ΘΑΛΗΣ 2012 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Αν $\displaystyle{\alpha \ne 0}$ και $\displaystyle{-1<\alpha <1}$ , να βρείτε το πρόσημο της παράστασης $\displaystyle{K=\frac{A}{B}-1+\alpha}$ ,
όπου $\displaystyle{A=\sqrt{\frac{1+\alpha}{1-\alpha}}+\sqrt{\frac{1-\alpha}{1+\alpha}}, B=\sqrt{\frac{1+\alpha}{1-\alpha}}-\sqrt{\frac{1-\alpha}{1+\alpha}}}$

2. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{ x^2- 2\kappa x -1+\kappa^ 2 = 0}$ .
Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου $\displaystyle{\kappa}$ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες στο διάστημα $\displaystyle{(0,5)}$ με άθροισμα τέταρτων δυνάμεων ίσο με $\displaystyle{82}$ .

3. Να προσδιορίσετε τους μη μηδενικούς ακέραιους $\displaystyle{x, y}$ και $\displaystyle{z}$ για τους οποίους ισχύει ότι $\displaystyle{\frac{x}{2012x+3}=\frac{y}{2012y+5}=\frac{z}{2012z+7}}$
και το άθροισμα των τετραγώνων των $\displaystyle{x, y}$ και $\displaystyle{z}$ είναι διαιρέτης του 747

.

4. Δίνεται κύκλος $\displaystyle{c(O, R)}$ , τυχούσα χορδή του $\displaystyle{AB}$ (όχι διάμετρος) και τυχόν σημείο $\displaystyle{M}$ του μικρού τόξου $\displaystyle{\overset{\frown }{AB}}$ .
Οι κύκλοι $\displaystyle{c_1 (A, AM)}$ και $\displaystyle{c_2 (B, BM)}$ τέμνουν το κύκλο $\displaystyle{c(O, R)}$ στα σημεία $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{N}$ , αντίστοιχα.
Οι κύκλοι $\displaystyle{c_1 (A, AM)}$ και $\displaystyle{c_2 (B, BM)}$ τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{T}$ .
Να αποδείξετε ότι το σημείο $\displaystyle{T}$ είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου $\displaystyle{KMN}$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:3. Να προσδιορίσετε τους μη μηδενικούς ακέραιους $\displaystyle{x, y}$ και $\displaystyle{z}$ για τους οποίους ισχύει ότι $\displaystyle{\frac{x}{2012x+3}=\frac{y}{2012y+5}=\frac{z}{2012z+7}}$
και το άθροισμα των τετραγώνων των $\displaystyle{x, y}$ και $\displaystyle{z}$ είναι διαιρέτης του .

εδώ

parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται κύκλος $\displaystyle{c(O, R)}$ , τυχούσα χορδή του $\displaystyle{AB}$ (όχι διάμετρος) και τυχόν σημείο $\displaystyle{M}$ του μικρού τόξου $\displaystyle{\overset{\frown }{AB}}$ .
Οι κύκλοι $\displaystyle{c_1 (A, AM)}$ και $\displaystyle{c_2 (B, BM)}$ τέμνουν το κύκλο $\displaystyle{c(O, R)}$ στα σημεία $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{N}$ , αντίστοιχα.
Οι κύκλοι $\displaystyle{c_1 (A, AM)}$ και $\displaystyle{c_2 (B, BM)}$ τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{T}$ .
Να αποδείξετε ότι το σημείο $\displaystyle{T}$ είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου $\displaystyle{KMN}$ .

εδώ κι εδώ

BAGGP93 · #3

2. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{ x^2- 2\kappa x -1+\kappa^ 2 = 0}$ .
Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου $\displaystyle{\kappa}$ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες στο διάστημα $\displaystyle{(0,5)}$ με άθροισμα τέταρτων δυνάμεων ίσο με $\displaystyle{82}$ .

Καλησπέρα.

$\displaystyle{x^2-2kx-1+k^2=0\Rightarrow }$

$\displaystyle{\Rightarrow (x-k)^2=1}$

$\displaystyle{\Rightarrow x-k=1\ \lor x-k=-1}$

$\displaystyle{\Rightarrow x=k+1\ \lor x=k-1}$

Ας είναι $\displaystyle{x_1=k+1}$ και $\displaystyle{x_2=k-1}$

Τότε έχουμε

$\displaystyle{(0<x_1<5)\ \land (0<x_2<5)\Rightarrow}$

$\displaystyle{\Rightarrow( 0<k+1<5)\ \land (0<k-1<5)}$

$\displaystyle{\Rightarrow (-1<k<4)\ \land (1<k<6)}$

$\displaystyle{\Rightarrow 1<k<4}$

Επίσης,

$\displaystyle{x_1^4+x_2^4=82\Rightarrow (x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2\cdot x_2^2=82}$

$\displaystyle{\Rightarrow [(x_1+x_2)^2-2x_1\cdot x_2]^2-2(x_1\cdot x_2)^2=82}$

$\displaystyle{\Rightarrow [4k^2-2(k^2-1)]^2-2(k^2-1)^2=82}$

$\displaystyle{\Rightarrow (2k^2+2)^2-2(k^2-1)^2=82}$

$\displaystyle{\Rightarrow 4k^4+8k^2+4-2k^4+4k^2-2-82=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow k^4+6k^2-40=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow (k^2+3)^2=49}$

$\displaystyle{\Rightarrow k^2+3=7\ \lor k^2+3=-7}$

$\displaystyle{\Rightarrow k^2=4\ \lor k^2=-10}$

$\displaystyle{k=2\ \lor k=-2}$

Από αυτές δεκτή είναι μόνο η τιμή $\displaystyle{k=2}$ διότι $\displaystyle{1<k<4}$

perpant · #4

parmenides51 έγραψε:1. Αν $\displaystyle{\alpha \ne 0}$ και $\displaystyle{-1<\alpha <1}$ , να βρείτε το πρόσημο της παράστασης $\displaystyle{K=\frac{A}{B}-1+\alpha}$ ,
όπου $\displaystyle{A=\sqrt{\frac{1+\alpha}{1-\alpha}}+\sqrt{\frac{1-\alpha}{1+\alpha}}, B=\sqrt{\frac{1+\alpha}{1-\alpha}}-\sqrt{\frac{1-\alpha}{1+\alpha}}}$

$\displaystyle{{\rm K} = \frac{{\rm A}}{{\rm B}} - 1 + \alpha = \frac{{\sqrt {\frac{{1 + \alpha }}{{1 - \alpha }}} + \sqrt {\frac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}} }}{{\sqrt {\frac{{1 + \alpha }}{{1 - \alpha }}} - \sqrt {\frac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}} }} - 1 + \alpha = \frac{{{{\left( {\sqrt {\frac{{1 + \alpha }}{{1 - \alpha }}} + \sqrt {\frac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}} } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt {\frac{{1 + \alpha }}{{1 - \alpha }}} - \sqrt {\frac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}} } \right)\left( {\sqrt {\frac{{1 + \alpha }}{{1 - \alpha }}} + \sqrt {\frac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}} } \right)}} - 1 + \alpha = }$

$\displaystyle{\frac{{{{\left( {\sqrt {\frac{{1 + \alpha }}{{1 - \alpha }}} } \right)}^2} + 2\sqrt {\frac{{1 + \alpha }}{{1 - \alpha }}} \sqrt {\frac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}} + {{\left( {\sqrt {\frac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}} } \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {\frac{{1 + \alpha }}{{1 - \alpha }}} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {\frac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}} } \right)}^2}}} - 1 + \alpha = \frac{{\frac{{1 + \alpha }}{{1 - \alpha }} + 2 + \frac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}}}{{\frac{{1 + \alpha }}{{1 - \alpha }} - \frac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}}} - 1 + \alpha = }$

$\displaystyle{\frac{{\left( {1 - \alpha } \right)\left( {1 + \alpha } \right)\left( {\frac{{1 + \alpha }}{{1 - \alpha }} + 2 + \frac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}} \right)}}{{\left( {1 - \alpha } \right)\left( {1 + \alpha } \right)\left( {\frac{{1 + \alpha }}{{1 - \alpha }} - \frac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}} \right)}} - 1 + \alpha = \frac{{{{\left( {1 + \alpha } \right)}^2} + 2\left( {1 - {\alpha ^2}} \right) + {{\left( {1 - \alpha } \right)}^2}}}{{{{\left( {1 + \alpha } \right)}^2} - {{\left( {1 - \alpha } \right)}^2}}} - 1 + \alpha = }$

$\displaystyle{\frac{{1 + 2\alpha + {\alpha ^2} + 2 - 2{\alpha ^2} + 1 - 2\alpha + {\alpha ^2}}}{{1 + 2\alpha + {\alpha ^2} - 1 + 2\alpha - {\alpha ^2}}} - 1 + \alpha = \frac{1}{\alpha } - 1 + \alpha = \frac{{1 - \alpha + {\alpha ^2}}}{\alpha } = \frac{{{\alpha ^2} - \alpha + 1}}{\alpha }}$

Το τριώνυμο του αριθμητή είναι θετικό για κάθε $\displaystyle{\alpha \in \left( { - 1,0} \right) \cup \left( {0,1} \right)}$ αφού έχει αρνητική διακρίνουσα. Οπότε το πρόσημο της παράστασης $\displaystyle{{\rm K}}$ δίνεται από το πρόσημο του παρονομαστή. Οπότε :

• Όταν $\displaystyle{\alpha \in \left( { - 1,0} \right)}$ τότε $\displaystyle{{\rm K} < 0}$ και
• Όταν $\displaystyle{\alpha \in \left( {0,1} \right)}$ τότε $\displaystyle{{\rm K} > 0}$

ΘΑΛΗΣ 2012 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2012 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2012 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2012 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2012 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση