Υπάρχει;

#1

-- Υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε

$f(x+y)\geq x+f(x)f(y), \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R};$

-- Υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε

$f(x+y)\leq x+f(x)f(y), \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R};$

#2

socrates έγραψε:-- Υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε

$f(x+y)\geq x+f(x)f(y), \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R};$ $\displaystyle{(1)}$

Από την $\displaystyle{(1)}$ για $\displaystyle{x=y=0}$ έχω $\displaystyle{f(0) \ge f^2(0)}$ , άρα $\displaystyle{0 \le f(0) \le 1}$ $\displaystyle{(2)}$ .

Από την $\displaystyle{(1)}$ για $\displaystyle{x=y=\frac {x}{2}}$ έχω $\displaystyle{f(x) \ge \frac {x}{2}+f^2 \left(\frac {x}{2}\right) \ge \frac {x}{2}}$ ,

άρα για κάθε $\displaystyle{x>0}$ έχω $\displaystyle{f(x)>0}$ $\displaystyle{(3)}$

Από την $\displaystyle{(1)}$ για $\displaystyle{y=-x}$ έχω $\displaystyle{-x+f(0) \ge f(x)f(-x)}$ και για αρκετά μεγάλα $\displaystyle{x>0}$ έχω $\displaystyle{f(x)f(-x)<0}$ ,

άρα υπάρχει $\displaystyle{x_0<0}$ ώστε $\displaystyle{f(x_0)<0}$ .

Από την $\displaystyle{(1)}$ για $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{y=x_0}$ έχω $\displaystyle{f(x_0) \ge f(0)f(x_0)}$ , άρα $\displaystyle{f(0) \ge1}$ και λόγω της $\displaystyle{(2)}$ $\displaystyle{f(0)=1}$

Από την $\displaystyle{(1)}$ για $\displaystyle{y=0}$ έχω ότι για κάθε $\displaystyle{x \in \Bbb{R}}$ ισχύει $\displaystyle{f(x) \ge x+f(x) \Rightarrow x \le 0}$ , άτοπο.

Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

#3

Ωραία Σπύρο!

Ας δούμε και το ανάποδο...

socrates έγραψε:-- Υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε

$f(x+y)\leq x+f(x)f(y), \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R};$

#4

Επαναφορά για το... ανάποδο!

socrates έγραψε:-- Υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε $f(x+y)\leq x+f(x)f(y), \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R};$

Και ένα ακόμη:
-- Υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε $f(x+y)= x+f(x)f(y), \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R};$
(Απαντήστε χωρίς χαρτί και μολύβι!)

Και άλλο ένα:
-- Υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε $f(x+y)= x+f(x)f(y), \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R}^+;$
(Απαντήστε με χαρτί και μολύβι!)

#5

socrates έγραψε: Και ένα ακόμη:
-- Υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε $f(x+y)= x+f(x)f(y), \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R};$
(Απαντήστε χωρίς χαρτί και μολύβι!)

Και άλλο ένα:
-- Υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε $f(x+y)= x+f(x)f(y), \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R}^+;$
(Απαντήστε με χαρτί και μολύβι!)

Χωρίς χαρτί και μολύβι και για τα δύο.

Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση γιατί αλλιώς θα είχαμε

1+f(1)f(2)=f(1+2)=f(2+1)=2+f(2)f(1)

, οπότε

.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
socrates έγραψε: Και ένα ακόμη:
-- Υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε $f(x+y)= x+f(x)f(y), \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R};$
(Απαντήστε χωρίς χαρτί και μολύβι!)

Και άλλο ένα:
-- Υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε $f(x+y)= x+f(x)f(y), \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R}^+;$
(Απαντήστε με χαρτί και μολύβι!)
Χωρίς χαρτί και μολύβι και για τα δύο.

Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση γιατί αλλιώς θα είχαμε

, οπότε .

Η σκέψη μου:
Αν υπάρχει

με $f(x+y)= x+f(x)f(y), \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R},$
τότε θα είναι $f(x+y)\geq x+f(x)f(y), \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R},$ αδύνατο, όπως έδειξε ο Σπύρος.

#7

socrates έγραψε:Επαναφορά για το... ανάποδο!
-- Υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε $f(x+y)\leq x+f(x)f(y), \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R};$

Μια τέτοια συνάρτηση είναι η f(x)=|x|+2.

Η άσκηση ήταν μια παλιά κατασκευή μου!

Υπάρχει;

Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Μέλη σε σύνδεση