IMC 2009: Θεματα - Λυσεις - Σχολια - Δ1.39, ...

[Nick1990]

Καλημερα σας, σε λιγες ωρες αναχωρουμε για Βουδαπεστη οπου θα διεξαχθει ο IMC τη Δευτερα και την Τριτη, η ομαδα του Μαθηματικου Αθηνας βρησκεται εκει απο χτες

Ανοιξα αυτο το τοπικ για να βαλουμε εδω τα θεματα την Δευτερα και την Τριτη και να προτεινουμε λυσεις για τα θεματα.

[cretanman]

Νίκο ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ σε σένα αλλά και σε όλα τα παιδιά που θα συμμετάσχουν!

Αλέξανδρος

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Καλή επιτυχία και από μένα σε όλα τα παιδιά και ιδιαίτερα στους δύο Νίκους (του Μαθηματικού και του Πολυτεχνείου) της παρέας!
Ανδρέας

[chris_gatos]

Καλή επιτυχία, παιδιά!

[nkatsipis]

Καλή επιτυχία και από μένα σε όλα τα παιδιά!

Νικόλαος Κατσίπης

[Mihalis_Lambrou]

Καλημερα σας, σε λιγες ωρες αναχωρουμε για Βουδαπεστη οπου θα διεξαχθει ο IMC τη Δευτερα και την Τριτη, η ομαδα του Μαθηματικου Αθηνας βρησκεται εκει απο χτες

Καλή επιτυχία.

Ξέρω τις ικανότητες και τις δυνάμεις σας οπότε είμαι απόλυτα βέβαιος ότι θα κάνετε θαύματα.

Αλλά επειδή ξέρω και το ήθος σας, ας πω δημοσία ότι μεταφέρετε τις αρετές που οφείλουν να έχουν όσοι εκπροσωπούν την πατρίδα μας στον διεθνή στίβο. Κερδίσατε την εμπιστοσύνη της από την εργασία σας, τις ικονότητες και την σταθερή πορεία σας για δημιουργία, συχνά υπό αντίξοες συνθήκες.

Με άπειρη εκτίμηση,

Μιχάλης Λάμπρου

[R BORIS]

εμπρός της γης οι κολασμένοι
Καλή τύχη και αποτελέσματα

[Nick1990]

Καλησπερα σας, γραφω απο Βουδαπεστη, σε λιγο αναχωρουμε για Ελλαδα.

Τα θεματα θα αναρτηθουνε συντομα στο σαιτ του διαγωνισμου

Εχουμε:
1 ΧΡΥΣΟ: Σακελλαρης Γεωργιος απο Μαθηματικο
5 Ασημενια: 1 για το Μαθηματικο και 4 για το ΕΜΠ
2: Χαλκινα: 1 για το Μαθηματικο και 1 για το ΕΜΠ (το δικο μου :ρ).

[Ilias_Zad]

ΜΠΡΑΒΟ ΓΙΑ ΟΛΑ ΤΑ ΜΕΤΑΛΛΙΑ! Μπραβο, και πιο προσωπικα ρε Νικο για το χαλκινο!
Μπορεις με την πρωτη ευκαιρια να επονομασεις τα ατομα που πηραν τα μεταλλια;;

[dimitris pap]

Συγχαρητήρια παιδιά σε όλους!!! Παντα επιτυχίες

[chris_gatos]

Mπράβο σε όλα τα παιδιά!!

[Demetres]

Συγχαρητήρια σε όλους!

[Nick1990]

Βαζω τα θεματα του διαγωνισμου:

1η Μερα:
1) Εστω συναρτησεις f,g με f(r) =< g(r) για καθε ρητο r, ισχυει f(x) =< g(x) για καθε x στο R οταν:
α) Οι συναρτησεις f,g ειναι αυξουσες?
β) Οι συναρτησεις f,g ειναι συνεχεις?

2) Εστω πινακες Α,Β,Γ με Α αντιστρεψημο, αν (Α - Β)Γ = ΒΑ^(-1), νδο Γ(Α - Β) = Α^(-1)Β.

3) Σε μια πολη, καθε 2 κατοικοι οι οποιοι δεν ειναι φιλοι μεταξυ τους, εχουν ενα κοινο φιλο. Ακομα κανενας κατοικος δεν ειναι φιλος με ολους τους υπολοιπους. Εστω οτι οι κατοικοι ειναι ν, με α_ι συμβολιζουμε το πληθος των φιλων του ι κατοικου. Εστω οτι ισχυει (α_1)^2 + (α_2)^2 + ... + (α_ν)^2 = ν(ν-1). Εστω κ ειναι ο ελαχιστος αριθμος κατοικων (τουλαχιστον 3) οι οποιοι μπορουν να καθισουν σε ενα κυκλικο τραπεζι με τετοιο τροπο ωστε αναμεσα σε καθε δυο διπλανους κατοικους να υπαρχει φιλια. Βρειτε ολες τις δυνατες τιμες του κ.

4) Εστω Π(ζ) = α_νζ^ν + ... + α_0 ενα μιγαδικο πολυωνυμο. Εστω 1=β_0 >= β_1 >= ... >= β_ν μια κυρτη ακολουθια (2β_κ =< β_(κ+1) + β_(κ-1) για καθε 1 =< κ =< ν-1). Εστω το πολυωνυμο Κ(ζ) = α_νβ_νζ^ν + ... + α_0β_0. Να δειχθει οτι η ελαχιστη τιμη του |Κ| στον κυκλικο δισκο ακτινας 1 δεν ξεπερναει την ελαχιστη τιμη του |Π| στο ιδιο χωριο.

5) Εστω ν θετικος ακεραιος. Ενα ν-simplex (δεν ξερω πως μεταφραζεται) στον R^n δινεται με ν+1 σημεια: Π0, Π1, ... Πν που καλουνται κορυφες του και δεν ανοικουν στο ιδιο υπερεπιπεδο. Για καθε τετοιο ν-simplex Μ οριζουμε με υ(Μ) τον ογκο του και με Κ(Μ) το κεντρο της μοναδικης σφαιρας που περιεχει ολες τις κορυφες του. Εστω Π ενα σημειο στο εσωτερικο ενος ν-simplex. Εστω Μ_ι το ν-simplex που προκειπτει αλλαζοντας την κορυφη Πι του Μ με το σημειο Π. Δειξτε οτι:
υ(Μ_0)Κ(Μ_0) + ... + υ(Μ_ν)Κ(Μ_ν) = υ(Μ)Κ(Μ)

2η Μερα:

1) Δινεται σημειο Κ και ευθεια ε στο χωρο, εστω δ η καθετη αποσταση του Κ απο την ε. Εστω Μ το συνολο των σημειων στο χωρο για τα οποια ισχυει: η καθετη αποσταση τους απο την ε ειναι μεγαλυτερη η ιση απο το διπλασιο της αποστασης τους απο το Κ. Να υπολογιστει ο ογκος του Μ συναρτησει του δ.

2) Δινεται συναρτηση f απο το R στο R, δυο φορες παραγωγισημη, με f''(x) - 5f'(x) + 6f(x) >= 0 για καθε x μη αρνητικο, και f(0)=1, f'(0)=0. Νδο f(x) >= 3e^(2x) - 2e^(3x) για καθε x μη αρνητικο.

3) Εστω μιγαδικοι πινακες Α,Β με Α^2Β + ΒΑ^2 = 2ΑΒΑ. Νδο υπαρχει θετικος ακεραιος ν, τετοιος ωστε: (ΑΒ - ΒΑ)^ν = 0.

4) Εστω p πρωτος θετικος ακεραιος μεγαλυτερος του 2. Εστω Φ το σωμα των υπολοιπων με τον p. Εστω ακομα Κ το μικροτερο συνολο πολυωνυμων με συντελεστες στο Φ για το οποιο ισχυουν:
α) Τα πολυωνυμα x+1, x^(p-2) + x^(p-3) + .. + x^2 + 2x + 1 ανηκουν στο συνολο αυτο
β) Για καθε δυο πολυωνυμα στο Κ, f,g, το υπολοιπο της διαιρεσης του f(g(x)) με το πολυωνυμο x^p - x ανηκει και αυτο στο Κ
Ποσα πολυωνυμα περιεχει το Κ?

5) Εστω Μ ο διανυσματικος χωρος των μxν πινακων. Για εναν υποχωρο αυτου Ν, θεωρουμε δ(Ν) τη διασταση του χωρου που παραγεται απο τις στιλες των πινακων του Ν. Θα λεμε οτι ενας υποχωρος Ν του Μ καλυπτει το χωρο των πινακων οταν η ενωση των πυρινων ολων των πινακων (εκτος του μηδενικου) του Ν ειναι ο χωρος R^μ.
Ο Χωρος Ν που καλυπτει τον χωρο των πινακων θα λεγεται ελαχιστος οταν δεν περιεχει γνησιο υποχωρο ο οποιος να καλυπτει τον χωρο των πινακων.

α) Εστω Τ ο ελαχιστος δ.χ που καλυπτει τον χωρο των πινακων και εστω k η διασταση του, νδο δ(Τ) =<

β) Δειξτε οτι για καθε θετικο ακεραιο κ, μπορουμε να βρουμε θετικους ακεραιους ν,μ και εναν ελαχιστο χωρο Τ που καλυπτει τον χωρο των νxμ πινακων, ωστε δ(Τ) = και dimT = k.

[Nick1990]

Βαζω και τα αποτελεσματα αναλυτικα:

Τα αποτελεσματα του φετινου IMC για την ομαδα του Ε.Μ.Π:

1) Μαστακας Κων/νος - ΣΕΜΦΕ - 3ο ετος: Ασημενιο Μεταλιο
2) Γεωργακοπουλος Αλεξανδρος - ΣΕΜΦΕ - 3ο ετος: Ασημενιο Μεταλιο
3) Κολλιοπουλος Νικολαος - ΣΕΜΦΕ - 1ο ετος: Χαλκινο Μεταλιο
4) Ψυχας Κων/νος - ΣΗΜΜΥ - 3ο ετος: Ασημενιο Μεταλιο
5) Λαμπροπουλος Λεωνιδας - ΣΗΜΜΥ - 2ο ετος: Εφημη Μνεια
6) Καναρη Ληδα - ΣΕΜΦΕ - 3ο ετος: Εφημη Μνεια
7) Νακος Βασιλειος - ΣΗΜΜΥ - 2ο ετος: Ασημενιο Μεταλιο
8 ) Γουλεακης Θεμιστοκλης - ΣΗΜΜΥ - 4ο ετος: Εφημη Μνεια
9) Τουφεξης Φιλιππος - ΣΗΜΜΥ - 4ο ετος: Βραβειο Συμμετοχης

Το Ε.Μ.Π αναδειχθηκε 27ο (για 2η συνεχομενη χρονια) αναμεσα σε 95+ ομαδες.

Για το Μαθηματικο τμημα του ΕΚΠΑ εχουμε:

1) Σακελλαρης Γιωργος - 2ο ετος: Χρυσο Μεταλιο
2) Γιαννης Stamatopoulos - 3ο ετος: Ασημενιο Μεταλιο
3) Καραταπανης Κων/νος - 2ο ετος: Χαλκινο Μεταλιο
4) Παναγιωτακος Νικος - 1ο ετος: Εφημη Μνεια

Το τμημα Μαθηματικων του ΕΚΠΑ κατεκτησε την 20η θεση. Συγχαρητηρια.

Πιστευω πως τα αποτελεσματα αυτα ειναι πολυ καλα για την Ελλαδα, μιας και οι 2 ομαδες μας κατεκτησαν καλυτερες θεσεις απο διαφορες αρκετα ισχυρες ομαδες (οπως αυτη του πανεπιστημιου Cambridge και αυτη του πανεπιστημιου Michigan) αλλα πιστευω οτι στα επομενα χρονια μπορουμε να παμε ακομα καλυτερα.

[papel]

Nick αφου δωσω τα συγχαρητηρια για τα πολυ καλα αποτελεσματα που φερατε ηθελα να
σε ρωτησω ποιο ειναι το υλικο προετοιμασιας (γνωριζω πανω κατω σε τι διαγωνιζεστε) που
χρησιμοποιητε για την προετοιμασιας κυριως σε βιβλια αναφερομαι ετσι ωστε να τα εχουμε
σημειο αναφορας.Μας λες οτι κρινεις εσυ σκοπιμο και συννομο.
Και παλι συγχαρητηρια.

[Dimitris X]

Συγχαρητήρια και από εμάνα σε όλους...
Ο Σιλουανός δεν έγραφε???

[Nick1990]

Nick αφου δωσω τα συγχαρητηρια για τα πολυ καλα αποτελεσματα που φερατε ηθελα να
σε ρωτησω ποιο ειναι το υλικο προετοιμασιας (γνωριζω πανω κατω σε τι διαγωνιζεστε) που
χρησιμοποιητε για την προετοιμασιας κυριως σε βιβλια αναφερομαι ετσι ωστε να τα εχουμε
σημειο αναφορας.Μας λες οτι κρινεις εσυ σκοπιμο και συννομο.
Και παλι συγχαρητηρια.

Ευχαριστω (Κωστα εσυ εισαι?)

Η Υλη των πανεπιστημιακων διαγωνισμων ειναι θεωρηματα-λημματα μαζι με ορισμενα αρκετα δυσκολα προβληματα απο την υλη των βασικων μαθηματων των πανεπιστημιων (γραμμικη αλγεβρα, αναλυση, θεωρια ομαδων, αναλυτικη γεωμετρια) καθως και καποια πραγματα απο την υλη των ΔΜΟ (πχ ορισμενα πραγματα απο Θεωρια Αριθμων).

Εγω δεν εχω και πολλεσ γνωσεις απο τα πανεπιστημιακα λογο του οτι μολις τελειωσα το 1ο ετος, απλα εχω διαβασει αρκετα πραγματα απο την υλη των ΔΜΟ. Εχω ακουσει ομως για διαφορα πολυ καλα βιβλια (τα οποια σκοπευω να προμηθευτω συντομα) που ειναι πολυ καλα για τετοιους διαγωνισμους, 2 απο αυτα ειναι το Putnam and beyond και το Linear Algebra (βιβλιο γραμμικης Αλγεβρας) του Peter Lax.

[Ilias_Zad]

Βαζω τα θεματα του διαγωνισμου:

1η Μερα:
1) Εστω συναρτησεις f,g με f(r) =< g(r) για καθε ρητο r, ισχυει f(x) =< g(x) για καθε x στο R οταν:
α) Οι συναρτησεις f,g ειναι αυξουσες?
β) Οι συναρτησεις f,g ειναι συνεχεις?

2η Μερα:
2) Δινεται συναρτηση f απο το R στο R, δυο φορες παραγωγισημη, με f''(x) - 5f'(x) + 6f(x) >= 0 για καθε x μη αρνητικο, και f(0)=1, f'(0)=0. Νδο f(x) >= 3e^(2x) - 2e^(3x) για καθε x μη αρνητικο.

Παραθετω μια λυση για το δευτερο της δευτερης μερας το οποιο εβγαινε τελειως σχολικα για τα ελληνικα δεδομενα, χωρις βεβαια να λεω πως ειναι ευκολο ιδιαιτερα οταν γραφεις εκει στον διαγωνισμο.
(εξαλλου αναλυση σε πανεπιστιμιακα δεδομενα δεν εχω προλαβει να διαβασω ακομα.. αρα ισως να βγαινει και αλλιως)
Πιο συγκεκριμενα, η δοθεισα σχεση γραφεται,


που σημαινει οτι αυξουσα στο διαστημα μας αρα μεγαλυτερη ιση απο ,
και αρα,

δηλαδη αυξουσα στο διαστημα μας αρα μεγαλυτερη ιση απο ,
και αρα , το ζητουμενο.

Για το πρωτο της πρωτης μερας (δευτερο ερωτημα) νομιζω πως ειναι σχετικα βατο αν σκεφτεις την πυκνοτητα των ρητων αριθμων, πραγμα σχετικα γνωστο απο τις συναρτησιακες cauchy που κανουν την εμφανιση τους συχνα σε μαθητικες ολυμπιαδες.

[Nick1990]

Βαζω τα θεματα του διαγωνισμου:

1η Μερα:
1) Εστω συναρτησεις f,g με f(r) =< g(r) για καθε ρητο r, ισχυει f(x) =< g(x) για καθε x στο R οταν:
α) Οι συναρτησεις f,g ειναι αυξουσες?
β) Οι συναρτησεις f,g ειναι συνεχεις?

2η Μερα:
2) Δινεται συναρτηση f απο το R στο R, δυο φορες παραγωγισημη, με f''(x) - 5f'(x) + 6f(x) >= 0 για καθε x μη αρνητικο, και f(0)=1, f'(0)=0. Νδο f(x) >= 3e^(2x) - 2e^(3x) για καθε x μη αρνητικο.

Παραθετω μια λυση για το δευτερο της δευτερης μερας το οποιο εβγαινε τελειως σχολικα για τα ελληνικα δεδομενα, χωρις βεβαια να λεω πως ειναι ευκολο ιδιαιτερα οταν γραφεις εκει στον διαγωνισμο.
(εξαλλου αναλυση σε πανεπιστιμιακα δεδομενα δεν εχω προλαβει να διαβασω ακομα.. αρα ισως να βγαινει και αλλιως)
Πιο συγκεκριμενα, η δοθεισα σχεση γραφεται,


που σημαινει οτι αυξουσα στο διαστημα μας αρα μεγαλυτερη ιση απο ,
και αρα,

δηλαδη αυξουσα στο διαστημα μας αρα μεγαλυτερη ιση απο ,
και αρα , το ζητουμενο.

Για το πρωτο της πρωτης μερας (δευτερο ερωτημα) νομιζω πως ειναι σχετικα βατο αν σκεφτεις την πυκνοτητα των ρητων αριθμων, πραγμα σχετικα γνωστο απο τις συναρτησιακες cauchy που κανουν την εμφανιση τους συχνα σε μαθητικες ολυμπιαδες.

Κοιτα αν και τα μαθηματικα που διδασκομαστε στο Λυκειο μεχρι την 3η ταξη ειναι παρα πολυ λιγα, στην 3η πιστευω οτι μαθαινουμε παρα πολυ καλη Αναλυση. Μολις πας στο Μαθηματικο και παρακολουθισεις Απειροστικο1, θα διαπιστωσεις οτι ενα μεγαλο μερος αυτων που θα δεις εκει τα εχεις ξαναδει στο σχολειο... Ειναι γεγονος οτι τα περισσοτερα παιδια απο το ΕΜΠ και το ΕΚΠΑ αντιμετοπισαμε το συγκεκριμενο προβλημα με απολυτη επιτυχια, ενω απο τα ξενα πανεπιστημια, υπηρχε ενα μεγαλο ποσοστο ατομων (αρκετοι απο τους οποιους πηραν και χαλκινα και καποιοι και ασημενια) που δεν μπορεσαν να δωσουν ολοκληρωμενη λυση.

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

Για το δεύτερο της πρώτης μέρας

Έστω πίνακες Α,Β,Γ με Α αντιστρέψιμο, αν
να δείξετε ότι:


ΛΥΣΗ



όπου Ι ο μοναδιαίος
αφού ο Α είναι αντιστρέψιμος



Επομένως ο Α-Β αντιστρέφεται και ο αντίστροφός του είναι ο

Επομένως ισχύει και








Μπράβο και από μένα στα παιδιά