ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

#1

Θέμα 1ο
Έστω (a_n

μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία ισχύουν
(i)

$\dfrac{a_{n+2}}{a_n}=\dfrac{1}{4}$ , για κάθε $n\in\mathbb{N}^{\star}$
(ii)

$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}+\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1$ , για κάθε $k,n\in\mathbb{N}^{\star}$ με $|k-n|\neq 1$ .
(α) Να αποδείξετε ότι η (a_n)

αποτελεί γεωμετρική πρόοδο.
(β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει t>0

, ώστε $\sqrt{a_{n+1}}\leq \dfrac{1}{2}a_n+t$

Θέμα 2ο
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC

φέρνουμε τα ύψη AD,BE, CZ

που τέμνονται στο

. Έστω ακόμα

και

η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας

. Αν

είναι τα μέσα των

και

να αποδείξετε ότι:
α) Η

είναι κάθετη στην

.
β) Αν η

τέμνει τις AI,AG

στα

τότε

.

Θέμα 3ο
Δίνονται 81 φυσικοί αριθμοί, διαφορετικοί μεταξύ τους ανά δύο, των οποίων οι πρώτοι διαιρέτες ανήκουν στο σύνολο $\{2, 3, 5\}$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τέσσερις αριθμοί, από τους 81, που το γινόμενό τους είναι τέταρτη δύναμη φυσικού αριθμού.

Θέμα 4ο
Να ορίσετε το πλήθος των συναρτήσεων

, με $f:\{1, 2,\ldots , n\}\to\{1995,1996\}$ οι οποίες ικανοποιούν τη συνθήκη: ο αριθμός $f(1) + f(2) + \cdots + f(n)$ είναι περιττός.

Δείτε το ευρετήριο όλων των διαγωνισμών της ΕΜΕ εδώ.

Αλέξανδρος

sokratis lyras · #2

cretanman έγραψε:Θέμα 1ο
Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία ισχύουν
$\dfrac{a_{n+2}}{a_n}=\dfrac{1}{4}$ , για κάθε $n\in\mathbb{N}^{\star}$
$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}+\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1$ , για κάθε $k,n\in\mathbb{N}^{\star}$ με $|k-n|\neq 1$ .
(α) Να αποδείξετε ότι η αποτελεί γεωμετρική πρόοδο.
(β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει , ώστε $\sqrt{a_{n+1}}\leq \dfrac{1}{2}a_n+t$

Μήπως δεν βλέπω κάτι?Το (α) προκύπτει άμεσα αν στην 2η σχέση θέσουμε n=k

.

#3

Και το 1)β) προκύπτει άμεσα για $t=\frac{1}{4}$ . Πράγματι, από ΑΜ-GM έχουμε ότι
$\displaystyle{\frac{a_n+\frac{1}{2}}{2}\geq \sqrt{\frac{1}{2}a_n}}=\sqrt{a_{n+1}}}$

Δε μπορώ να καταλάβω την ύπαρξη της πρώτης συνθήκης... Πραγματικά κακό θέμα. (Εκτός αν υπάρχει τυπογραφικό στην εκφώνηση. Στο $\left|k-n\right|\neq 1$ ας πούμε)

#4

cretanman έγραψε: Θέμα 4ο
Να ορίσετε το πλήθος των συναρτήσεων , με $f:\{1, 2,\ldots , n\}\to\{1995,1996\}$ οι οποίες ικανοποιούν τη συνθήκη: ο αριθμός $f(1) + f(2) + \cdots + f(n)$ είναι περιττός.

Επιλέγουμε πρώτα τον

ο οποίος θα καθορίσει την τιμή του αθροίσματος $\pmod 2$ . Στη συνέχεια οι υπόλοιπες n-1

τιμές μπορεί να είναι οτιδήποτε και αυτό μπορεί να γίνει με $2^{n-1}$ τρόπους και τόσες είναι και οι ζητούμενες συναρτήσεις.

sokratis lyras · #5

cretanman έγραψε: Θέμα 2ο
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο φέρνουμε τα ύψη που τέμνονται στο . Έστω ακόμα και η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας . Αν είναι τα μέσα των και να αποδείξετε ότι:
α) Η είναι κάθετη στην .

Αποδεικνύοντας την παρακάτω πρόταση,το ζήτουμενο προκύπτει άμεσα.
Έστω τρίγωνο ABC

και τα ύψη του AD,BE, CZ

που τέμνονται στο

.Tότε ισχύει ότι η

είναι κάθετη στις αντιπαραλλήλoυς τις

.
Έστω

το σημείο τομής των ZE,OA

.Aπό εγγράψιμα ισχύει: $\widehat {ACB}=\widehat{AZE},\widehat{EBC}=\widehat{HAE}$ και αφού οι AO,AH

είναι ισογώνιες.το ζητούμενο προκύπτει άμεσα.

#6

cretanman έγραψε:
Θέμα 3ο
Δίνονται 81 φυσικοί αριθμοί των οποίων οι πρώτοι διαιρέτες ανήκουν στο σύνολο $\{2, 3, 5\}$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τέσσερις αριθμοί, από τους 81, που το γινόμενό τους είναι τέταρτη δύναμη φυσικού αριθμού.

Για κάθε ένα από τους αριθμούς

θέτουμε

όπου

είναι οι μεγαλύτερες δυνάμεις του 2,3 και 5 που τον διαιρούν τις οποίες όμως παίρνουμε $\bmod 4$ . Π.χ. f(2^63^45^3) = (2,0,3)

. Θέλουμε να βρούμε διακεκριμένα x,y,z,w

[Αλέξανδρε, πρόσθεσε το διαφορετικοί ανά δύο στην εκφώνηση] ώστε f(x) + f(y) + f(z) + f(w) = (0,0,0)

όπου η πρόσθεση γίνεται ανά συντεταγμένη $\bmod 4$ .

Επειδή υπάρχουν 64 δυνατές τριάδες για το f(x)

, μπορούμε να βρούμε αριθμούς x_1,y_1

ώστε

. Αφαιρούμε αυτούς τους δύο αριθμούς από την λίστα. Έχουμε ακόμη 79 αριθμούς οπότε μπορούμε να βρούμε x_2,y_2

ώστε

. Συνεχίζοντας, μπορούμε να βρούμε διακεκριμένους $x_1,y_1,\ldots,x_9,y_9$ ώστε f(x_i) = f(y_i)

για κάθε $1 \leqslant i \leqslant 9$ . Θέτουμε τώρα z_i = f(x_i) + f(y_i)

και παρατηρούμε ότι z_i = (a_i,b_i,c_i)

όπου $a_i,b_i,c_i \in \{0,2\}$ . Επειδή υπάρχουν 9 z_i

και τότε δύο από αυτά, έστω τα z_i,z_j

με $i \neq j$ είναι ίσα. Αλλά τότε έχουμε f(x_i) + f(y_i) + f(x_j) + f(y_j) = (0,0,0)

και τελειώσαμε.

----------------------
Ας συμβολίσουμε με f(n,d)

τον μικρότερο αριθμό

ώστε αν έχουμε

φυσικούς αριθμούς των οποίων οι πρώτοι διαιρέτες ανήκουν σε ένα σύνολο

αριθμών τότε μπορούμε να βρούμε

από αυτούς που το άθροισμά τους να είναι τέλεια

δύναμη φυσικού. [Ισοδύναμα αν έχουμε

αριθμούς στο $\mathbb{R}^d$ με ακέραιες συντεταγμένες τότε μπορούμε να βρούμε

από αυτούς ώστε το κέντρο βάρος τους να έχει επίσης ακέραιες συντεταγμένες.] Το πρόβλημα ζητάει να δείξουμε ότι $f(4,3) \leqslant 81$ .

Η εύρεση του f(n,d)

για κάθε ζεύγος (n,d)

είναι ένα ανοικτό πρόβλημα. Μερικά γνωστά αποτελέσματα είναι τα εξής:
$\bullet f(n,1) = 2n-1$ Αυτό είναι γνωστό ως θεώρημα Erdős-Ginzburg-Ziv. [Το είχα βάλει σαν άσκηση εδώ αλλά έμεινε αναπάντητη.]
$\bullet f(n,2) = 4n-3$ Αυτό ήταν γνωστό ως εικασία του Kemnitz. Αποδείχθηκε πριν μερικά χρόνια από τον Christian Reiher. [Γνωστός επίσης και για τα 4 χρυσά και ένα χάλκινο στην ΙΜΟ.]
$\bullet (n-1)2^d + 1 \leqslant f(n,d) \leqslant (n-1)n^d + 1$ . (Εύκολο, το αφήνω σαν άσκηση.)
$\bullet f(n,d) \leqslant c_d n$ όπου c_d

είναι μια σταθερά που εξαρτάται από το

.

Αν επιτρέπεται η χρήση της εικασίας του Kemnitz, μπορούμε να δείξουμε άμεσα ότι $f(4,3) \leqslant 49$ . Πράγματι από περιστεροφωλιά 13 από αυτές τις τριάδες θα είχαν την ίδια πρώτη συντεταγμένη. Επειδή όμως f(4,2) = 13

, τέσσερις από αυτές θα είχαν άθροισμα 0 και στην δεύτερη και στην τρίτη συντεταγμένη. Όμως και στην πρώτη τριάδα θα είχαμε άθροισμα 0 αφού και οι τέσσερις τριάδες έχουν την ίδια πρώτη συντεταγμένη.

sokratis lyras · #7

cretanman έγραψε:
Θέμα 2ο
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο φέρνουμε τα ύψη που τέμνονται στο . Έστω ακόμα και η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας . Αν είναι τα μέσα των και να αποδείξετε ότι:
β) Αν η τέμνει τις στα τότε .

Αρκεί ν.δ.ο. το LAKH

είναι ορθογώνιο.Έστω

το περίκεντρο του ABC

.Από την γνωστή πρόταση AH=2OM

και από το ότι οι ευθείες AH,AO

είναι ισογώνιες ως προς τις AB,AC

προκύπτει ότι $\widehat{HKA}=90\Rightarrow LH//AK$ .Άρα το DHKI

είναι εγγράψιμο και άρα $\widehat{KID}=\widehat{AHK}=\hat x$ .Στο ορθογώνιο τρίγωνο AHK

είναι $\hat x+\widehat{HAK}=90$ και στο ορθογώνιο τρίγωνο LAK

είναι $\widehat{LKA}+\widehat{KLA}=90$ .Αλλά $\widehat{LKA}=\widehat{HAK}$ .Άρα $\widehat{KLA}=\hat x$ .Συνεπώς το LAKH

είναι εγγράψιμο και συνεπώς ορθογώνιο.
Υ.Γ. Η λύση αυτή έγινε σε συνεργασία με τον Γρηγόρη(Grigoris.K)

parmenides51 · #8

cretanman έγραψε:Θέμα 2ο
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο φέρνουμε τα ύψη που τέμνονται στο . Έστω ακόμα και η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας . Αν είναι τα μέσα των και να αποδείξετε ότι:
α) Η είναι κάθετη στην .
β) Αν η τέμνει τις στα τότε .

αλλιώς εδώ

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1995 - ΛΥΚΕΙΟ

Μέλη σε σύνδεση