x^2+2x+1\right)^2=\left((x+1)(x+1)\right)^2\geq 0 }$ με το ίσον να ισχύει για $\displaystyle{x=-1}$
$\displaystyle{\left(x^2+3x+2\right)^2=\left((x+1)(x+2)\right)^2\geq 0 }$ με το ίσον να ισχύει για $\displaystyle{x=-1}$ ή $\displaystyle{x=-2}$
$\displaystyle{\left(x^2+4x+3\right)^2=\left((x+1)(x+3)\right)^2\geq 0 }$ με το ίσον να ισχύει για $\displaystyle{x=-1}$ ή $\displaystyle{x=-3}$
...
$\displaystyle{\left(x^2+1996x+1995\right)^2=\left((x+1)(x+1995)\right)^2\geq 0 }$ με το ίσον να ισχύει για $\displaystyle{x=-1}$ ή $\displaystyle{x=-1995}$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ανισότητες έχουμε πως

$\displaystyle{\left(x^2+2x+1\right)^2+\left(x^2+3x+2\right)^2 + \left(x^2+4x+3\right)^2 + \cdots + \left(x^2+1996x+1995\right)^2\geq 0}$
με το ίσον να ισχύει όταν ισχύουν όλες ταυτόχρονα οι παραπάνω ισότητες, όταν δηλαδή $\displaystyle{x=-1}$ .

Συνεπώς
$\displaystyle{\left(x^2+2x+1\right)^2+\left(x^2+3x+2\right)^2 + \left(x^2+4x+3\right)^2 + \cdots + \left(x^2+1996x+1995\right)^2=0 \Leftrightarrow x=-1}$

Orestisss · #8

cretanman έγραψε: Πέμ Φεβ 09, 2012 5:10 pm Θέμα 1ο
Να λύσετε την εξίσωση
$\displaystyle{\left(x^2+2x+1\right)^2+\left(x^2+3x+2\right)^2 + \left(x^2+4x+3\right)^2 + \cdots + \left(x^2+1996x+1995\right)^2=0.}$

Διαφορετική λυση για το πρώτο. Πρεπει:
$x^2+2x+1=0 \land x^2+3x+2=0$ $\land … \land x^2+1996x+1995=0$
Αν θεωρήσω όλα τα παραπάνω τριωνυμα της μορφής x^2+ax+b

,
παρατηρώ ότι οι συντελεστές a,b

αυξάνονται κατά αριθμιτικη πρόοδο με διαφορά

, με ν-οστους όρους $a_{n}=2+(n-1)=n+1$
$b_{n}=1+(n-1)=n$ , με $n \geq 1 \in \mathbb{N}$ . Επομένως, όλα τα τριωνυμα θα έχουν διακρίνουσα της μορφής
$D_{n}=(a_{n})^2-4b_{n}=(n+1)^2-4n$
=n^2+2n+1-4n=(n-1)^2

που σημαίνει ότι έχουν ολα ρητές ρίζες. Ο γενικός τύπος των ριζών τους θα είναι:
$x_{n(1,2)}=\frac{-(n+1) \pm \sqrt{(n-1)^2}}{2}$

$\frac{-n-1 \pm (n-1)}{2}=-1 \vee -n$ .
Όμως λόγω του αρχικού πολυώνυμου x^2+2x+1

που έχει διπλή ριζα το

, η εξίσωση συναληθευει μόνο για x=-1

. Η επαλήθευση είναι άμεση.

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Μέλη σε σύνδεση