ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Απάντηση
nikoszan
Δημοσιεύσεις: 953
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 17, 2009 2:22 pm

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikoszan »

Για την συνεχή συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ισχύει f\left( x \right).\int\limits_0^{ - x} {f\left( t \right)} dt = 1 - {e^x},\forall x \in \mathbb{R}.
Να βρεθεί ο τύπος της f .
Ν.Ζ.
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος nikoszan την Τρί Μάιος 22, 2012 6:13 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κορυφή
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2751
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN »

Ερώτηση : Η ολοκληρωτέα συνάρτηση έχει μεταβλητή το x ;
Γιάννης
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Κορυφή
nikoszan
Δημοσιεύσεις: 953
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 17, 2009 2:22 pm

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikoszan »

Εγινε η διόρθωση στην μεταβλητή .Η κούραση σε κάνει απρόσεκτο.(Αλέξανδρε ευχαριστω για το π.μ.)
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4126
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:
Επικοινωνία cretanman

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman »

Πολύ όμορφη άσκηση!

Καταρχήν για κάθε x\neq 0 είναι f(x)\neq 0 διότι αν υπήρχε x_0\neq 0 ώστε f(x_0)=0 τότε για x=x_0 στη δοσμένη παίρνουμε x_0=0, άτοπο.

Συνεπώς η f ως συνεχής διατηρεί σταθερό πρόσημο σε κάθε ένα από τα διαστήματα (-\infty,0) και (0,+\infty).

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει x_1>0 ώστε f(x_1)>0. Τότε f(x)>0 για κάθε x>0. Τότε υποχρεωτικά f(-x_1)>0. Πράγματι αν ήταν f(-x_1)<0 τότε f(x)<0 για κάθε x<0 και θέτοντας όπου x το -x_1 στη δοσμένη παίρνουμε f(-x_1)\displaystyle\int_0^{x_1}f(t)dt=1-e^{-x_1}, άτοπο διότι 1-e^{-x_1}>0 ενώ \displaystyle\int_0^{x_1}f(t)dt>0.

Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει x_1>0 ώστε f(x_1)<0 τότε f(x)<0 για κάθε x>0 και όμοια όπως πριν μπορούμε να αποδείξουμε ότι f(-x_1)<0 άρα f(x)<0 για κάθε x<0.

Συνεπώς f(x)>0 για κάθε x\neq 0 είτε f(x)<0 για κάθε x\neq 0.

Για x\neq 0 παίρνουμε f(x)=\dfrac{1-e^x}{\displaystyle\int_0^{-x}f(t)dt} \ \ (1)

Οπότε παίρνοντας όρια έχουμε αφενός ότι \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=f(0) και αφετέρου ότι

\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1-e^x}{\displaystyle\int_0^{-x}f(t)dt}\stackrel{L'H}{=}\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x}{f(-x)}=\dfrac{1}{f(0)}

Άρα από την (1) έχουμε f^2(0)=1

\blacksquare Έστω f(x)>0 για κάθε x\neq 0.

Αφού f(x)>0 για x\neq 0 άρα \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\geq 0 συνεπώς f(0)\geq 0 άρα f(0)=1

Ορίζουμε τώρα g(x)=\displaystyle\int_0^{x}f(t)dt και η αρχική σχέση γίνεται:

g'(x)g(-x)=1-e^x για κάθε x\in\mathbb{R} \ \ (2)

Θέτουμε όπου x το -x και παίρνουμε: g'(-x)g(x)=1-e^{-x} για κάθε x\in\mathbb{R} \ \ (3)

Αφαιρούμε τη (3) από τη (2) και έχουμε \left(g(x)g(-x)\right)' = \left(-e^{-x}-e^x\right)'

άρα g(x)g(-x)=-e^{-x}-e^x+c και λόγω του ότι g(0)=0 παίρνουμε c=2

Άρα g(x)g(-x)=-e^{-x}-e^x+2 για κάθε x\in\mathbb{R} \ \ (4)

Λόγω του ότι g'(x)=f(x)>0 για κάθε x\in\mathbb{R} άρα η gείναι γνησίως αύξουσα με προφανή ρίζα το 0 άρα και μοναδική. Συγκεκριμένα g(x)>0 για x>0 και g(x)<0 για x<0.

Για x>0 διαιρούμε κατά μέλη τις (2) και (4) και παίρνουμε:

\left(\ln{g(x)}\right)'=\dfrac{e^x}{e^x-1}=\left(\ln{(e^x-1)}\right)'

απ' όπου \ln{g(x)}=\ln{(e^x-1)}+c_1 δηλαδή \ln{\left(\dfrac{g(x)}{e^x-1}\right)}=c_1 για κάθε x>0 \ \ (5)

Όμως \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)}{e^x-1}\stackrel{L'H}{=}\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{f(x)}{e^x}=1 λόγω συνέχειας της f και του ότι f(0)=1

άρα παίρνοντας όρια στην (5) έχουμε τελικά c_1=0 οπότε g(x)=e^x-1 για κάθε x>0.

Όμοια για x<0 με την ίδια ακριβώς διαδικασία παίρνουμε g(x)=e^x-1 για κάθε x<0.

Άρα τελικά g(x)=e^x-1 για κάθε x\in\mathbb{R}

Συνεπώς παραγωγίζοντας την παραπάνω έχουμε g'(x)=e^x δηλαδή f(x)=e^x για κάθε x\in\mathbb{R} συνάρτηση που επαληθεύει την αρχική δοσμένη σχέση.

\blacksquare Έστω f(x)<0 για κάθε x\neq 0.

Τότε με όμοια διαδικασία με την παραπάνω παίρνουμε f(0)=-1 και τελικά f(x)=-e^x για κάθε x\in\mathbb{R}, συνάρτηση που επίσης επαληθεύει την αρχική σχέση.

Συνεπώς οι ζητούμενες συναρτήσεις είναι οι \boxed{f(x)=e^x, \ \ \forall x\in\mathbb{R}} ή \boxed{f(x)=-e^x, \ \ \forall x\in\mathbb{R}}

Αλέξανδρος

Edit: Ευχαριστώ το Νίκο Ζανταρίδη για την υπόδειξη του λάθους το οποίο έχει διορθωθεί.
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2395
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:
Επικοινωνία R BORIS

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS »

Μια λίγο διαφορετική ιδέα

αν \displaystyle{F(x)=\int_{0}^{-x}{f(t)dt}} άρα η δοθείσα γίνεται \displaystyle{f(x)F(x)=1-e^x}[1]
αν \displaystyle{r} ρίζα της \displaystyle{F} τότε \displaystyle{r=0} πράγματι \displaystyle{F(0)=0} Επιπλέον αν \displaystyle{x\ne 0\Rightarrow 1-e^x\ne 0\Rightarrow f(x)\ne 0}

άρα με \displaystyle{x\ne 0} έχουμε \displaystyle{f(x)=\frac{1-e^{x}}{F(x)}} και \displaystyle{f} παραγωγίσιμη στο \displaystyle{R*}

Από [1] παραγωγίζοντας είναι \displaystyle{f'(x)F(x)+F'(x)f(x)=-e^x\Rightarrow (f'(x)/f(x))f(x)F(x)+f(x)F'(x)=-e^x\Rightarrow (f'(x)/f(x))(1-e^x)+f(x)(\frac{1-e^x}{f(x)})'=-e^x}
Τότε \displaystyle{(f'(x)/f(x))(1-e^x)+f(x)\frac{f'(x)(1-e^x)-e^xf(x)}{f^2(x)}=-e^x}

άρα \displaystyle{f'(x)/f(x)=1} οπότε \displaystyle{f(x)=ce^{x}} με αντικατάσταση στην αρχική \displaystyle{c^2=1} και αφού \displaystyle{f} συνεχής και στο 0 \displaystyle{f(x)=e^{x}} ή \displaystyle{f(x)=-e^x,x\in R}
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες