Putnam 2012 - Θέμα B4

#1

Η ακολουθία $\displaystyle{{\left( {{a_n}} \right)}}$ ορίζεται αναδρομικά από τις σχέσεις: $\displaystyle{{a_0} = 1}$ και $\displaystyle{{a_{n + 1}} = {a_n} + {e^{ - {a_n}}}}$ για κάθε $n \in \Bbb{N}.$

Να εξετάσετε αν η ακολουθία $\displaystyle{\left( {{b_n}} \right)}$ , με $\displaystyle{{{b_n} = {a_n} - \ln n}}$ για κάθε θετικό ακέραιο

, συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό.

#2

emouroukos έγραψε:Η ακολουθία $\displaystyle{{\left( {{a_n}} \right)}}$ ορίζεται αναδρομικά από τις σχέσεις: $\displaystyle{{a_0} = 1}$ και $\displaystyle{{a_{n + 1}} = {a_n} + {e^{ - {a_n}}}}$ για κάθε $n \in \Bbb{N}.$

Να εξετάσετε αν η ακολουθία $\displaystyle{\left( {{b_n}} \right)}$ , με $\displaystyle{{{b_n} = {a_n} - \ln n}}$ για κάθε θετικό ακέραιο , συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό.

Η

είναι προφανώς γνησίως αύξουσα και πάει στο $+\infty$ , αφού αν είχε όριο $\ell\in\mathbb R$ παίρνοντας όριο στην αναδρομική θα χαμε $\ell=\ell+e^{-\ell}$ άτοπο.

Έχουμε $\displaystyle{e^{a_{n+1}}-e^{a_n}=e^{a_n+e^{-a_n}}-e^{a_n}=e^{a_n}(e^{e^{-a_n}}-a)=1+\mathcal O(e^{-a_n})\to1\hspace{15ex}(*)}$ .

Αυτό λέει ότι μπορώ να βρω $\varepsilon>0$ και n_0

με $n\geq n_0\Rightarrow (1-\varepsilon)<e^{a_{n+1}}-e^{a_n}<1+\varepsilon$ οπότε αθροίζοντας από n_0

ως

παίρνω ότι $\displaystyle{n(1-\varepsilon)+e^{a_{n_0}}<e^{a_{n+n_0}}<n(1+\varepsilon)+e^{a_{n_0}}}$ που σημαίνει ότι $e^{-a_n}=\mathcal O(n^{-1})$ .

Έπεται ότι $\displaystyle{e^{a_{n+1}}-e^{a_n}-1=\mathcal O(n^{-1})}$ .

Αυτό λέει ότι υπάρχουν n_0

και

με $n\geq n_0\Rightarrow -\frac{c}{n}\leq e^{a_{n+1}}-e^{a_n}-1\leq\frac{c}{n}$ . Αθροίζοντας πάλι όπως πριν, και επειδή $H_n=\mathcal O(\ln n)$ , όπου H_n

ο

οστός αρμονικός αριθμός παίρνουμε $\displaystyle{e^{a_n}=n+\mathcal O(\ln n)}$ άρα $\displaystyle{a_n=\ln n+\mathcal O\left(\frac{\ln n}{n}\right)}$ που δίνει ότι $b_n\to0$ .

Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία μπορούμε να προσεγγίσουμε την a_n

όσο καλά θέλουμε.

Το γιατί στο σημείο (*)

επιλέξαμε την $F(x)=e^{x}$ για να αναζητήσουμε $k\neq0$ με $F(a_{n+1})-F(a_n)\to k$ , μπορεί κανείς να το δει κανείς εδώ στο αρθράκι του Moubinool Omarjee.

Το ίδιο πρόβλημα έχει επίσης συζητηθεί μερικώς εδώ και εδώ.

#3

Ήμουν βέβαιος ότι ο Τάσος θα "καθάριζε" το θέμα με συνοπτικές διαδικασίες....

Μια διαφορετική προσέγγιση χρησιμοποιεί το Κριτήριο Cesàro-Stolz (βλέπε και εδώ, στο σύνδεσμο που αναφέρθηκε πιο πάνω).

Όπως έδειξε και ο Τάσος, είναι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = + \infty }$ . Επομένως, έχουμε ότι:

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{e^{{a_{n + 1}}}} - {e^{{a_n}}}}}{{\left( {n + 1} \right) - n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {e^{{a_n}}}\left( {{e^{{a_{n + 1}} - {a_n}}} - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{e^{{e^{ - {a_n}}}}} - 1}}{{{e^{ - {a_n}}}}}\mathop = \limits^{x = {e^{ - {a_n}}} \to 0} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1}$

και από το Κριτήριο Cesàro-Stolz προκύπτει ότι:

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{e^{{a_n}}}}}{n} = 1,}$

οπότε

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n} - \ln n} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \left( {\frac{{{e^{{a_n}}}}}{n}} \right) = \ln 1 = 0}$

και τελειώσαμε.

Για μια άλλη προσέγγιση, που όμως δίνει μόνο την ύπαρξη του ορίου της ακολουθίας $\displaystyle{\left( {{b_n}} \right)}$ , μπορούμε να δείξουμε (σχετικά εύκολα, με επαγωγή και χρησιμοποιώντας την ανισότητα $\displaystyle{\ln x \le x - 1}$ για $\displaystyle{x > 0}$ ) ότι η ακολουθία $\displaystyle{\left( {{b_n}} \right)}$ είναι γνησίως φθίνουσα και κάτω φραγμένη από το

, άρα συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό.

Τελικά το θέμα ήταν (πολύ) γνωστό...

Putnam 2012 - Θέμα B4

Putnam 2012 - Θέμα B4

Re: Putnam 2012 - Θέμα B4

Re: Putnam 2012 - Θέμα B4

Μέλη σε σύνδεση