Μια ωραία άσκηση στους μιγαδικούς αριθμούς.

thanasis kopadis · #1

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί $z_{1},z_{2},z_{3}$ με $z_{1},z_{3}\neq 0$ για τους οποίους ισχύει
$\frac{z_{1}+2z_{2}}{3z_{3}}\epsilon R$ , $\frac{2z_{3}+z_{2}}{3z_{1}}\epsilon R$ και ο $\frac{z_{1}}{z_{3}}$ δεν είναι πραγματικός αριθμός. Να αποδείξετε ότι $z_{1}+2z_{2}+4z_{3}=0$

#2

thanasis kopadis έγραψε:Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί $z_{1},z_{2},z_{3}$ με $z_{1},z_{3}\neq 0$ για τους οποίους ισχύει
$\frac{z_{1}+2z_{2}}{3z_{3}}\epsilon R$ , $\frac{2z_{3}+z_{2}}{3z_{1}}\epsilon R$ και ο $\frac{z_{1}}{z_{3}}$ δεν είναι πραγματικός αριθμός. Να αποδείξετε ότι $z_{1}+2z_{2}+4z_{3}=0$

Εξ υποθέσεως υπάρχουν $a, b \in \mathbb R$ με $z_1+2z_2=az_3, \, 2z_3+z_2=bz_1 \, (*)$ . Πολλαπλασιάζοντας την δεύτερη επί

και αφαιρώντας κατά μέλη έπεται (1+2b)z_1=(a+4)z_3

. Συμπεραίνουμε 1+2b=0

(αλλιώς $\frac {z_1}{z_3}= \frac {a+4}{1+2b}\in \mathbb R$ που αντιβαίνει στην υπόθεση). Η (*)

τώρα γράφεται 4z_3+2z_2=2bz_1=-z_1

, από όπου το ζητούμενο.

Christos.N · #3

Πραγματικά έχει την πρωτοτυπία της...

Έστω
$\displaystyle{ \begin{array}{l} \frac{{z_1 + 2z_2 }}{{3z_3 }} = a,a \in R \\ \frac{{z_2 + 2z_3 }}{{3z_1 }} = b,b \in R \\ \frac{{z_1 }}{{z_3 }} = w,w \in C-R \\ \end{array} }$
τότε
$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} z_1 + 2z_2 = a3z_3 \\ z_2 + 2z_3 = b3z_1 \\ z_1 = wz_3 \\ \end{array} \right. \Rightarrow ..\alpha \pi \alpha \lambda o\iota \varphi \omega \nu \tau \alpha \varsigma .. \Rightarrow (6b + 1)w = 3a + 4 }$

Η τελευταία εξίσωση δεν είναι αδύνατη γιατί έρχεται σε αντίφαση με τα δεδομένα, δεν έχει μοναδική λύση γιατί τότε $\displaystyle{ w \in R }$
Άρα πρέπει να είναι αόριστη το οποίο συμβαίνει όταν:
$\displaystyle{ b = - \frac{1}{6},a = - \frac{4}{3} }$
Με αντικατάσταση στις αρχικές ισότητες:
$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} z_1 + 2z_2 = b3z_3 \\ z_2 + 2z_3 = a3z_1 \\ \end{array} \right. \Rightarrow z_1 + 2z_2 + 4z_3 = 0 }$

#4

Η άσκηση νομίζω ότι έχει μια θαυμάσια! γεωμετρική λύση (πλήρες τετράπλευρο, Θ.Μενελάου) που θα γράψω αργότερα

#5

είναι : $\displaystyle{\frac{z_1+2z_2}{3z_3}=a\in R}$ τότε $\displaystyle{z_1-az_3=2(az_3-z_2)}$ [1] και αντίστοιχα $\displaystyle{2(z_3-bz_1)=bz_1-z_2}$ [2]

αν $\displaystyle{A,B,C,D,E}$ εικόνες αντίστοιχα των $\displaystyle{z_1,z_2,z_3,az_3,bz_1}$ τότε

1. $\displaystyle{z_1/z_3\in C-R\Rightarrow}$ οι ευθείες $\displaystyle{OA,OC}$ είναι διαφορετικές

2. $\displaystyle{a\in R\Rightarrow O, C, D}$ συνευθειακά , $\displaystyle{b\in R\Rightarrow O, A, E}$ συνευθειακά

3. $\displaystyle{[3]\Rightarrow A, D, B}$ συνευθειακά και $\displaystyle{AD=2DB}$

4. Ομοίως από [2] έχουμε $\displaystyle{C, E, B}$ συνευθειακά και $\displaystyle{2CE=EB}$

από το Θ.Μενελάου στο $\displaystyle{EAB}$ με διατεμνουσα την $\displaystyle{COD\Rightarrow \frac{OE}{OA}\frac{AD}{DB}\frac{CB}{CE}=1}$

αντικαθιστωντας $\displaystyle{|b|=1/2}$ με $\displaystyle{b<0}$ αφού το Ο ανάμεσα στα Α,Ε επεται $\displaystyle{b=-1/2}$ και από την [2] το ζητούμενο

: Clipboard01.jpg (7.54 KiB) Προβλήθηκε 953 φορές

Υ.Γ
Θεώρησα τα A,B,C

σε γενική θέση δηλαδή να σχηματίζουν τρίγωνο. Α μετατρέψουμε τις σχέσεις [1],[2] σε διανυσματικές φαίνεται καθαρά γιατί τα D,E

βρίσκονται πάνω στις πλευρές και όχι στις προεκτάσεις τους

Μια ωραία άσκηση στους μιγαδικούς αριθμούς.

Μια ωραία άσκηση στους μιγαδικούς αριθμούς.

Re: Μια ωραία άσκηση στους μιγαδικούς αριθμούς.

Re: Μια ωραία άσκηση στους μιγαδικούς αριθμούς.

Re: Μια ωραία άσκηση στους μιγαδικούς αριθμούς.

Re: Μια ωραία άσκηση στους μιγαδικούς αριθμούς.

Μέλη σε σύνδεση