Γινόμενο τριών μιγαδικών

Ανδρέας Πούλος · #1

Το θέμα αυτό το βρήκα στο περιοδικό Mathematics Competitions Vol. 1, No 1, 1988, σελίδα 11.
Οι μιγαδικοί $z_{1}$ , $z_{2}$ , $z_{3}$ είναι διαφορετικοί, αλλά έχουν ίσα μέτρα.
Αν οι αριθμοί $z_{1}+ z_{2}z_{3}$ , $z_{2}+ z_{1}z_{3}$ , $z_{3}+ z_{2}z_{1}$ είναι πραγματικοί, να αποδειχθεί ότι $z_{1}z_{2}z_{3} = 1$ .

Ανδρέας Πούλος

#2

Έστω

Τότε αφού $z_1+z_2z_3\in\mathbb{R}$ και $z_2+z_3z_1\in\mathbb{R}$ άρα αφαιρώντας έχουμε

τελικά $(z_3-1)(z_1-z_2)\in\mathbb{R}$ απ' όπου

$(z_3-1)(z_1-z_2)=\left(\overline{z_3}-1\right)\left(\overline{z_1}-\overline{z_2}\right)$ δηλαδή

$(z_3-1)(z_1-z_2)=\left(\dfrac{r^2}{z_3}-1\right)\left(\dfrac{r^2}{z_1}-\dfrac{r^2}{z_2}\right)$ οπότε αφού $z_1\neq z_2$ παίρνουμε τελικά

$z_3-1=\dfrac{r^2(z_3-r^2)}{z_1z_2z_3}$ οπότε τελικά έχουμε $\dfrac{z_1z_2z_3}{r^2}=\dfrac{z_3-r^2}{z_3-1}$

Όμοια έχουμε $\dfrac{z_1z_2z_3}{r^2}=\dfrac{z_2-r^2}{z_2-1}$ άρα $\dfrac{z_3-r^2}{z_3-1}=\dfrac{z_2-r^2}{z_2-1}$ δηλαδή

$\dfrac{z_3-r^2}{z_3-1}=\dfrac{r^2-z_2}{1-z_2}=\dfrac{(z_3-r^2)+(r^2-z_2)}{(z_3-1)+(1-z_2)}=1$

Άρα τελικά $\dfrac{z_1z_2z_3}{r^2}=1$ οπότε z_1z_2z_3=r^2

και παίρνοντας μέτρα έχουμε r^3=r^2

απ' όπου

και τελικά z_1z_2z_3=1

.

Αλέξανδρος

mathxl · #3

viewtopic.php?f=51&t=38221

#4

Βασίλη ευχαριστώ πολύ για την παραπομπή! Κάθε φορά που βλέπω αυτή την άσκηση θυμάμαι ότι έχω δει κάτι παρόμοιο αλλά ΠΟΤΕ ότι έχω δει το ίδιο κι έτσι κάθε φορά το αντιμετωπίζω διαφορετικά... Εκτιμώ όμως η λύση στην οποία παρέπεμψες είναι καλύτερη από την παραπάνω.

Αλέξανδρος

Ανδρέας Πούλος · #5

Δεν αμφιβάλλω γι΄ αυτό που έγραψε ο Βασίλης, ότι πρόκειται για θέμα από την Ρουμανική Ολυμπιάδα του 1979.
Όμως, στο περιοδικό που προανέφερα ο Κροάτης Darko Zubrinic το παρουσιάζει ως θέμα για τον Εθνικό τους μαθηματικό Διαγωνισμό,
μάλιστα ως θέμα για την 3η τάξη (δεν ξέρω σε ποια τάξη αντιστοιχεί σε εμάς).
Άλλο ένα δείγμα, ότι πολλά θέματα κάποιων χωρών είναι παρμένα από ξένους μαθηματικούς διαγωνισμούς, είτε αυτούσια, είτε "πειραγμένα".
Ανδρέας Πούλος

Γινόμενο τριών μιγαδικών

Γινόμενο τριών μιγαδικών

Re: Γινόμενο τριών μιγαδικών

Re: Γινόμενο τριών μιγαδικών

Re: Γινόμενο τριών μιγαδικών

Re: Γινόμενο τριών μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση