Τριγωνομετρία

Rafaelcrete · #1

Υπάρχουν κάτι ασκήσεις τριγωνομετρίας όπως
$cos(\frac{2\pi}{13})+cos(\frac{6\pi}{13})+cos(\frac{8\pi}{13})=\frac{\sqrt{13}-1}{4}$
$cos(\frac{\pi}{14})+cos(\frac{3\pi}{14})+cos(\frac{9\pi}{14})=\frac{\sqrt{7}}{2}$
Νομίζω ότι όλες έχουν την ίδια λογική.Βασικά τα ριζικά με δυσκολεύουν διότι σε άλλες περιπτώσεις χρησιμοποιείς τον τύπο
$sinxcosy=\frac{1}{2}(sin(x+y)+sin(x-y))$
και βγαίνει πιο εύκολα το ζητούμενο.

#2

Rafaelcrete έγραψε: $\displaystyle{cos(\frac{\pi}{14})+cos(\frac{3\pi}{14})+cos(\frac{9\pi}{14})=\frac{\sqrt{7}}{2}}$

Μάλλον την έχουμε ξαναδεί, αλλά δε μπορώ να τη βρω.

Ισοδύναμα αποδεικνύουμε ότι

$\displaystyle{\cos ^2\frac{\pi}{14}+\cos ^2\frac{3\pi}{14}+\cos ^2\frac{9\pi}{14}+2\left(\cos \frac{\pi}{14}\cos \frac{3\pi}{14}+\cos \frac{3\pi}{14}\cos \frac{9\pi}{14}+\cos \frac{9\pi}{14}\cos \frac{\pi}{14} \right)=\frac{7}{4}}$

Με εφαρμογή του μετασχηματισμού $\displaystyle{2\cos x\cos y=\cos (x+y)+\cos (x-y)}$ η παρένθεση γράφεται

$\displaystyle{\cos \frac{2\pi}{14}+\cos \frac{4\pi}{14}+\cos \frac{12\pi}{14}+\cos \frac{6\pi}{14}+\cos \frac{8\pi}{14}+\cos \frac{10\pi}{14}=0}$

αφού ανά δύο οι γωνίες είναι παραπληρωματικές.

Τώρα, η αποδεικτέα, μέσω της $\displaystyle{\cos ^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}}$ ανάγεται στην

$\displaystyle{\cos \frac{\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}+\cos \frac{9\pi}{7}=\frac{1}{2},}$

η οποία είναι το πολύ γνωστό θέμα από τη Διεθνή Ολυμπιάδα του 1963.

Π.χ. αν $\displaystyle{\rm S:=\cos \frac{\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}+\cos \frac{9\pi}{7}}$ είναι

$\displaystyle{S:=\cos \frac{\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}+\cos \frac{5\pi}{7}}$ και με τη βοήθεια του μετασχηματισμού $\displaystyle{2\sin x\cos y=\sin (x+y)+\sin (x-y)}$ βρίσκουμε

$\displaystyle{2\sin \frac{\pi}{7}S=\sin \frac{6\pi}{7}=\sin \frac{\pi}{7}\implies S=\frac{1}{2}.}$

Rafaelcrete · #3

Η άλλη λυνετε με τον ίδιο τρόπο ?
Επίση είχα βρεί παρόμοιες ασκήσεις που τις έλυναν με gaussian sum.Αλλά δεν κατάλαβα την τεχνική.Μου φάνηκε περίπλοκη.

parmenides51 · #4

μερικές παρόμοιες

matha έγραψε: Να αποδείξετε, ότι $\displaystyle{\sin 1^0+\sin 3^0+\sin 5^0+\cdots +\sin 99^0=\frac{\sin ^250^0}{\sin 1^0}}$

εδώ

Γιώργος Απόκης έγραψε: Να δείξετε ότι $\displaystyle{\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}}$

εδώ,εδώ , εδώ

chris_gatos έγραψε: Aν $\displaystyle{a=\frac{\pi}{5}}$ τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{sin2a+2sin4a+3sin6a+4sin8a}$

εδώ

Φωτεινή έγραψε:Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\eta\mu a+\eta\mu (a+w)+\eta\mu(a+2w)+...+\eta\mu \big(a+(n-1)w\big)=\frac{\eta\mu \Big(a+(n-1)\frac{w}{2}\Big)\cdot \eta\mu \displaystyle \frac{nw}{2}}{\eta\mu\displaystyle \frac{w}{2}}$

εδώ

erxmer έγραψε:Να αποδειχθεί οτι $tan^2\frac{\pi}{9}+tan^2\frac{3\pi}{9}+tan^2\frac{5\pi}{9}+tan^2\frac{7\pi}{9}+4=40$

εδώ

Φωτεινή έγραψε:Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{1}{\sin 45^o\cdot\sin46^o}+\frac{1}{\sin 47^o\cdot\sin48^o}+\dots+\frac{1}{\sin 133^o\cdot\sin134^o}=\frac{1}{\sin 1^o}$

εδώ

chris_gatos έγραψε:Να υπολογίσετε την τιμή του αθροίσματος $\displaystyle{\Sigma = \cos ^2 0^0 + \cos ^2 2^0 + \cos ^2 4^0 + .... + \cos ^2 358^0 + \cos ^2 360^0 }$

εδώ

Φωτεινή έγραψε:Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin 2x}{\cos^{2} x}+\frac{\sin 3x}{\cos^{3} x}+...+\frac{\sin nx}{\cos^{n} x}=\sigma\phi x-\frac{\cos(n+1)x}{\sin x\cdot\cos^{n}x}}$

εδώ

Φωτεινή έγραψε:Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{\eta\mu (\theta)+\eta\mu (2\theta)+\eta\mu (3\theta)+\dots+\eta\mu (\nu \theta)}{\sigma\upsilon\nu(\theta)+\sigma\upsilon\nu(2\theta)+\sigma\upsilon\nu(3\theta)+\dots+\sigma\upsilon\nu(\nu \theta)}=\epsilon\phi\frac{\nu+1}{2}\theta}$

εδώ

#5

Rafaelcrete έγραψε: $\displaystyle{cos(\frac{2\pi}{13})+cos(\frac{6\pi}{13})+cos(\frac{8\pi}{13})=\frac{\sqrt{13}-1}{4}}$
.

Ελπίζω να μην χάνω κάποια απλούστερη προσέγγιση.

Ας είναι

$\displaystyle{\boxed{A=\cos \frac{2\pi}{13}+\cos \frac{6\pi}{13}+\cos \frac{8\pi}{13}}, ~\boxed{B=\cos \frac{4\pi}{13}+\cos \frac{10\pi}{13}+\cos \frac{14\pi}{13}}}$

Τότε

$\displaystyle{A^2=\cos ^2\frac{2\pi}{13}+\cos ^2\frac{6\pi}{13}+\cos ^2\frac{8\pi}{13}+2\cos \frac{2\pi}{13}\cos \frac{6\pi}{13}+2\cos \frac{6\pi}{13}+\cos \frac{8\pi}{13}+2\cos \frac{8\pi}{13}\cos \frac{2\pi}{13}.}$

Στους τρεις πρώτους όρους εφαρμόζουμε την $\displaystyle{\cos ^2x=\frac{1+\cos 2x}{2},}$ ενώ στους τρεις τελευταίους την $\displaystyle{2\cos x\cos y=\cos (x+y)+\cos (x-y),}$

οπότε βρίσκουμε

$\displaystyle{A^2=\frac{3+B}{2}+A+B\implies \boxed{2A^2-2A-3B-3=0}}$ ( $\displaystyle{\bf \color{red}1}$ )

Όμως, είναι $\displaystyle{A+B=-\frac{1}{2}}$ (απόδειξη παρακάτω), οπότε λόγω της ( $\displaystyle{\bf \color{red}1}$ ) βρίσκουμε

$\displaystyle{A=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{4}}$ και επειδή $\displaystyle{A>0}$ είναι $\displaystyle{A=\frac{-1+ \sqrt{13}}{4}.}$

Η θετικότητα του $\displaystyle{A}$ φαίνεται και ως εξής:

$\displaystyle{\cos \frac{2\pi}{13}>\cos \frac{5\pi}{13}=-\cos \frac{8\pi}{13}\implies \cos \frac{2\pi}{13}+\cos \frac{8\pi}{13}>0}$ και $\displaystyle{\cos \frac{6\pi}{13}>0.}$

$\displaystyle{\rule{500pt}{2pt}}$

Απόδειξη του $\displaystyle{\boxed{A+B=-\frac{1}{2}}}$

Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{A+B=\cos \frac{2\pi}{13}+\cos \frac{4\pi}{13}+\cos \frac{6\pi}{13}+\cos \frac{8\pi}{13}+\cos \frac{10\pi}{13}+\cos \frac{12\pi}{13},}$

οπότε από τον γνωστό τύπο

$\displaystyle{\boxed{\sigma \upsilon \nu \alpha + \sigma \upsilon \nu 2\alpha + \sigma \upsilon \nu 3\alpha + ... + \sigma \upsilon \nu \left( {\nu \alpha } \right) = \frac{{\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{{\nu + 1}}{2}\alpha } \right) \cdot \eta \mu \frac{{\nu \alpha }}{2}}}{{\eta \mu \frac{\alpha }{2}}}}$

έχουμε

$\displaystyle{A+B=\frac{\cos \frac{7\pi}{13}\sin \frac{6\pi}{13}}{\sin \frac{\pi}{13}}=\frac{2\cos \frac{7\pi}{13}\sin \frac{7\pi}{13}}{2\sin \frac{\pi}{13}}=\frac{\sin \frac{14\pi}{13}}{2\sin \frac{\pi}{13}}=-\frac{1}{2}.}$

Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση