Άλλη μια για τη συμπεριφορά των ξ(x)

#1

Ως συνέχεια των πόστ
Όριο
και
Αξιόλογα Θεωρήματα στα θεωρήματα μέσης τιμής

παραθέτω την εξής άσκηση για την συμπεριφορά των $\xi_{x}$ .

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω $n,p\in\mathbb{N}$ και $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ μια (n+p)

διαφορίσιμη συνάρτηση ώστε $f^{(n+p)}$ συνεχής σε ένα σημείο $x_{0}\in[a,b]$ . Έστω $x\in[a,b]$ και το $\xi_{x}\in(\min\{x,x_{0}\},\max\{x,x_{0}\})$ για το οποίο, από το θεώρημα του Taylor

είναι
$\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f{'}(x_{0})(x-x_{0})+\cdots+f^{(n-1)}\frac{(x-x_{0})^{(n-1)}}{(n-1)!}+\frac{1}{n!}f^{(n)}(\xi_{x})(x-x_{0})^{n}$ .

Αν $f^{(n+j)}(x_{0})=0$ για $1\leq j\leq p$ , και $f^{(n+p)}(x_{0})\neq0$ , τότε

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\frac{\xi_{x}-x_{0}}{x-x_{0}}=\frac{1}{\sqrt[p]{\color{red}\binom{n+p}{n}}}$ .

EDIT: το αποτέλεσμα διορθώθηκε μετά από ειδοποίηση του Demetres τον οποίο και ευχαριστώ.

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ως συνέχεια των πόστ
Όριο
και
Αξιόλογα Θεωρήματα στα θεωρήματα μέσης τιμής

παραθέτω την εξής άσκηση για την συμπεριφορά των $\xi_{x}$ .

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω $n,p\in\mathbb{N}$ και $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ μια διαφορίσιμη συνάρτηση ώστε $f^{(n+p)}$ συνεχής σε ένα σημείο $x_{0}\in[a,b]$ . Έστω $x\in[a,b]$ και το $\xi_{x}\in(\min\{x,x_{0}\},\max\{x,x_{0}\})$ για το οποίο, από το θεώρημα του είναι
$\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f{'}(x_{0})(x-x_{0})+\cdots+f^{(n-1)}\frac{(x-x_{0})^{(n-1)}}{(n-1)!}+\frac{1}{n!}f^{(n)}(\xi_{x})(x-x_{0})^{n}$ .

Αν $f^{(n+j)}(x_{0})=0$ για $1\leq j\leq p$ , και $f^{(n+p)}(x_{0})\neq0$ , τότε

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\frac{\xi_{x}-x_{0}}{x-x_{0}}=\frac{1}{\sqrt[p]{\color{red}\binom{n+p}{n}}}$ .

Επαναφέρω το θέμα. Αν δεν υπάρξει απάντηση, θα ανεβάσω κάποια λύση.

EDIT: το αποτέλεσμα διορθώθηκε μετά από ειδοποίηση του Demetres τον οποίο και ευχαριστώ.

#3

Βάζω την λύση μου:

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $x_0 = f(x_0) = f{'}(x_0) = \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$ . Τότε

$\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{f^{(n)}(\xi_x)}{x^p} = \lim_{x \to 0} \frac{n!f(x)}{x^{n+p}} = \lim_{x \to 0} \frac{n!f^{(n+p)}(\theta_x)}{(n+p)!} = \frac{n!}{(n+p)!}f^{n+p}(0) }$

και

$\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{f^{(n)}(\xi_x)}{{\xi_x}^p} = \lim_{x \to 0} \frac{f^{(n)}(x)}{x^p} = \lim_{x \to 0} \frac{f^{(n+1)}(x)}{px^{p-1}} = \cdots = \lim_{x \to 0} \frac{f^{(n+p)}(x)}{p!} = \frac{f^{(n+p)}(0)}{p!} }$

Άρα $\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\xi_x^p}{x^p} = \frac{1}{\binom{n+p}{p}}}$ και άρα $\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\xi_x}{x} = \frac{1}{\sqrt[p]{\binom{n+p}{p}}}}$ .

Τώρα παρατηρώ ότι η τελευταία συνεπαγωγή χρειάζεται δικαιολόγηση. Νομίζω αρκεί να χρησιμοποιήσουμε ότι το $\xi_x$ έχει το ίδιο πρόσημο με το

αλλά ίσως να κάνω λάθος.

Άλλη μια για τη συμπεριφορά των ξ(x)

Άλλη μια για τη συμπεριφορά των ξ(x)

Re: Άλλη μια για τη συμπεριφορά των ξ(x)

Re: Άλλη μια για τη συμπεριφορά των ξ(x)

Μέλη σε σύνδεση