Όλα τα πολυώνυμα να έχουν πραγματικές ρίζες

#1

Να εξεταστεί αν υπάρχει ακολουθία $(a_n)_{n \geqslant 0}$ ώστε για κάθε

το πολυώνυμο

$\displaystyle{ p_n(x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k}$

να έχει

διαφορετικές ανά δύο πραγματικές ρίζες.

#2

Θα αποδείξουμε ότι η ακολουθία $\displaystyle{\left( {{a_n}} \right)}$ με $\displaystyle{{a_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\frac{1}{{{3^{{n^2}}}}}}$ ικανοποιεί το συμπέρασμα.

Για κάθε $\displaystyle{i \in \left\{ {0,1,2, \ldots ,n} \right\}}$ είναι

$\displaystyle{{p_n}\left( {{3^{2i}}} \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}} {\left( {{3^{2i}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}\frac{1}{{{3^{{k^2}}}}}} {3^{2ik}} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}} {3^{ - {k^2} + 2ik}},}$

οπότε

$\displaystyle{{\left( { - 1} \right)^i}{3^{ - {i^2}}}{p_n}\left( {{3^{2i}}} \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^{k - i}}} {3^{ - {{\left( {k - i} \right)}^2}}} = \sum\limits_{m = - i}^{n - i} {{{\left( { - 1} \right)}^m}} {3^{ - {m^2}}}}$

και άρα

$\displaystyle{{\left( { - 1} \right)^i}{3^{ - {i^2}}}{p_n}\left( {{3^{2i}}} \right) > 1 - 2\sum\limits_{m = 1}^\infty {{3^{ - {m^2}}}} > 1 - 2\sum\limits_{m = 1}^\infty {{3^{ - m}}} = 1 - 2\frac{{\frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = 0.}$

Επομένως, οι τιμές $\displaystyle{{p_n}\left( {{3^{2i}}} \right)}$ , για $\displaystyle{i \in \left\{ {0,1,2, \ldots ,n} \right\}}$ , έχουν εναλλασσόμενα πρόσημα, οπότε από το Θεώρημα του Bolzano η εξίσωση $\displaystyle{{p_n}\left( x \right) = 0}$ έχει τουλάχιστον

διαφορετικές πραγματικές ρίζες. Επειδή, όμως, το $\displaystyle{{p_n}\left( x \right)}$ είναι πολυώνυμο βαθμού

, η εξίσωση $\displaystyle{{p_n}\left( x \right) = 0}$ θα έχει το πολύ

ρίζες, άρα θα έχει ακριβώς

διαφορετικές πραγματικές ρίζες.

#3

Σωστά. Ήταν το πρόβλημα B5 από τον Putnam του 1990.

Όλα τα πολυώνυμα να έχουν πραγματικές ρίζες

Όλα τα πολυώνυμα να έχουν πραγματικές ρίζες

Re: Όλα τα πολυώνυμα να έχουν πραγματικές ρίζες

Re: Όλα τα πολυώνυμα να έχουν πραγματικές ρίζες

Μέλη σε σύνδεση