Putnam 2012 - Θέμα A2

#1

Έστω

ένα μη κενό σύνολο και $* : S \times S \to S$ μια αντιμεταθετική και προσεταιριστική πράξη, με την ιδιότητα:

Για κάθε $x, y \in S$ , υπάρχει $z \in S$ τέτοιο, ώστε .

Να αποδείξετε ότι ισχύει ο νόμος της διαγραφής: Για κάθε $a, b, c \in S , \quad$ $a * c = b * c \implies a = b.$

#2

emouroukos έγραψε:Έστω ένα μη κενό σύνολο και $* : S \times S \to S$ μια αντιμεταθετική και προσεταιριστική πράξη, με την ιδιότητα:

Για κάθε $x, y \in S$ , υπάρχει $z \in S$ τέτοιο, ώστε .

Να αποδείξετε ότι ισχύει ο νόμος της διαγραφής: Για κάθε $a, b, c \in S , \quad$ $a * c = b * c \implies a = b.$

Έστω $\displaystyle{a \in S}$ . Από την υπόθεση υπάρχει $\displaystyle{e \in S}$ , ώστε $\displaystyle{a * e=a}$

Από την αντιμεταθετικότητα της πράξης έχουμε ότι και $\displaystyle{e * a=a}$ .

Έστω $\displaystyle{c \in S}$ . Από την υπόθεση υπάρχει $\displaystyle{b \in S}$ ώστε $\displaystyle{c=b * a }$ . Τότε

$\displaystyle{c * e =(b * a) * e=b * (a * e)=b * a=c}$ και λόγω αντιμεταθετικότητας θα έχουμε και $\displaystyle{e * c=c}$ .

Άρα το $\displaystyle{S}$ έχει ουδέτερο στοιχείο ως προς την πράξη, το $\displaystyle{e}$ .

Έστω $\displaystyle{x \in S}$ , τότε θα υπάρχει $\displaystyle{x' \in S}$ με $\displaystyle{x *x' =e}$ και κατά συνέπεια και $\displaystyle{x' *x=e}$ .

Το $\displaystyle{x'}$ θα είναι το αντίστροφο του $\displaystyle{x}$ ως προς την πράξη (η μοναδικότητα του αποδεικνύεται εύκολα)

Τέλος:

$\displaystyle{a *b=a *c \Rightarrow a' * (a * b)=a' * (a * c ) \Rightarrow (a' * a) * b= (a' * a ) * c \Rightarrow e * b =e * c \Rightarrow b=c}$

και τελειώσαμε.

Putnam 2012 - Θέμα A2

Putnam 2012 - Θέμα A2

Re: Putnam 2012 - Θέμα A2

Μέλη σε σύνδεση