Πολύ ωραία συναρτησιακή

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ τέτοιες ώστε f(x+f(x)+ 2y) = f(2x)+ 2f(y),

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{\geq 0}$
και η εξίσωση f(x) = 0

να έχει πεπερασμένο πλήθος λύσεων (μπορεί και καμία).

#2

Επαναφορά!

jason.prod · #3

Δίνω μια λύση για αυτήν την, ομολογουμένως, πολύ ωραία συναρτησιακή.

Θα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.

Υπάρχει

ώστε να ισχύει $f(x_0) \le x_0$ .
Τότε, θέτουμε $x=x_0, y=\frac{x_0-f(x_0)}{2}$ , οπότε έχουμε
$f(\frac{x_0-f(x_0)}{2})=0$ , οπότε η συνάρτηση έχει ρίζα

.
Αν λοιπόν θέσουμε x=a, y=0

έχουμε ότι f(2a)+2f(0)=0

, δηλαδή

.
Αυτό σημαίνει ότι, αν a > 0

, η συνάρτηση θα έχει άπειρες ρίζες, αφού αν είναι ρίζα η

είναι και η

.
Έτσι, το

είναι μοναδική ρίζα της f.
Τώρα, θέτουμε στην αρχική x=0

και μετά

, για να πάρουμε
f(2y)=2f(y) (1)

.
Θέτοντας x->x+f(x)

στην αρχική θα πάρουμε
f(x+f(x)+2f(x)+2y)=4f(x)+2f(y)

και εφαρμόζοντας ξανά την αρχική θα πάρουμε ότι
f(f(x)+y)=f(x)+f(y)

, στην οποία θέτουμε y->2y+x

και εφαρμόζουμε την αρχική για να πάρουμε
f(2y+x)=2f(y)+f(x)=f(2y)+f(x)

, που είναι η συναρτησιακή Cauchy, και αφού η

είναι φραγμένη, έχουμε κατά τα γνωστά ότι
f(x)=cx

.
Η αντικατάσταση δίνει c=0,1

, από τις οποίες τιμές δεκτή είναι μόνο η c=1

, οπότε τελικά
f(x)=x

.

Ισχύει ότι f(x)>x

, για κάθε

.
Θεωρούμε τότε τη συνάρτηση $g:A \rightarrow B$ , όπου

το σύνολο των μη αρνητικών αριθμών και

το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.
Η αρχική τότε γίνεται: g(2x+2y+g(x))+g(x)=g(2x)+2g(y)

.
Αυτή, για x=0

δίνει ότι

.
Η αντικατάταση x=g(0), y=0

, και χρησιμοποιώντας την (3)

, δίνει

, οπότε θέτουμε στην αρχική x=2g(0)

, και παίρνουμε
g(2y+4g(0)+g(2g(0)))=g(2y+g(0)) (4)

.

Θα εξηγήσω τη συνέχεια της λύσης, που βοηθάει να φτάσουμε στο άτοπο.

Η σχέση (3)

, σε συνδυασμό με το ότι g(x)>0

και την

θα μας βοηθήσουν να φτάσουμε σε μια σχέση της μορφής
g(z)=2g(z)

, για κάποιο

, το οποίο θα δώσει το άτοπο.

Ψάχνουμε για y_0

, τέτοιο ώστε 2y_0+4g(0)+g(2g(0))=2(2y_0+g(0))+g(0)

, καθώς τότε, η (3)

σε συνδυασμό με την (4)

, δίνουν το άτοπο.

Έτσι, λύνοντας αυτή την εξίσωση, παίρνουμε $y_0=\frac{g(0)+g(2g(0))}{2}$ , οπότε βάζοντας y=y_0

, θα πάρουμε άτοπο.

Υ.Γ. Τα συγχαρητήριά μου στον κατασκευαστή της άσκησης αυτής. Θα ήθελα πολύ να δω πιο απλή λύση.

Πολύ ωραία συναρτησιακή

Πολύ ωραία συναρτησιακή

Re: Πολύ ωραία συναρτησιακή

Re: Πολύ ωραία συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση