Εύρεση των 2 τελευταίων ψηφίων ενός αριθμού

Ellas95 · #1

Καλησπέρα σε όλους,

έστω για παράδειγμα ότι έχω τον αριθμό : $\displaystyle{(3^{7})^{2013}}$ ,
(Δηλαδή 3 στην εβδόμη και όλο στην 2013 // δεν ξέρω πώς να το γράψω στο Latex, το δύναμη πάνω σε δύναμη)

Και έστω ότι μου ζητάνε τα 2 τελευταία αυτού του αριθμού, πως θα το λύσω ?

Νομίζω ότι λύνεται με mod και euler, αλλά δεν είμαι σίγουρος.Μπορεί να βοηθήσει κάποιος?

#2

Ellas95 έγραψε:Καλησπέρα σε όλους,

έστω για παράδειγμα ότι έχω τον αριθμό : $\displaystyle{(3^{7})^{2013}}$ ,
(Δηλαδή 3 στην εβδόμη και όλο στην 2013 // δεν ξέρω πώς να το γράψω στο Latex, το δύναμη πάνω σε δύναμη)

Και έστω ότι μου ζητάνε τα 2 τελευταία αυτού του αριθμού, πως θα το λύσω ?

Νομίζω ότι λύνεται με mod και euler, αλλά δεν είμαι σίγουρος.Μπορεί να βοηθήσει κάποιος?

Ναι! Δούλεψε $\displaystyle{\mod 100}$ και χρησιμοποίησε και το θεώρημα Euler $\displaystyle{3^{\phi (100)}\equiv 1\mod 100.}$
Αν δεν τα καταφέρεις, εδώ είμαστε.

Ellas95 · #3

matha έγραψε:
Ellas95 έγραψε:Καλησπέρα σε όλους,

έστω για παράδειγμα ότι έχω τον αριθμό : $\displaystyle{(3^{7})^{2013}}$ ,
(Δηλαδή 3 στην εβδόμη και όλο στην 2013 // δεν ξέρω πώς να το γράψω στο Latex, το δύναμη πάνω σε δύναμη)

Και έστω ότι μου ζητάνε τα 2 τελευταία αυτού του αριθμού, πως θα το λύσω ?

Νομίζω ότι λύνεται με mod και euler, αλλά δεν είμαι σίγουρος.Μπορεί να βοηθήσει κάποιος?
Ναι! Δούλεψε $\displaystyle{\mod 100}$ και χρησιμοποίησε και το θεώρημα Euler $\displaystyle{3^{\phi (100)}\equiv 1\mod 100.}$
Αν δεν τα καταφέρεις, εδώ είμαστε.

Μάλιστα!
Ευχαριστώ πολύ για την βοήθεια αλλά μπορείτε να μου δώσετε λίγες περισσότερες οδηγίες, αν είναι εφικτό ?
Δηλαδή πώς να ξεκινήσω και γενικά τον τρόπο σκέψης?

Ευχαριστώ, το εκτιμώ!

#4

Αναζητάς έναν θετικό ακέραιο $\displaystyle{n\in [0,100),}$ για τον οποίο $\displaystyle{3^{7\cdot 2013}\equiv n\mod 100.}$ Καταλαβαίνεις γιατί; Αν όχι, πριν ασχοληθείς με αυτό το θέμα, απαραίτητο είναι να πιάσεις τα πράγματα από την αρχή. Θεωρία, απλά παραδείγματα.

Μετά υπολόγισε το $\displaystyle{\phi (100).}$ Αυτό πρέπει να είναι πολύ απλό, εφόσον έχεις διαβάσει τη σχετική θεωρία.
Τέλος χρησιμοποίησε αυτό που σου λέει το θεώρημα Euler, για να βρεις αυτό που έγραψα στην αρχή.

Ellas95 · #5

matha έγραψε:Αναζητάς έναν θετικό ακέραιο $\displaystyle{n\in [0,100),}$ για τον οποίο $\displaystyle{3^{7\cdot 2013}\equiv n\mod 100.}$ Καταλαβαίνεις γιατί; Αν όχι, πριν ασχοληθείς με αυτό το θέμα, απαραίτητο είναι να πιάσεις τα πράγματα από την αρχή. Θεωρία, απλά παραδείγματα.

Μετά υπολόγισε το $\displaystyle{\phi (100).}$ Αυτό πρέπει να είναι πολύ απλό, εφόσον έχεις διαβάσει τη σχετική θεωρία.
Τέλος χρησιμοποίησε αυτό που σου λέει το θεώρημα Euler, για να βρεις αυτό που έγραψα στην αρχή.

Κύριε Θάνο ευχαριστώ για την απάντηση!

Ποίος ο λόγος να βρω το $\displaystyle{\phi (100).}$ ? Που θα μου χρησιμεύσει ?
Και πως το βρίσκω ?

Σας ευχαριστώ!

#6

Καλημέρα . Όπως ανέφερε και ο Θάνος , το $\displaystyle{\phi (100)}$ θα σου χρησιμεύσει να εφαρμόσεις τον τύπο

$\displaystyle{a^{\phi (n)}\equiv 1mod n}$ (όπου $\displaystyle{a,n}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους). Γιατί είναι αρκετά επίπονο, να βρεις ψάχνοντας έναν αριθμό $\displaystyle{k}$ , ώστε $\displaystyle{3^k \equiv 1 mod100}$ .
Aαλυτικά, λοιπόν, εργαζόμαστε ως εξής:
Επειδή οι αριθμοί $\displaystyle{3}$ και $\displaystyle{100}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους, μπορούμε να εφαρμόσουμε τον πιο πάνω τύπο. Έχουμε λοιπόν: $\displaystyle{100=2^2 .5^2}$ . Άρα $\displaystyle{\phi (100)=(2-1).2^{2-1}.(5-1).5^{2-1}=1.2.4.5=40}$
Άρα $\displaystyle{3^{40} \equiv 1 mod100}$ . Αλλά $\displaystyle{7.2013=14091}$ . Και $\displaystyle{14091=40.352+11}$ . Έχουμε λοιπόν:

$\displaystyle{3^{40}\equiv 1 mod100\Rightarrow (3^{40})^{352}\equiv 1 mod100\Rightarrow (3^{40})^{352}.3^{11}\equiv 3^{11}mod100}$

Άρα $\displaystyle{3^{14091}\equiv 3^{11}mood100}$ .

Όμως $\displaystyle{3^{11}\equiv 47mod100}$ . Άρα τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού $\displaystyle{3^{14091}}$ , (δηλαδή του $\displaystyle{(3^7 )^{2013}}$

είναι το $\displaystyle{47}$

Ellas95 · #7

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Καλημέρα . Όπως ανέφερε και ο Θάνος , το $\displaystyle{\phi (100)}$ θα σου χρησιμεύσει να εφαρμόσεις τον τύπο

$\displaystyle{a^{\phi (n)}\equiv 1mod n}$ (όπου $\displaystyle{a,n}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους). Γιατί είναι αρκετά επίπονο, να βρεις ψάχνοντας έναν αριθμό $\displaystyle{k}$ , ώστε $\displaystyle{3^k \equiv 1 mod100}$ .
Aαλυτικά, λοιπόν, εργαζόμαστε ως εξής:
Επειδή οι αριθμοί $\displaystyle{3}$ και $\displaystyle{100}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους, μπορούμε να εφαρμόσουμε τον πιο πάνω τύπο. Έχουμε λοιπόν: $\displaystyle{100=2^2 .5^2}$ . Άρα $\displaystyle{\phi (100)=(2-1).2^{2-1}.(5-1).5^{2-1}=1.2.4.5=40}$
Άρα $\displaystyle{3^{40} \equiv 1 mod100}$ . Αλλά $\displaystyle{7.2013=14091}$ . Και $\displaystyle{14091=40.352+11}$ . Έχουμε λοιπόν:

$\displaystyle{3^{40}\equiv 1 mod100\Rightarrow (3^{40})^{352}\equiv 1 mod100\Rightarrow (3^{40})^{352}.3^{11}\equiv 3^{11}mod100}$

Άρα $\displaystyle{3^{14091}\equiv 3^{11}mood100}$ .

Όμως $\displaystyle{3^{11}\equiv 47mod100}$ . Άρα τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού $\displaystyle{3^{14091}}$ , (δηλαδή του $\displaystyle{(3^7 )^{2013}}$

είναι το $\displaystyle{47}$

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΠΟΛΥ κύριε Δημήτρη !!
Χάρι στην βοήθεια σας κατάφερα να το γράψω εχθές το θέμα αυτό με παραπλήσιο αριθμό. (στην εξεταστική μου)
Αλλά και πέρα από αυτό, με βοηθήσατε να καταλάβω.
Να στε καλά!

Εύρεση των 2 τελευταίων ψηφίων ενός αριθμού

Εύρεση των 2 τελευταίων ψηφίων ενός αριθμού

Re: Εύρεση των 2 τελευταίων ψηφίων ενός αριθμού

Re: Εύρεση των 2 τελευταίων ψηφίων ενός αριθμού

Re: Εύρεση των 2 τελευταίων ψηφίων ενός αριθμού

Re: Εύρεση των 2 τελευταίων ψηφίων ενός αριθμού

Re: Εύρεση των 2 τελευταίων ψηφίων ενός αριθμού

Re: Εύρεση των 2 τελευταίων ψηφίων ενός αριθμού

Μέλη σε σύνδεση