Π.Μ.Δ.Μ. 1963-64 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

parmenides51 · #1

1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος $\displaystyle{x_1,x_2,x_3,...}$ .
Να βρεθεί το άθροισμα $\displaystyle{S=\frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_2x_3}+\frac{1}{x_3x_4}+...+\frac{1}{x_{\nu-1}x_{\nu}}}$

2. Δίνεται κύβος ακμής $\displaystyle{2\,\,m}$ του οποίου το κέντρο βρίσκεται στην αρχή των αξόνων (ορθογωνίων)
και οι ακμές του είναι παράλληλες προς τους άξονες. Να δειχθεί οτι οι κορυφές του έχουν συντεταγμένες $\displaystyle{\left(\pm 1,\pm 1,\pm 1\right)}$ .

3. Να καταστεί λογιστή δια των λογαρίθμων η παράσταση $\displaystyle{ A=\varepsilon \phi x+\varepsilon \phi 2x -3\varepsilon \phi 3x}$

Υ.Γ. Ας μας πει κάποιος μεγαλύτερος τι σημαίνει η έκφραση ''καταστεί λογιστή δια των λογαρίθμων η τάδε τριγωνομετρική παράσταση'' .
Σε μερικά θέματα Ναυτικών Δοκίμων (πχ. 1968, δεν το ανέβασα ακόμα), είχε ένα εξεταζόμενο μάθημα ''ΛΟΓΙΣΜΟΣ''
που είχε ασκήσεις με τριγωνομετρία και λογαρίθμους, και παρόμοιες εκφράσεις.
Δίνω και την απάντηση στο 3ο σε απόκρυψη καλού κακού για να ξέρετε τι ψάχνετε όσοι ασχοληθείτε

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

edit
διόρθωση απάντησης στην απόκρυψη

σωστός ο Ορέστης
διόρθωση λέξης στο 2ο , ομοιωματικά

kostas_zervos · #2

parmenides51 έγραψε: 3. Να καταστεί λογιστή δια των λογαρίθμων η παράσταση $\displaystyle{ A=\varepsilon \phi x+\varepsilon \phi 2x -3\varepsilon \phi 3x}$

Υ.Γ. Ας μας πει κάποιος μεγαλύτερος τι σημαίνει η έκφραση ''καταστεί λογιστή δια των λογαρίθμων η τάδε τριγωνομετρική παράσταση'' .
Σε μερικά θέματα Ναυτικών Δοκίμων (πχ. 1968, δεν το ανέβασα ακόμα), είχε ένα εξεταζόμενο μάθημα ''ΛΟΓΙΣΜΟΣ''
που είχε ασκήσεις με τριγωνομετρία και λογαρίθμους, και παρόμοιες εκφράσεις.
Δίνω και την απάντηση στο 3ο σε απόκρυψη καλού κακού για να ξέρετε τι ψάχνετε όσοι ασχοληθείτε
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
$\displaystyle{A=-\frac{2\eta \mu 3x \sigma \upsilon \nu^3 x}{\sigma \upsilon \nu 2x\sigma \upsilon \nu 3x}}$

Στη τριγωνομετρία του Τόγκα που κοίταξα υπάρχει παράγραφος με λογαριθμικούς πίνακες τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών.

Στην επίλυση τριγώνων χρησιμοποιεί λογάριθμους για να υπολογίσει στοιχεία του τριγώνου.

Επειδή με του λογάριθμους η ύψωση σε δύναμη ανάγεται σε πολλαπλασιασμό , ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση σε πρόσθεση και αφαίρεση , για να υπολογιστεί μια παράσταση μάλλον θα πρέπει να μετατραπεί σε γινόμενο ή πηλίκο δυνάμεων των τριγωνομετρικών αριθμών.

Γιώργος Απόκης · #3

parmenides51 έγραψε:
Υ.Γ. Ας μας πει κάποιος μεγαλύτερος τι σημαίνει η έκφραση ''καταστεί λογιστή δια των λογαρίθμων η τάδε τριγωνομετρική παράσταση'' .

Χωρίς να θεωρώ ότι είμαι μεγαλύτερος

... σημαίνει "να καταστεί υπολογίσιμη", "να καταφέρουμε να την υπολογίσουμε"

ArgirisM · #4

parmenides51 έγραψε:1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος $\displaystyle{x_1,x_2,x_3,...}$ .
Να βρεθεί το άθροισμα $\displaystyle{S=\frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_2x_3}+\frac{1}{x_3x_4}+...+\frac{1}{x_{\nu-1}x_{\nu}}}$

Έστω $x_{\nu} = x_1 + (\nu - 1) \omega$ ο γενικός όρος της προόδου. Έχουμε $\frac{1}{x_{\nu - 1}x_{\nu}} = \frac{\omega}{\omega x_{\nu - 1} x_{\nu}} = \frac{x_{\nu} - x_{\nu - 1}}{\omega x_{\nu - 1} x_{\nu}} = \frac{1}{\omega} (\frac{1}{x_{\nu - 1}} - \frac{1}{x_{\nu}})(1)$ .
Αντικαθιστούμε με βάση την (1)

στο άθροισμα και προκύπτει ότι $S = \frac{1}{\omega} (\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_{\nu}}) = \frac{x_{\nu} - x_1}{\omega x_1 [x_1 +(\nu - 1) \omega]} = \frac{\nu - 1}{x_1 [x_1 + (\nu - 1) \omega]}$ .
Αν δεν απατώμαι η συγκεκριμένη άσκηση υπήρχε στη γ' ομάδα του κεφαλαίου με τις προόδους του παλιού βιβλίου άλγεβρας β' λυκείου.

parmenides51 · #5

ευχαριστώ Κώστα για την επεξήγηση
Γιώργο οι λογάριθμοι ήταν το πρόβλημα

orestisgotsis · #6

ΠΕΡΙΤΤΑ

#7

Γιώργος Απόκης έγραψε:
parmenides51 έγραψε:
Υ.Γ. Ας μας πει κάποιος μεγαλύτερος τι σημαίνει η έκφραση ''καταστεί λογιστή δια των λογαρίθμων η τάδε τριγωνομετρική παράσταση'' .
Χωρίς να θεωρώ ότι είμαι μεγαλύτερος ... σημαίνει "να καταστεί υπολογίσιμη", "να καταφέρουμε να την υπολογίσουμε"

Οι ασκήσεις αυτές ήσαν στάνταρ σχολική ύλη τα παλιά χρόνια.

Η έκφραση "λογιστή για των λογαρίθμων" σημαίνει μετατροπή της παράστασης σε άλλη ίση της αλλά στην οποία να υπάρχουν μόνο γινόμενα και πηλίκα.

Το νόημα ήταν ότι, παίρνοντας λογαρίθμους, οι παραστάσεις μετατρέπονται σε προσθαφαιρέσεις. Δηλαδή ακριβώς στην μορφή που φαίνεται η δύναμη των λογαρίθμων.

Υπόψη, η επινόηση των λογαρίθμων από τον Napier είχε ακριβώς το πλεονέκτημα να μετατρέπονται επίπονες πράξεις (πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις) σε ουσιαστικά απλούστερες. Όπως χαρακτηριστικά λέει ο Eves (αν θυμάμαι καλά) στο βιβλίο του Μεγάλες στιγμές στα Μαθηματικά, οι λογάριθμοι δεκαπλασίασαν την ζωή των αστρονόμων και όσων έκανα συνεχώς τεράστιες πράξεις (πριν τις αριθμομηχανές!).

Όσοι εργάστηκαν με λογαρίθμους από αυτή την σκοπιά γνωρίζουν πάρα πολύ καλά το πλεονέκτημα της μετατροπής τριγωνομετρικής παράστασης σε ίση, λογιστής δια των λογαρίθμων.

Δυστυχώς και αυτό το κεφάλαιο (λογάριθμοι ως λογιστικό εργαλείο) είναι ένα από εκείνα τα οποία με θλίψη βλέπω να έχουν φύγει από τα σχολικά Μαθηματικά. Σήμερα οι λογάριθμοι εξετάζονται μόνο ως η συνάρτηση που προκύπτει από το ολοκλήρωμα του 1/x

, και τα συνακόλουθα αυτού. Κατ' εμέ, πρόκειται για καλή και χρήσιμη αλλά πολλή περιορισμένη οπτική.

Φιλικά,

Μιχάλης

orestisgotsis · #8

ΠΕΡΙΤΤΑ

Π.Μ.Δ.Μ. 1963-64 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1963-64 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1963-64 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1963-64 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1963-64 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1963-64 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1963-64 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1963-64 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1963-64 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση