Μάγκος τζούνιορ

KARKAR · #1

J160. Let

be a triangle with $\angle {A} = 90^0$ and let

, be a line passing trough the incenter of the
triangle and intersecting sides

and

in

and

respectively. Find the minimum of $AP {\cdot}AQ$

Proposed by Dorin Andrica, Babes-Bolyai University, Cluj-Napoca, Romania
Solution by Magkos Athanasios

, Kozani, Greece

Λύστε την κι εσείς !

#2

Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το $\displaystyle{A}$ , ώστε οι ευθείες $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{AC}$ να είναι οι άξονες των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ αντίστοιχα. Έστω ότι $\displaystyle{P\left( {r + a,0} \right)}$ και $\displaystyle{Q\left( {0,r + b} \right)}$ , όπου $\displaystyle{r}$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και $\displaystyle{a,b > 0}$ .

Η εξίσωση της ευθείας $\displaystyle{PQ}$ είναι:

$\displaystyle{\frac{x}{{r + a}} + \frac{y}{{r + b}} = 1}$ .

Εφόσον αυτή διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{I\left( {r,r} \right)}$ , θα είναι:

$\displaystyle{\frac{1}{{r + a}} + \frac{1}{{r + b}} = \frac{1}{r}}$ .

Από την ανισότητα γεωμετρικού-αρμονικού μέσου έχουμε ότι:

$\displaystyle{\sqrt {AP \cdot AQ} = \sqrt {\left( {r + a} \right)\left( {r + b} \right)} \ge \frac{2}{{\frac{1}{{r + a}} + \frac{1}{{r + b}}}} = 2r,}$

οπότε

$\displaystyle{\boxed{AP \cdot AQ \ge 4{r^2}}}$ .

Το ίσον ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle{a = b}$ , δηλαδή αν και μόνο αν το τρίγωνο $\displaystyle{APQ}$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

p_gianno · #3

Ουσιαστικά ζητάμε το ελάχιστο εμβαδόν του ορθογωνίου τργ APQ

.

Αυτό επιτυγχάνεται όταν η

ταυτιστεί με την κάθετη

στο

στο σημείο

Πράγματι δημιουργώντας το παραλληλόγραμμο EPMN

είναι φανερό ότι (IQM)<(INM)=(IEP)

για $Q \neq M$

Επομένως

(APQ)= (AEIQ)+(EIP) > (AEIQ)+(IQM)=(AEM)

Συνεπώς το ελάχιστο γινόμενο (ζητούμενο) επιτυγχάνεται όταν τργ APQ

ταυτιστεί με το τργ AEM

δηλ όταν είναι ισοσκελές.

KARKAR · #4

Η λύση που έδωσε τότε ο Θάνος :

Let M,N

be the projections of

on

respectively. We have IM = IN = r

and from the similarity of the triangles PMI, INQ

, we find $PM {\cdot}NQ = r^2$

where

is the inradius of triangle ABC

. Then, we have $AP {\cdot} AQ=$

$= (AM +MP)(AN + NQ) = AM {\cdot}AN + AM {\cdot} NQ +MP {\cdot} AN +MP {\cdot} NQ=$

$= 2r^2 + r(NQ +MP) \geq 2r^2 + 2r\sqrt{MP {\cdot}NQ} = 2r^2 + 2r^2 = 4r^2$

The sign of equality holds if $MP = NQ \Leftrightarrow AP = AQ \Leftrightarrow \angle{APQ} =\angle{ AQP} = 45^0$

#5

Και ΑναλυτικοΓεωμετρικά (με μελέτη Ακροτάτων, μέσω Παραγώγων).

: 18-4-2012 Γεωμετρία b.jpg (13.63 KiB) Προβλήθηκε 539 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο A(0, 0)

κατασκευάζουμε τρίγωνο ABC

με

στον

και

στον

.

Το έγκεντρό του βρίσκεται στη διχοτόμο της $\displaystyle \widehatA:\;y = x$ , οπότε έστω ότι είναι Ι(1, 1)

.

Έστω ευθεία (e)

διερχόμενη από το

που τέμνει τις AC, AB

στα

αντίστοιχα.

Τότε $\displaystyle \left( e \right):\;\;y = - \frac{c}{b}\left( {x - b} \right)$ και αφού διέρχεται από το

είναι
$\displaystyle 1 = - \frac{c}{b}\left( {1 - b} \right) \Leftrightarrow b = - c + bc \Leftrightarrow c = \frac{b}{{b - 1}},\;\;b \ne 1$

Αν $\displaystyle b = 1$ θα ήταν $\displaystyle \left( e \right)//Oy$ οπότε δεν θα έτεμνε την

.

Η παράσταση $\displaystyle AC \cdot AB$ γράφεται $\displaystyle f\left( b \right) = b \cdot \frac{b}{{b - 1}} = \frac{{b^2 }}{{b - 1}},\;0 < b \ne 1$
Είναι $\displaystyle f'\left( b \right) = \frac{{b^2 - 2b}}{{\left( {b - 1} \right)^2 }}$
Η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο όταν b = 2

, οπότε και c = 2

.
Η ελάχιστη τιμή είναι f(2) = 4

.
Ανάγοντας το πρόβλημα στη γενικευμένη του μορφή για τυχαίο I(r, r)

, έχουμε ότι το ελάχιστο του γινομένου $\displaystyle AC \cdot AB$ είναι $\displaystyle 4r^2$ .

ΜΗΠΩΣ πρέπει να αλλαχτεί ο φάκελος της ωραίας αυτής άσκησης;

edit: Στο σχήμα αντί I(a, a)

, όπως είχα αρχικά θέσει, είναι I(1, 1)

Μάγκος τζούνιορ

Μάγκος τζούνιορ

Re: Μάγκος τζούνιορ

Re: Μάγκος τζούνιορ

Re: Μάγκος τζούνιορ

Re: Μάγκος τζούνιορ

Μέλη σε σύνδεση