1Η ΠΡΟΚΑΤΑΡΤΙΚΗ ΦΑΣΗ 1995 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

[cretanman]

1Η ΠΡΟΚΑΤΑΡΤΙΚΗ ΦΑΣΗ 1995 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Διαγωνισμός Πόλεων)

Θέμα 1ο
Στο επίπεδο θεωρούμε τετράγωνο και ένα σημείο που είναι καλυμένο με μια μουντζούρα από μελάνι. Ένας άνθρωπος με ειδικά γυαλιά βλέπει το σημείο και αν φέρουμε μια ευθεία μας απαντά στο ερώτημα: σε ποιό ημιεπίπεδο της ευθείας βρίσκεται το (αν το βρίσκεται πάνω στην , η απάντηση είναι: το βρίσκεται πάνω στην ). Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ερωτήσεων που πρέπει να κάνουμε, ώστε να μάθουμε αν το βρίσκεται μέσα στο τετράγωνο ή όχι;

Θέμα 2ο
α) Υπάρχουν 4 διαφορετικοί φυσικοί αριθμοί, ώστε το άθροισμα οποιονδήποτε τριών από αυτούς να είναι πρώτος;
β) Υπάρχουν 5 διαφορετικοί φυσικοί αριθιμοί, ώστε το άθροισμα οποιονδήποτε τριών από αυτούς να είναι πρώτος;

Θέμα 3ο
Ένας 6-ψήφιος αριθμός αρχίζει με το ψηφίο 5. Είναι αληθές, ότι πάντα μπορούμε να προσθέσουμε από τα δεξιά του αριθμού 6 ψηφία ώστε ο λαμβανόμενος αριθμός να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου;

Θέμα 4ο
Στο επίπεδο δίνονται τρία σημεία . Από το σημείο φέρνουμε ευθεία τέτοια ώστε το γινόμενο των αποστάσεων των να είναι μέγιστο. Πάντα μια τέτοια ευθεία είναι μοναδική;

Σημείωση: Το 1ο Θέμα είναι το ίδιο με το 1ο θέμα Α-Β Λυκείου εδώ και έχει λυθεί ήδη στην προηγούμενη δημοσίευση.

Δείτε το ευρετήριο όλων των διαγωνισμών της ΕΜΕ εδώ.

Αλέξανδρος

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

Θέμα 2ο
α) Υπάρχουν 4 διαφορετικοί φυσικοί αριθμοί, ώστε το άθροισμα οποιωνδήποτε τριών από αυτούς να είναι πρώτος;
β) Υπάρχουν 5 διαφορετικοί φυσικοί αριθιμοί, ώστε το άθροισμα οποιωνδήποτε τριών από αυτούς να είναι πρώτος;

α) Η απάντηση είναι καταφατική, για παράδειγμα οι αριθμοί .

Μπορούμε να βρούμε τέτοιες τετράδες ως εξής:

Ας είναι οι 4 αριθμοί που ψάχνουμε.
Θεωρούμε τις εξισώσεις , , και .

Τότε , , και .

Επιλέγουμε 4 ''κοντινούς'' πρώτους , οι δύο της μορφής και οι άλλοι δύο της μορφής .

β) Η απάντηση είναι αρνητική.
Κάθε φυσικός είναι της μορφής , ή .
Αν και οι τρεις μορφές έχουν κάποιον ''αντιπρόσωπο'' σε ένα σύνολο 5 διαφορετικών φυσικών τότε το άθροισμα των 3 ''αντιπροσώπων'' θα είναι πολλαπλάσιο του 3 και μεγαλύτερο του 3, άρα σύνθετος.
Αν δύο το πολύ από τις μορφές αυτές αντιπροσωπεύονται σε ένα σύνολο 5 διαφορετικών φυσικών τότε μία μορφή θα αντιπροσωπεύεται με τουλάχιστον 3 αριθμούς. Αν προσθέσουμε 3 τέτοιους αντιπροσώπους της ίδιας μορφής προκύπτει πολλαπλάσιο του 3 μεγαλύτερο του 3.

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

Θέμα 3ο
Ένας 6-ψήφιος αριθμός αρχίζει με το ψηφίο 5. Είναι αληθές, ότι πάντα μπορούμε να προσθέσουμε από τα δεξιά του αριθμού 6 ψηφία ώστε ο λαμβανόμενος αριθμός να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου;

H απάντηση είναι όχι.
Ας υποθέσουμε ότι αυτό είναι πάντα εφικτό. Άρα υπάρχει θετικός ακέραιος ώστε .

Τότε οπότε .

Άρα .

Ανάμεσα στους αριθμούς και υπάρχει ακριβώς ένα τέλειο τετράγωνο.

Όμως .

Από την υπόθεση που κάναμε παραπάνω στο διάστημα υπάρχουν τουλάχιστον δύο τέλεια τετράγωνα, ένα που ξεκινά με και ένα που ξεκινά με . Άτοπο.

[Demetres]

Διαφορετικά για το 3

Αν ισχύει τότε υπάρχουν τουλάχιστον 100000 δωδεκαψήφιοι αριθμοί που ξεκινούν από 5 και είναι τέλεια τετράγωνα. Κοιτάζουμε τις τετραγωνικές ρίζες αυτών των αριθμών. Είναι όλες ακέραιες, διαφορετικές μεταξύ τους και ανήκουν στο διάστημα αφού και . Αυτό είναι άτοπο αφού το διάστημα περιέχει το πολύ 89999 τέτοιους αριθμούς.

[Demetres]

Θέμα 4ο
Στο επίπεδο δίνονται τρία σημεία . Από το σημείο φέρνουμε ευθεία τέτοια ώστε το γινόμενο των αποστάσεων των να είναι μέγιστο. Πάντα μια τέτοια ευθεία είναι μοναδική;

Εννοείται ότι τα σημεία είναι διαφορετικά αλλιώς αν πάρουμε π.χ. τότε όλες οι ευθείες δίνουν γινόμενο 0 οπότε δεν υπάρχει μοναδική ευθεία που το μεγιστοποιεί. Θα δείξουμε ότι ακόμη και για διαφορετικά σημεία μπορεί η ευθεία να μην είναι μοναδική.

Έστω και . Αν φέρουμε την ευθεία με τύπο , τότε η απόσταση του από την ευθεία είναι και η απόσταση του από την ευθεία είναι . Επομένως το γινόμενο των αποστάσεων είναι με ισότητα αν και μόνο αν . Άρα υπάρχουν δύο ευθείες που μεγιστοποιούν το γινόμενο. [Η μόνη άλλη ευθεία που περνάει από το και δεν την έχουμε λάβει υπόψη είναι η αλλά για αυτήν το γινόμενο ισούται με 0.]

Γενίκευση: Η ευθεία είναι μοναδική αν και μόνο αν .